Matematica Finanziaria AA Rendite e Piano di ammortamento

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1 Matematica Finanziaria AA Annalisa Fabretti Rendite e Piano di ammortamento N.B. Questo materiale NON sostituisce il libro di testo

2 Rendite Una rendita é un operazione finanziaria che prevede una successione di importi chiamate rate da pagare o riscuotere a intervalli di tempo determinati. Esempi di rendite sono i benefici pensionistici, i mutui, alcuni titoli obbligazionari (Btp a cedola costante), rendite da affitto etc

3 Se la durata della rendita é finita si parlerá di rendita limitata o temporanea é infinita si dirá rendita perpetua Esempio: la pensione é una rendita perpetua, un prestito una rendita temporanea.

4 Se la rata della rendita é corrisposta ad inizio periodo si parlerá di rendita anticipata a fine periodo si dirá rendita posticipata Esempio: la rata di un mutuo puó essere pagata a inizio o fine mese.

5 Se il flusso di cassa della rendita inizia subito (sia che sia anticipata che posticipata) si parlerá di rendita immediata inizia tra m periodi si dirá rendita differita di m periodi Esempio: l alcuni prestiti hanno inizio del rimborso differito

6 Valutazione di una rendita Per valutare una rendita usualmente si considera il valore attuale del flusso di cassa ad un tasso di riferimento i. Una rendita temporanea puó essere valutata anche attraverso il suo valore futuro a scadenza. Valore attuale e valore futuro sono nella relazione V A = V F v(t) o V F = V A r(t) dove v(t) é il fattore di attualizzazione e r(t) il fattore di capitalizzazione.

7 Valutazione Rendita perpetua Valutiamo una rendita immediata perpetua posticipata di rata R valutata al tasso i in capitalizzazione composta. V A = t=1 R(1 + i) t R R R R t

8 Valutazione Rendita perpetua (continua) Nota: sappiamo che una serie geometrica converge se q < 1 e vale q k k=0 e allora k=1 k=0 q k = 1 1 q q k = 1 1 q 1 = q 1 q

9 Valutazione Rendita perpetua (continua) Dato che 1 1+i < 1 si ha t=1 (1 + i) t = ( 1 t=1 1 + i ) t = 1 i allora V A = t=1 R(1 + i) t = R i Il valore attuale di una rendita perpetua posticipata di rata R é pari a R i

10 Esempio Una rendita di rata R = 1000 euro posticipata e perpetua valutata al tasso i = 10% ha valore attuale V A = R i = = Ricevere euro ogni anno per il resto della vita é equivalente (al tasso i = 10%) al ricevere oggi euro.

11 Valutazione Rendita limitata Consideriamo una rendita (immediata) limitata di durata n rata R posticipata valutata al tasso i in capitalizzazione composta. V A = n t=1 R(1 + i) t R R R R... R n t

12 Valutazione Rendita limitata (continua) Consideriamo due rendite perpetue: una rendita perpetua immediata posticipata con rata R R R R R R R n n t una rendita perpetua posticipata differita di n periodi con rata R R R... 0 n n + 1 n t

13 Valutazione Rendita limitata (continua) Una rendita (immediata) limitata di durata n rata R equivale alla differenza tra una rendita perpetua immediata posticipata con rata R e una rendita perpetua posticipata differita di n periodi con rata R V A = n t=1 R(1 + i) t = t=1 R(1 + i) t t=n+1 R(1 + i) t La rendita differita ha valore attuale pari a una rendita perpetua attualizzata rispetto agli n anni di differimento t=n+1 R(1 + i) t = R i (1 + i) n

14 Valutazione Rendita limitata (continua) Una rendita (immediata) limitata di durata n e rata R ha valore attuale V A = n t=1 R(1 + i) t = R i R i (1 + i) n = R i ( 1 (1 + i) n )

15 Rendita immediata posticipata di durata n Il valore attuale di una rendita posticipata dove V A = Ra n i 1 (1 + i) n a n i = i Possiamo anche scrivere il montante V F = Rs n i dove s n i = (1 + i)n 1 i

16 Esempio Consideriamo una rendita di rata 5000 euro durata 10 anni e tasso di valutazione 7%. Il suo valore attuale V A = R ( 1 (1 + i) n ) = 5000 ( 1 (1.07) 10 ) i 0.07

17 Valutazione Rendita limitata differita Una rendita limitata di durata n e rata R viene differita di m periodi il suo valore attuale sará pari al valore attuale di rendita immediata limitata di pari durata e R attualizzato rispetto agli m periodi V A = m+n t=m R(1 + i) t = R i ( 1 (1 + i) n ) (1 + i) m

18 Esercizi Valutare le seguenti rendite con tasso i = 6% una rendita posticipata differita di 3 anni, durata 5 anni e rata 1000 una rendita perpetua immediata posticipata con rata R = 7000 una rendita posticipata limitata di durata 10 anni e rata 2000 euro

19 Rendita anticipata perpetua Una rendita anticipata vede il pagamento o la riscossione della rata ad inizio periodo. V A = t=0 R(1 + i) t = R 1 + i i Il suo valore attuale é pari al valore attuale di una rendita posticipata capitalizzato di un periodo.

20 Rendita anticipata limitata Una rendita anticipata vede il pagamento o la riscossione della rata ad inizio periodo. Il suo valore attuale é uguale al valore attuale di una rendita posticipata capitalizzato di un periodo. Il valore attuale di una rendita anticipata dove V A = Rä n i 1 (1 + i) n ä n i = (1 + i) i Possiamo anche scrivere il montante dove V F = R s n i s n i = (1 + i)n 1 (1 + i) i

21 Rendita anticipata limitata differita Il valore attuale di una rendita anticipata differita di m periodi V A = m+n t=m R(1 + i) t = R i ( 1 (1 + i) n ) (1 + i) m+1

22 Esempi Valutare una rendita anticipata al tasso nominale i = 6% con rata quadrimestrale di 2000 euro e durata 10 anni. La rata é quadrimestrale quindi il tasso i 3 = j m /3 = 2% il numero delle rate é 10 3 = 30 quindi 1 (1 + i) n 1 ( ) 30 V A = R (1 + i) = 2000 ( ) i ( ) 30 V A = 2000 ( ) = 45688,

23 Esercizio Considerate un immobile dato in locazione che fornisce un canone di euro semestrali. Dato che tra tasse e manutenzione ordinaria l immobile comporta un uscita annua di 2000 euro, valutare il valore della rendita netta prodotta dall immobile usando un tasso annuo nominale r = 4%.

24 Soluzione: L affitto produce una rendita perpetua con rata semestrale e tasso semestrale 2%, quindi V A = 10000/0.02 = Le spese costituiscono una rendita perpetua (in uscita) di rata annua 2000 e tasso annuo effettivo i = (1 + i m ) m 1 = 4.04% V A = 2000/ = Il valore netto é dato dal valore attuale delle entrate meno il valore attuale delle uscite V A = =

25 Esercizio Valutare un investimento che prevede l esborso oggi di euro e incassi mensili per i prossimi 7 anni di 1000 euro. Usare un tasso annuo di riferimento pari al 8% (effettivo). Bisogna calcolare il VAN dell operazione, le uscite hanno VA pari a Le entrate possono essere valutate come una rendita di rata 1000 euro, durata 12 7 = 84 e tasso mensile i 12 = (1 + i) 1/m 1 = 0.64% 1 ( ) 84 V AN = V AN = = 5264, 58 = Domanda: a quale tasso il VAN dell operazione é nullo? (T IR 5.45%)

26 Quesito Considerate l operazione finanziaria che prevede il seguente flusso x/t = { 20000, 2000, 4000, 8000, 16000}/{0, 1, 2, 3, 4} non possedendo oggi la cifra di é conveniente prendere un prestito che prevede il rimborso in 15 rate quadrimestrali di 1480 euro? Risposta: é conveniente se l operazione ha un TIR superiore al tasso applicato per il prestito. Trovare TIR operazione e tasso applicato per ill prestito. Soluzione: Il tasso del prestito é circa del 4% nominale, mentre il TIR é superiore al 13%.

27 Siamo interessati a rispondere a domande del tipo: volendo prendere un prestito di X euro con tasso r e durata n quale é la rata di rimborso? in quante rate si restituisce un prestito di X offerto al tasso r se la rata massima che si puó pagare é R? se ho preso in prestito l importo X e mi viene proposto un piano di rimborso in n rate di importo R, quale é il tasso applicato?

28 Formule inverse: calcolare la rata Consideriamo un prestito di importo X offerto al tasso i da rimborsare in n anni, quale sará la rata? In caso di rimborso con rata posticipata (a fine periodo), deve valere X = R a n i = R Invertendo rispetto ad R risulta 1 (1 + i) n i R = X a n i = X 1 (1+i) n i = X i (1 + i)n (1 + i) n 1

29 Formule inverse: calcolare la rata Consideriamo un prestito di importo X offerto al tasso i da rimborsare in n anni, quale sará la rata? In caso di rimborso con rata anticipata (a inizio periodo), deve valere 1 (1 + i) n X = R ä n i = R (1 + i) i Invertendo rispetto ad R risulta R = X ä n i = X 1 (1+i) n i (1 + i) = X i (1 + i)n 1 (1 + i) n 1

30 Esempio Si consideri un prestito di al tasso effettivo 5% da rimborsare in 8 anni con rata pagata alla fine dell anno. Trovare la rata. R = X i (1 + i)n (1 + i) n 1 = (1.05)8 (10.5)

31 Esempio Valutare la rata mensile di un mutuo di durata ventennale e importo euro offerto al tasso annuo nominale 4%. Soluzione: numero rate= 20 12, tasso mensile i 12 = 4% 12 = 0.33% posticipata R = X i (1 + i)n (1 + i) n anticipata R = X i (1 + i)n 1 (1 + i) n

32 Costituzione di capitale: calcolare la rata Se si intende costituire un capitale di X in versando n rate su un fondo che rende il tasso r, la rata di costituzione risulta se la rata é postipata R = X s n i se la rata é anticipata R = X s n i

33 Esempio Volete costituire un capitale di 5000 euro con 10 versamenti annui al tasso 6%. Calcolare la rata di costituzione in caso di pagamento posticipato la rata di costituzione in caso di pagamento anticipato il valore del fondo dopo il versamento della quarta rata (in entrambi i casi)

34 Esercizi 1 Valutare la rata mensile di un mutuo di durata trentennale, importo euro offerto al tasso annuo effettivo 6%. 2 Vi propongono di acquistare un auto oggi e iniziare a pagare tra 3 mesi con 48 rate mensili posticipate. Il costo dell auto é di euro e il tasso applicato per il finanziamento é r = 8% effettivo annuo. Calcolare la rata. 3 Volete acquistare oggi un appartamento al costo di euro, l appartamento ha dei costi annui (tasse e manutenzione) di 2000 euro. Valutate l affitto mensile che potete ricavare considerando un operazione equa e un tasso annuo nominale 9%.

35 Formule inverse: calcolare la durata Considerato il prestito di importo X al tasso i, potendo pagare una rata massima pari ad R quale é la durata minima del rimborso? Invertiamo rispetto a n X = R a n i = R in caso di rimborso posticipato e 1 (1 + i) n i 1 (1 + i) n X = R ä n i = R (1 + i) i in caso di rimborso anticipato.

36 Formule inverse: calcolare la durata (continua) X 1 (1 + i) n = R i applico il logaritmo log(1 + i) n = log ( 1 X i R ) (1 + i) n = 1 X i R n log(1 + i) = log ( 1 X i R ) Otteniamo la durata minima n = log ( 1 X R i log(1 + i) )

37 Esempio Dato un prestito di 8000 euro e un tasso i = 6% quale é la durata minima del rimborso se non si vuole pagare una rata maggiore di 1000 euro annui? Trovare la rata. Si applica n = log ( 1 X R i ) log(1 + i) con X = 8000, i = 6% e R = 1000 e si ottiene n = Attenzione! Il numero di rate deve essere intero, quindi devo arrotondare al numero intero per eccesso, risulta n = 12. Adesso possiamo calcolare la rata con n = 12 R = X i (1 + i)n (1 + i) n 1 954, 21

38 Esercizi teorici 1) Trovare la durata di un rimborso di importo X, rata R e tasso i in caso di pagamento anticipato. 2) Trovare la durata di una costituzione di capitale X al tasso r, depositando una rata R in via anticipata. 3) Ripetere esercizio 2 in via posticipata. 4) Trovare valore della rata di rimborso di un prestito di importo X, durata n, tasso i pagato in via anticipata.

39 Esercizi 1) Su un fondo con tasso di rendimento effettivo annuo del 12% vengono depositati euro con l intento di prelevare mensilmente in via posticipata 500 euro. Dopo quanto avviene l ultimo prelievo? 2) Per costituire la somma di euro viene programmato di fare versamento mensili anticipati per 3 anni al tasso nominale 10.8%. Determinare rata. 3) Dato un prestito di 5000 al tasso effettivo annuo 7% da restituire in 4 anni con rate mensili pagate in via anticipata, calcolare la rata di rimborso.

40 4) Versando 4 rate annue anticipate al tasso 5% si é costituito al termine del terzo anno un montante di euro determinare l importo della rata determinare il numero di versamenti supplementari necessari a costituire un capitale di Specificare il valore dell ultima rata (l ultima rata potrebbe essere minore delle altre)

41 Esercizi di riepilogo 1) Otteniamo oggi dalla banca un prestito di da restituire con 6 rate annuali posticipate al tasso i = 14%. Determinare la rata. Dopo 2 anni ci accorgiamo di aver bisogno di ulteriori e ci rivolgiamo alla banca, supponendo di ottenere il prestito alle stesse condizioni del precedente con la durata di rimborso invariata, quale sará la nuova rata da pagare? 2) La banca XYZ propone un mutuo a 20 anni al tasso nominale i da rimborsare in rata costante mensile da pagare in via posticipata. Calcolare la rata nel caso di un mutuo di C euro. Dati: C = i = 4.2%.

42 Piano di Ammortamento Il piano di ammortamento o piano di rimborso definisce le modalitá di rimborso di un capitale preso in prestito. Il piano indica per ogni rata la quota capitale rimborsata, la quota interesse corrisposta e il debito residuo dopo il pagamento della rata. t R t QI t QC t DR t C 1 R 1 QI 1 QC 1 DR 1 2. R 2. QI 2. QC 2. DR n R n QI n QC n 0

43 Formule di Ammortamento La rata R t ad ogni istante t si compone di quota capitale QC t e QI t : R t = QC t + QI t la quota interesse é l interesse pagato su debito residuo DR t 1 QI t = i DR t 1 il debito residuo si aggiorna sottraendo dal debito residuo dell istante t 1 la quota capitale pagata DR t = DR t 1 QC t

44 Un piano di ammortamento puó avere Rata costante e viene detto ammortamento francese Quota capitale costante e viene detto ammortamento italiano NB: Esistono altri piani di ammortamento (esempio: tedesco, americano..) che non sono oggetto di studio in questo corso.

45 Piano di Ammortamento Francese Preso un prestito di importo C al tasso i e durata n, calcoliamo la rata costante R utilizzando le formule delle rendite se pagata in via anticipata R = C ä n i se pagata in via posticipata R = C a n i

46 Piano di Ammortamento Francese La colonna delle rata sará valorizzata con la rata costante R. t R t QI t QC t DR t C 1 R 2. R n R 0

47 Piano di Ammortamento Francese Determiniamo la quota interesse QI 1 = C i e calcoliamo la quota capitale QC 1 = R QI 1 aggiorniamo il debito residuo DR 1 = C QC 1 Nota che C é uguale al debito residuo al tempo 0, denotato con DR 0.

48 Piano di Ammortamento Francese (continua) Iterando le formule abbiamo quota interesse quota capitale debito residuo QI t = DR t 1 i QC t = R QI t DR t = DR t 1 QC t con t = 1,..., n, DR 0 = C e R = C a n i (via posticipata)

49 Osservazioni sul debito residuo In ogni istante t il debito residuo coincide con il valore attuale delle rate ancora da pagare. In caso di ammortamento francese con rata costante R si ha DR k = R a n k i

50 Esempio Determinare il piano di ammortamento di un prestito offerto al tasso i = 6% di euro restituito in 5 rate costanti pagate in via posticipata. Determinare rata R = C a n i =

51 Esempio Compilare il piano usando QI t = DR t 1 i, QC t = R QI t, DR t = DR t 1 QC t t R t QI t QC t DR t

52 Esempio Nell ammortamento francese di un prestito di 10 anni la settima rata comprende una quota capitale di 300 ed una quota interessi di 250. Sapendo che il tasso applicato é il 4% determinare l importo del prestito. Soluzione: sappiamo che la rata é R = = 550. l importo del prestito é C = 550a 10 4%

53 Esercizi 1) Ricostruire il piano di ammortamento dell esempio in caso di pagamento in via anticipata 2) Considerate un prestito di euro offerto al tasso effettivo annuo 5%, rimborsato in 3 anni con rata trimestrale. Determinare il debito residuo alla fine dei primi due anni. 3) Costruire il piano di ammortamento di un prestito di 5000 euro da restituire in 24 rate mensili costanti posticipate. Usare un tasso effettivo r = 7%. Dopo il pagamento della dodicesima rata si decide di estinguere il prestito pagando il debito residuo in un unico pagamento, quale sará l importo del pagamento?

54 Piano di Ammortamento Italiano Preso un prestito di importo C al tasso i e durata n, calcoliamo la quota capitale costante QC = C n Determiniamo la prima quota interesse e calcoliamo la rata aggiorniamo il debito residuo QI 1 = C i R 1 = QC + QI 1 DR 1 = C QC

55 Piano di Ammortamento Italiano (continua) iterando si hanno le formule quota interesse rata debito residuo QI t = DR t 1 i R t = QC + QI t DR t = DR t 1 QC con t = 1,..., n, DR 0 = C e QC = C n (via posticipata)

56 Esempio Determinare il piano di ammortamento italiano di un prestito offerto al tasso i = 6% di euro restituito in 5 rate pagate in via posticipata. Determinare la quota capitale costante QC = C n = 2000

57 Esempio Compilare il piano usando QI t = DR t 1 i, R = QC + QI t, DR t = DR t 1 QC t R t QI t QC t DR t

58 Osservazioni su ammortamento francese e italiano In che modo evolvono nel tempo le quote interessi nei due ammortamenti? Come evolvono le rate e le quote capitali? Come evolve il debito residuo?

59 TAN e TAEG Il TAN é il Tasso Annuale Netto ed é il tasso annuo nominale applicato al credito concesso al netto delle spese e degli oneri. Il TAEG é il Tasso Annuo Effettivo Globale ed é il tasso che include tutte le commissioni applicate al mutuo/prestito. In un mutuo/prestito rientrano per il calcolo della rata le spese di istruttoria, le commissioni, le assicurazioni obbligatorie (etc) che vanno aggiunte all importo del mutuo. Sull importo totale si calcola la rata usando il TAN. Invece per calcolare la rata a partire dall importo al netto delle spese si applica il TAEG.

60 Esempio: TAN e TAEG Si consideri un mutuo di importo euro, durata trentennale e rata mensile, con T AEG = 7.883% e T AN = 7.625%. Calcolare la rata e le spese. Usando il TAEG determiniamo la rata e otteniamo R = Con questa rata usando il TAN determiniamo il valore effettivo del prestito concesso C = euro. Tale mutuo prevede quindi spese complessive (istruttoria, commissioni...) pari a = 5177.

61 Esercizi 1) Costruire il piano di ammortamento italiano di un prestito di importo con tasso nominale 4% rata mensile durata 3 anni tasso effettivo 5% rata semestrale durata 5 anni 2) Ripetere esercizio precedente in caso di ammortamento francese. 3) Determinare la rata di un prestito di euro da rimborsare in 24 rate mensili con T AN = 0% e T AEG = 3%. Calcolare le spese.

62 Esercizi di riepilogo 1) Date le seguenti operazioni finanziarie A: un esborso iniziale di euro in cambio di entrate costanti annue perpetue di importo 200 euro B: un esborso iniziale di euro in cambio di 5000 euro dopo 2, 4 e 6 anni. Stabilire con il criterio del VAN quale operazione é da preferire. Si faccia riferimento ad un tasso annuo effettivo r = 7%.

63 2) Il signor Rosso chiede alla banca Nera un mutuo di euro da rimborsare con rate costanti mensili al tasso effettivo annuo i = 5%. Il signor Rosso non puó permettersi di pagare una rata superiore a 1000 euro. Quanti anni minimo durerá il mutuo? 3) Considerando un prestito di euro al tasso nominale 8%, durata 5 anni, rata mensile costante posticipata; calcolare il debito residuo dopo il pagamento della seconda rata. 4) Per rimborsare un prestito di importo il signor X deve pagare rate semestrali per 10 anni a quota capitale costante. Sapendo che la prima rata vale 750, determinare l importo dell ultima rata.

64 5) La signora Bianchi contrae un mutuo di per l acquisto di una casa al tasso nominale 6% rata mensile con quota capitale costante e rimborso in 15 anni. Alla fine del decimo anno decide di cambiare banca e stipula un nuovo mutuo ad estinzione del vecchio. Il nuovo mutuo prevede un rimborso in 10 anni rata mensile costante e tasso nominale 5%. Si suppone che per l estinzione del vecchio mutuo la signora non deve pagare commissioni ne penali ma solo il debito residuo. Determinare la rata del nuovo mutuo. 6) Dato un prestito di euro da restituire in 3 rate costanti, sapete che la quota interesse pagata nella prima rata é di 400 euro. Ricostruite il piano di ammortamento.

65 7) Due rendite sono cosí strutturate: la prima prevede il pagamento di una rata R ogni 6 mesi per 8 anni la seconda prevede il versamento di una rata annua di 1000 per 8 anni Calcolare l importo della rata R che rende equivalenti le due rendite nel caso in cui il tasso d interesse annuo sia i = 5%.