Confronto tra i regimi finanziari

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Rosina Pini
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1 Confronto tra i regimi finanziari Consideriamo i tre regimi finanziari Quale è il regime più conveniente? Per misurare la convenienza, paragoniamo i fattori di capitalizzazione: r s (t) = f. cap. interesse semplice r i (t) = f. cap. sconto commerciale (iperbolico) r c (t) = f. cap. interesse composto Università Parthenope 1

Per misurare la convenienza, paragoniamo i fattori di capitalizzazione: r s (t) =

2 Confronto tra i regimi finanziari Si ha: r s (0) = r i (0) = r c (0) = 1 r s (1) = r i (1) = r c (1) = 1+i Si dimostra che: r s (t) > r c (t) > r i (t) per 0 < t < 1 r s (t) < r c (t) < r i (t) per t > 1 Università Parthenope 2

3 Capitalizzazione mista Fusione tra interesse semplice e composto: Durante il periodo, il capitale genera interessi secondo la legge dell interesse semplice Al termine di ogni periodo (o a date prestabilite), gli interessi si aggiungono al capitale t=n+h, h <1 => r(t)=(1+i) n (1+i. h) Università Parthenope 3

semplice Al termine di ogni periodo (o a date prestabilite), gli interessi

4 ESEMPIO 11 Calcolare il montante di euro, in capitalizzazione mista, per un periodo di 3 anni e 4 mesi al tasso annuo del 7,50%. Calcolare il montante di euro, in capitalizzazione mista, per il periodo dal 20 novembre 1999 al 15 luglio 2002, al tasso annuo del 7,50% con accredito di interessi al 31 dicembre Università Parthenope 4

5 Leggi finanziarie scindibili Considerata la legge di capitalizzazione r(t), essa si dice se, per ogni s > 0, si ha: SCINDIBILE r(t+s)=r(t). r(s) Il montante generato da un investimento non è alterato da una capitalizzazione intermedia Università Parthenope 5

6 Leggi finanziarie scindibili La legge dell interesse composto è scindibile Le leggi dell interesse semplice e dello sconto commerciale non sono scindibili Università Parthenope 6

7 Leggi finanziarie scindibili Proprietà Solo se una legge finanziaria è scindibile: un capitale può essere riportato finanziariamente tra una data ed un altra con un numero arbitrario di operazioni. è possibile, a partire da un capitale riferito ad un certo istante, definire in modo univoco il suo equivalente finanziario ad un altro istante. Università Parthenope 7

8 Leggi finanziarie La forza d interesse Considerata una generica legge di capitalizzazione ad una variabile: M(t)=C. r(t) si dimostra che il differenziale di M(t) si scrive: d M(t) = M(t) r'(t) r(t) dt Università Parthenope 8

9 Leggi finanziarie La forza d interesse Il differenziale dm(t) rappresenta una stima dell incremento M(t)=M(t+dt)-M(t) Università Parthenope 9

10 Leggi finanziarie La quantità: δ (t) = r'(t) r(t) = d dt [log r(t)] si definisce forza d interesse Università Parthenope 10

11 Leggi finanziarie Risulta: δ (t) = i 1+ i t Interesse semplice δ (t) = d 1 d t Sconto commerciale δ ( t) = log(1 + i) Interesse composto Università Parthenope 11

12 Leggi finanziarie La conoscenza della forza d interesse permette di risalire alla legge di capitalizzazione ad una variabile: t r(t) = exp( δ ( s) ds) da cui si può ricavare il montante 0 M(t) = C exp( t δ ( s) ds) 0 Università Parthenope 12

variabile: t r(t) = exp( δ ( s) ds) da cui si può ricavare

13 Leggi finanziarie Se la forza d interesse è costante risulta: r(t) t = exp( δ ( s) ds) = exp( δ t) 0 da cui si può ricavare il montante M(t) = C e che è la legge di formazione del montante nell interesse composto dove δ è il tasso istantaneo coorispondente ad un tasso effettivo i=exp(δ)-1 δ t Università Parthenope 13

legge di formazione del montante nell interesse composto dove δ è il tasso

14 Leggi finanziarie Teorema Condizione necessaria e sufficiente affinché una legge finanziaria ad un argomento sia scindibile è che la sua forza di interesse sia costante. La legge finanziaria dell interesse composto è l unica legge scindibile tra quelle ad un solo argomento Università Parthenope 14

15 Leggi finanziarie Per confrontare delle operazioni finanziarie occorre rendere compatibili le grandezze finanziarie poste a confronto Ogni operazione può essere intesa come risultante di una particolare legge esponenziale Assegnati due importi x e y, con x<y, disponibili all inizio ed alla fine di un periodo t, esiste un reale δ tale che: y = x e δ t δ = 1 t log y x Università Parthenope 15

particolare legge esponenziale Assegnati due importi x e y, con x<y, disponibili all inizio ed

16 Leggi finanziarie Per confrontare la forza d interesse di una operazione finanziaria con quella che scaturisce da una operazione diversa occorre che il confronto sia effettuato su una stessa scala temporale Università Parthenope 16

una operazione diversa occorre che il confronto sia

17 Leggi finanziarie Tassi equivalenti Se t e t sono la misura dello stesso intervallo temporale secondo due diverse scale: t =t/q Se V(t)=exp(δ. t) e V(t )=exp(δ. t) sono le rispettive funzioni valore, si ha: V(t) = V(t ) => δ. t = δ. t => δ = δ. q Università Parthenope 17

18 Leggi finanziarie Intensità equivalenti Se t e t sono la misura dello stesso intervallo temporale secondo due diverse scale: t =t/q Se V(t)=(1+i) t e V(t )=(1+i ) t sono le rispettive funzioni valore, si ha: V(t) = V(t ) => (1+i) t = (1+i ) t => i = (1+i) q -1 Università Parthenope 18

V(t)=(1+i) t e V(t )=(1+i ) t sono le rispettive funzioni valore, si

19 ESEMPIO 12 Confrontiamo le seguenti operazioni finanziarie: {1; 1.03}/{0.5; 1} {100; 115}/{0.5; 1.5} Università Parthenope 19

20 Valore di una operazione finanziaria Data l operazione finanziaria x/t: {x 1, x 2,..., x n }/{t 1, t 2,..., t n } e una legge di valutazione con intensità istantanea δ, si chiama valore della operazione la somma dei valori attuali degli importi: V(0, x) n n n δ t V(0, xj) = xje = xj(1 + i) j= 1 j= 1 j= 1 = j t j Università Parthenope 20

.., t n } e una legge di valutazione con intensità istantanea δ, si chiama valore

21 Valore di una operazione finanziaria Definizione Data l operazione finanziaria x/t: {x 1, x 2,..., x n }/{t 1, t 2,..., t n } e una legge di valutazione con intensità istantanea δ, l operazione si dice equa se il valore delle somme incassate è uguale al valore delle somme pagate: V(0, x) = n j= 1 V(0, x j ) = n j= 1 x e j δ t = n j= 1 x (1 + i) j t j j = 0 Università Parthenope 21

22 ESEMPIO 13 Data l operazione finanziaria x/t: {100,10,5}/{0.5,1.5,2} e una legge di valutazione con intensità istantanea δ=log(1,1), calcolare il valore da pagare in t=0 affinché l operazione sia equa Università Parthenope 22

23 Tasso interno di rendimento Data l operazione finanziaria x/t: {x 0, x 1, x 2,..., x n }/{0, t 1, t 2,..., t n } con x 0 < 0 e x j >0, j=1,..., n, si definisce: tasso interno di rendimento (T.I.R.) il tasso che rende equa l operazione Università Parthenope 23

24 Tasso interno di rendimento Data l operazione finanziaria x/t: {x 0, x 1, x 2,..., x n }/{0, t 1, t 2,..., t n } con x 0 < 0 e x j >0, j=1,..., n, risulta: T.I.R. = i x n t = x (1+ i) 0 j j= 1 j Università Parthenope 24

25 Esempio 14 Data l operazione finanziaria x/t: calcolare il T.I.R {-110,100,10,5}/{0,0.5,1.5,2} Università Parthenope 25

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Operazioni finanziarie composte Consideriamo due operazioni finanziarie: {S, -(S+I)}/{0,1} e {S, -(S+I+J})}/{0,2} La seconda può essere intesa come la composizione di due operazioni elementari: {S, -(S+I)}/{0,1},