ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2016/2017

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1 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2016/2017 Esercizi risolti a lezione (novembre 2016) Piani di ammortamento Esercizio 1. Un finanziamento pari a e viene rimborsato con 4 rate annue posticipate a quote di capitale costante (piano all italiana) e tasso annuo composto i = 8%. a) Stabilire l ammontare delle quattro rate R 1, R 2, R 3, R 4 redigendo il piano di ammortamento; b) stabilire l ammontare delle quattro rate R2, R 3, R 4, R 5 nel caso in cui, dopo il pagamento della prima rata R 1, il debitore ottenga l allungamento di un anno del rimborso, di nuovo a quote di capitale costante e riduzione del tasso di un punto percentuale. Soluzione. Il piano è all italiana, quindi C 1 = C 2 = C 3 = C 4 = C. Poiché il rimborso si chiude al quarto anno si ha C 1 +C 2 +C 3 +C 4 = D 0 4C = C = 25000e. a) Dobbiamo applicare le seguenti formule: I k = D k 1 i, per k = 1,2,3,4, R k = C +I k = I k, per k = 1,2,3,4, D k = D 0 kc = k per k = 1,2,3,4, dunque otteniamo il seguente piano di ammortamento:

2 2 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA b) Siano C = C 1 e C = C 2 = C 3 = C 4 = C 5, quindi abbiamo che C 1 +C 2 +C 3 +C 4 +C 5 = D 0 C +4C = C = da cui C = 18750e. Procedendo come nel punto a) per le epoche t = 2,3,4,5 con tasso annuo di interesse i = 0,07, abbiamo il seguente piano di ammortamento: , , , ,50 0 Esercizio 2. Un impresa ha contratto 3 anni fa un mutuo di ammontare 10000e al tasso annuo composto del 10%. Un anno più tardi ha versato una prima rata di 3000e e due anni dopo una seconda rata di 4000e. a) Determinare il debito residuo D 2. b) Determinare la terza rata se il debito è chiuso al terzo anno. c) Se invece l impresa estingue il debito in 4 anni complessivi, pagando una stessa rata R negli ultimi due anni, determinare tale rata, sapendo che, solo nel quarto anno, il tasso è salito al 12%. Soluzione. a) Per quanto riguarda l epoca t = 1, abbiamo I 1 = D 0 i = ,1 = 1000e, C 1 = R 1 I 1 = = 2000e, D 1 = D 0 C 1 = = 8000e. In modo analogo si calcolano I 2, C 2 e D 2 per l epoca t = 2, dunque abbiamo il seguente piano di ammortamento: dunque D 2 = 4800e.

3 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 3 b) Se supponiamo di estinguere il debito al terzo anno si ha I 3 = D 2 i = ,1 = 480e; essendo D 3 = 0 e D 3 = D 2 C 3, abbiamo che C 3 = D 2 = 4800e; infine R 3 = C 3 +I 3 = = 5280e. Allora il piano di ammortamento è il seguente: c) In questo caso il piano di ammortamento è il seguente: 3 R R 5280 R R 633,6 0,12R R 0 L equazione da impostare è R 4 = C 4 +I 4, ossia otteniamo la seguente equazione in R: R = 5280 R+633,6 0,12R 2,12R 5913,6 = 0 da cui R = 2789,43e. Esercizio 3. Un prestito di 10000e viene rimborsato in 5 anni a rate semestrali costanti al tasso i s = 2,4%. Dopo 2 anni esatti, il debitore continua il piano di ammortamentopressounaltroistitutodicreditoatassoi s = 2%,pagandoalvecchio istituto una penale, finanziata dal nuovo istituto, dell 1,2% sul debito residuo. Supponendo che, presso il nuovo istituto, il debitore, oltre ad un abbassamento di tasso, ottenga anche di pagare con un anno in più di tempo, a quanto ammonta la nuova rata?

4 4 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA Soluzione. Dopo 2 anni, usando la formula compatta che lega un debito residuo intermedio a quello iniziale nel piano alla francese, il debito residuo è D 4 = D 0 1 (1+i s) 6 1 (1+i s ) 10. (1) Poiché il debitore, cambiando istituto di credito, paga una penale dell 1,2% su D 4, ma ha a disposizione un anno in più (ossia 2 ulteriori rate) per pagare, significa che nel nuovo istituto deve ripianare un debito di (1,012) D 4, sempre alla francese, in 4 anni, a tasso i s. La nuova rata costante R, pertanto diviene R = 1,012 D 4 Inserendo nella (2) la (1), si ha che R = 1,012 D 0 i s 1 (1+i 8. (2) s) i s (1 (1+i s ) 6 ) (1 (1+i s) 8 ) (1 (1+i s ) 10 ). (3) Inserendo ora i dati numerici nella (3) si trova che R 867,85.e Esercizio 4. Non potendo pagare l ultima rata R n, pari a 1000e, di un mutuo a tasso i = 10%, ottenete di chiudere il prestito pagando 2 rate uguali pari a R alle epoche t = n e t = n+1. A quanto ammonta R? Soluzione. In pratica, si tratta di scambiare la rata di 1000 euro con due rate costanti pagate l una sempre all ultimo anno e l altra l anno dopo, ma il cui complessivo valore attuale, dove attuale qui si riferisce all n-esimo anno, deve coincidere con Dunque, l equazione da impostare è 1000 = R+ R 1+i da cui facilmente R = 1+i , i Esercizio 5. (Difficile) Stilate un piano di ammortamento all italiana con prestito iniziale pari a 2000 euro e durata 4 anni, ai tassi i 1 = 4% per i primi due anni e i 2 = 6,5% per i successivi due anni. Successivamente, dimostrate che a questo piano corrisponde un tasso costante i per tutto il periodo compreso tra il 4,7% e il 4,8%. Soluzione. La quota capitale costante (anche se i tassi cambiano nel corso dei quattro anni, rimane questa la caratteristica saliente di un piano all italiana) é data da C = D 0 /4 = 500 euro. Il piano dei primi due anni, a tasso costante pari a i 1, risulta dunque

5 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA Poi si riparte incollando al piano precedente un nuovo piano all italiana di due anni, con quota capitale costante sempre pari a 500 euro, debito residuo iniziale pari a D 2, ossia 1000 euro, e a tasso costante pari a i 2, dato da ,5 532,5 0 Per sapere a quale tasso costante avrei ottenuto lo stesso piano, mi basta impostare la condizione di chiusura finanziaria, ossia n R k (1+i) k = 2000, k=1 ove R k, per k = 1,...,4, sono le rate effettivamente pagate. La formula precedente risulta una equazione nell incognita i: per dimostrare che la soluzione di tale equazione é compresa tra i valori indicati, chiamate f la funzione f(i) = n k=1 R k = (1+i) k (1+i) (1+i) (1+i) ,5 (1+i) e notate che (a) f(0) > 0; (b) f(i) < 0 per i molto elevati; (c) f(i) é monotona decrescente (lo si vede facilmente calcolando la derivata di f(i)). Pertanto la soluzione che cerco é unica e siccome, attraverso lunghi ma banali calcoli, siverificachef(0,047) > 0,mentref(0,048) < 0,hodimostratochel unicasoluzione che sto cercando é necessariamente compresa tra i due valori di i indicati.