II Esercitazione di Matematica Finanziaria

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Rosalia Valente
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1 II Esercitazione di Matematica Finanziaria Esercizio 1. Si consideri l acquisto di un titolo a cedola nulla con vita a scadenza di 90 giorni, prezzo di acquisto (lordo) P = euro e valore facciale C = 100 euro. Tale titolo è soggetto ad una ritenuta fiscale, da pagarsi anticipatamente, del 12.50% sull interesse lordo. Relativamente all operazione di acquisto del titolo, calcolare: (a) il tasso di interesse lordo; (b) l intensità di interesse su base giornaliera; (c) il prezzo di acquisto netto; (d) il tasso di interesse netto. Assumendo durata commerciale dell anno (360 giorni) ed ipotizzando un regime di capitalizzazione esponenziale, calcolare al netto della ritenuta fiscale: (e) il tasso di interesse su base annua; (f ) l intensità istantanea di interesse su base semestrale; (g) il tasso di interesse su base bimestrale. Ipotizzando, poi, un regime di capitalizzazione semplice, calcolare, sempre al netto della ritenuta fiscale (h) il tasso di interesse su base annua; (l) il tasso di interesse su base quadrimestrale. Soluzione Relativamente al periodo in oggetto, si ottengono le seguenti grandezze: (a) il tasso di interesse lordo j l = = ;

Relativamente all operazione di acquisto del titolo, calcolare: (a) il tasso di interesse lordo; (b) l intensità di interesse su base giornaliera; (c) il prezzo di acquisto netto; (d) il tasso di

2 (b) l intensità di interesse su base giornaliera γ = = giorni 1 ; (c) il prezzo di acquisto netto (d) il tasso di interesse netto P n = ( ) = 98.69; j n = = In regime di capitalizzazione composta, abbiamo: (e) il tasso di interesse su base annua i = ( ) 360/ = ; (f ) l intensità istantanea di interesse su base semestrale δ sem = 1 ln( ) = ; 2 (g) il tasso di interesse su base bimestrale i bim = ( ) 1/6 1 = In regime di capitalizzazione semplice, si ha: (h) il tasso di interesse su base annua ( ) i = = ; (l) il tasso di interesse su base quadrimestrale i quad = =

69 (f ) l intensità istantanea di interesse su base semestrale δ sem = 1 ln(1.05427) = 0.026424; 2 (g) il tasso di interesse su base bimestrale i bim = (1.05427) 1/6 1 = 0.00885.

3 Esercizio 2. Data l operazione finanziaria x/t := { 140, 50, 130}/{0, 3, 6} con scadenzario in semestri, dire se l operazione risulta equa in t = 0 valutandola al tasso di interesse annuo i = 5.2%, in regime di capitalizzazione composta. In caso di risposta negativa, calcolare la quota x 0 in t = 0 affinché l operazione risulti equa. Soluzione L operazione non è equa, infatti (1.052) (1.052) 3 = 18 0; affinché l operazione risulti equa, in t = 0 dobbiamo avere una quota x 0 tale che x (1.052) (1.052) 3 = 0, dunque x 0 = 158 euro. Esercizio 3. Si consideri un BTP a scadenza t = 5 anni, cedola annua I = 16 euro e valore nominale C = 200 euro. Determinare: (a) il tasso cedolare dell operazione considerata; (b) il rateo generato qualora si acquisti il titolo in t = 0.25 anni; (c) il rateo generato qualora si acquisti il titolo in t = 0.5 anni. Soluzione Determiniamo: (a) il tasso cedolare dell operazione considerata i c = = 0.08; (b) il rateo generato qualora si acquisti il titolo in t = 0.25 anni A = = 4; (c) il rateo generato qualora si acquisti il titolo in t = 0.5 anni A = = 8. 3

052) 1.5 + 130 (1.052) 3 = 18 0; affinché l operazione risulti equa, in t = 0 dobbiamo avere una quota x 0 tale che x 0 + 50 (1.052) 1.5 + 130 (1.052) 3 = 0, dunque x 0 = 158 euro. Esercizio 3.

4 Esercizio 4. Si consideri un titolo a cedola fissa annua, scadenza in t = 9 anni, valore facciale C = 200 euro e tasso nominale annuo j nom = 8% rinnovabile una sola volta in un anno. Dopo aver determinato la cedola del titolo in esame, supponendo di sottostare ad una legge di capitalizzazione composta con tasso annuo di interesse i = 6%, calcolare: (a) il valore dell operazione in t 0 = 0; (b) il valore dell operazione in t = 4 anni; (c) il valore finale dell operazione; (d) il valore residuo dell operazione in t = 5 anni; (e) il valore montante dell operazione in t = 4 anni. E se il tasso annuo di interesse fosse i = 8% quale sarebbe il valore in dell - operazione in t 0 = 0? Soluzione Determiniamo, anzitutto, la cedola I = dunque siamo in grado di calcolare: = 16, (a) il valore dell operazione in t 0 = 0 W (0, BT P ) = 16 1 (1.06) (1.06) 9 = ; (b) il valore dell operazione in t = 4 anni W (4, BT P ) = (1.06) 4 = ; (c) il valore finale dell operazione W (9, BT P ) = (1.06) 9 = ; (d) il valore residuo dell operazione in t = 5 anni V (5, BT P ) = 16 1 (1.06) (1.06) 4 = ; 4

in t 0 = 0; (b) il valore dell operazione in t = 4 anni; (c) il valore finale dell operazione; (d) il valore residuo dell operazione in t = 5 anni; (e) il valore montante dell operazione in t = 4

5 (e) il valore montante dell operazione in t = 4 anni M(4, BT P ) = 16 (1.06) = Se il tasso fosse pari a i = 8%, allora il valore attuale del titolo a cedola fissa sarebbe proprio W (0, BT P ) = 200. Esercizio 5. Si consideri l operazione finanziaria x/t := {20, 80, 70, 50, 60, 50, 20, y}/{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} con scadenzario in anni. Supponendo di valutarla secondo una legge di capitalizzazione composta al tasso di interesse annuo i = 4.5%, calcolare la cifra y che si deve avere in t = 5 anni affinché l operazione risulti equa. Soluzione La cifra y da determinare affinché l operazione risulti equa è soluzione dell equazione cioè 20(1.045) 5 80(1.045) (1.045) (1.045) 2 60(1.045) + y = 0, y = 9.62 Esercizio 6. Si consideri l operazione finanziaria x/t := { 80, 70, 50, 60, 50, 40, 60}/{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; supponendo di lavorare in regime di capitalizzazione composta secondo il tasso di interesse annuo i = 3.8%, calcolare: (a) il valore dell operazione in t 0 = 0; (b) il valore finale dell operazione; (c) il valore dell operazione in t = 3 anni; (d) il valore residuo ed il valore montante dell operazione in t = 2 anni. Soluzione In regime di capitalizzazione composta, calcoliamo: (a) il valore dell operazione in t 0 = 0 W (0, x ) = 7 x k (1, 038) k = 36.65; k=1 5

Si consideri l operazione finanziaria x/t := {20, 80, 70, 50, 60, 50, 20, y}/{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} con scadenzario in anni.

6 (b) il valore finale dell operazione W (7, x ) = W (0, x ) (1.038) 7 = 47.58; (c) il valore dell operazione in t = 3 anni W (3, x ) = W (0, x ) (1.038) 3 = 40.99; (d) il valore residuo ed il valore montante dell operazione in t = 2 anni V (2, x ) = 52.53, M(2, x ) =

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