V esercitazione di Matematica Finanziaria

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1 V esercitazione di Matematica Finanziaria Esercizio 1. Dato un debito S=6 000 euro, valutato secondo una legge di capitalizzazione esponenziale al tasso di interesse annuo i=4%, si calcola l importo della rata costante R = ( ) 5 = pertanto si compila il seguente piano di ammortamento Esercizio 2. Si ripete l esercizio precedente ipotizzando un ammortamento a quota capitale costante, calcolata da C = perciò si ottiene il piano di ammortamento = 1 200, Esercizio 3. Dato un debito S=5 800 euro da restituire in 3 anni a rata semestrale costante posticipata, per compilare il piano di ammortamento si calcola il valore della rata supponendo di sottostare ad una legge di capitalizzazione esponenziale al tasso di interesse annuo i=2.5%, il cui tasso di interesse su base semestrale equivalente è i 2 = ( ) 1/2 1 =

2 Il valore della rata è R = ( ) 6 = da cui segue che il piano di ammortamento è Esercizio 4. Si ripete l esercizio precedente ipotizzando un ammortamento a quota capitale costante, calcolata da C = perciò si ottiene il piano di ammortamento = , Esercizio 5. Una grande azienda concede ad un suo cliente un finanziamento S= euro da ammortizzare in 5 anni, a rate trimestrali posticipate costanti secondo una legge di capitalizzazione esponenziale con tasso di interesse annuo i=4%; il valore della rata si ottiene da ove il tasso trimestrale è R = ( ) 20 = i 4 = ( ) 1/4 1 = e m=20 sono il numero di rate da pagare. Il valore della penultima quota capitale è C 19 = ( ) ( ) =

3 mentre il valore della quota interessi corrispondente è I 19 = = Il piano di ammortamento relativo alle prime 4 rate è Se il cliente non è in grado di pagare una rata superiore a X=350 euro, il numero minimo di rate da pagare per ammortizzare il debito è ( ) ln m = ln( ) 1 = = 125 pertanto la nuova rata è data da R 1 = = ( ) 125 Esercizio 6. Dato un debito S= euro, rimborsabile in 15 anni a rata costante posticipata semestrale secondo un tasso di interesse annuo i=4.4%, si restituisce pagando una rata pari a ove il tasso di interesse semestrale è R = ( ) 30 = i 2 = ( ) 1/2 1 = Il piano di ammortamento relativo alle prime 4 rate è Se si suppone di avere un periodo di preammortamento di 2 anni, si paga una rata di preammortamento pari a R pr = [( ) 4 1] =

4 Esercizio 7. Dato un titolo a cedola fissa x di valore facciale C=400 euro quotato alla pari, scadenza in 8 anni, cedola annuale e tasso di interesse nominale annuo 8%, il tasso interno di rendimento è esattamente uguale al tasso nominale. Nello specifico, la cedola è uguale a da cui segue che il tasso cedolare è I = C j nom = = 32, i c = = 0.08 che coincide con il tasso interno di rendimento del titolo. Il valore attuale del titolo è calcolato come W (0, x) = (1.08) (1.08) 8 = 0 cioè l operazione valutata secondo il tasso interno di rendimento risulta equa. Esercizio 8. Dato un flusso di importi monetari x/t : { 60, 55, 140}/{0, 1, 2} con scadenzario in anni, il tasso interno di rendimento si ottiene risolvendo (1 + i) (1 + i) 2 = 0; si pone v = (1 + i) 1, per cui l equazione suddetta diventa v v 2 = 0, da cui si ottiene 55 ± v = 280 L unica soluzione accettabile è quella con segno positivo, cioè v = perciò il tasso interno di rendimento è i = 1 1 = = 13.65% Affinché il tasso interno di rendimento risulti pari al 9% annuo, in t=0 bisogna aggiungere una cifra x 0 calcolata risolvendo l equazione di primo grado 60 + x 0 55 ( ) ( ) 2 = 0, da cui segue che x 0 = =

5 Esercizio 9. Dato un flusso di importi monetari x/t : { 320, 60, 310}/{0, 3, 6} con scadenzario in anni, il tasso interno di rendimento si ottiene risolvendo (1 + i) (1 + i) 6 = 0; si pone v = (1 + i) 1 e t = v 3, per cui l equazione suddetta diventa 310 t t 320 = 0 da cui si ottiene 60 ± t = 620 L unica soluzione accettabile è quella di segno positivo, cioè t = perciò il tasso interno di rendimento è ( ) 1 1/3 i = 1 = = 2.676% Se il prezzo del titolo è pari a P =318.20, allora il tasso interno di rendimento è maggiore di quello ottenuto in corrispondenza di un prezzo pari a 320, cioè P = < 320 = i > 2.676% Aggiungendo un importo x 1 =-40 in t 1 =9 anni e x 2 =60 in t 1 =12 anni e valutando la nuova operazione al tasso calcolato in precedenza, il valore complessivo in t=7 anni è W (7; x) = 320 ( ) ( ) ( ) 40 ( ) ( ) 5 = ed il valore residuo è V (7; x) = 40 ( ) ( ) 5 =