Elementi di Matematica Finanziaria. Mercati e operazioni finanziarie

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1 Elementi di Matematica Finanziaria Mercati e operazioni finanziarie

2 Mercati finanziari Punti di vista 1. Tipologie dei beni scambiati; 2. Partecipanti; 3. Ubicazione; 4. Regole e modalità contrattuali.

3 Mercati e operazioni finanziarie Funzioni del mercato finanziario 1. allocazione del credito: mediazione tra la domanda e l offerta di capitali; 2. garanzia della liquidità: possibilità di rivendere titoli in qualsiasi momento; 3. agevolazione della formazione dei prezzi: trattazione continua dei titoli; 4. gestione del sistema dei pagamenti: trasferimento di fondi e titoli tra diverse controparti.

4 Mercati e operazioni finanziarie Partecipanti al mercato finanziario 1. detentori di surplus di risparmio (investitori risparmiatori); 2. prenditori caratterizzati da deficit di risparmio (imprese, stato); 3. intermediari finanziari.

5 Operazioni finanziarie Classificazione Operazioni in condizione di certezza Operazioni in condizione di incertezza

6 Operazioni finanziarie Ipotesi Mercato perfetto privo di frizioni perfettamente competitivo assenza di arbitraggi

7 Mercato Perfetto Privo di frizioni non vi sono costi di transazione; non vi sono imposte; i titoli sono infinitamente divisibili nel senso che non vi è un taglio minimo per ciascun titolo; sono consentite le vendite allo scoperto (short sales); non c'è rischio di insolvenza da parte dell'emittente.

8 Mercato Perfetto Perfettamente competivo i partecipanti non sono in grado di influenzare i prezzi, che vengono determinati dall interazione tra domanda e offerta; i partecipanti sono agenti massimizzanti, nel senso che ottimizzano rispetto alla propria funzione obiettivo;

9 Mercato Perfetto Assenza di arbitraggi non è possibile conseguire un profitto a costo zero

10 Mercato Perfetto Soggetti Il risparmiatore (investitore), che acquista attività remunerative in cambio della rinuncia a disporre del capitale per un certo periodo di tempo e, quindi, della posticipazione del proprio consumo e richiede un premio (interesse). 2. Il prenditore, che prende a prestito per fare fronte ad un deficit di fondi. L'anticipazione del proprio consumo e/o investimento necessita il pagamento di un prezzo.

11 Operazione finanziaria elementare Definizione: Un operazione finanziaria elementare è un contratto che prevede la cessione da parte di un soggetto di un importo S disponibile ad una certa data, ad un altro soggetto, in cambio di un altro importo T, disponibile ad un'altra data, successiva alla prima.

12 Operazione finanziaria elementare S T=S+I t=0 t=1 I = interesse

13 Principio di equivalenza itertemporale L importo S al tempo t=0 equivale alla somma T=S+I al tempo t=1

14 Il denaro ha una dimensione temporale: Un stessa somma nominale ha un valore diverso a seconda della data a cui si riferisce

15 Esiste un costo implicito nella rinuncia di una somma di denaro tra due importi disponibili alla stessa data è preferito quello di ammontare maggiore; tra due importi di uguale ammontare disponibili in due date differenti è preferito quello disponibile alla data più prossima. L interesse deve essere non negativo

16 Operazione finanziaria In uno o più istanti temporali, si ha un flusso di finanziario: {x 1, x 2,..., x n }/{t 1, t 2,..., t n } = x/t Gli elementi del flusso finanziario possono essere sia positivi che negativi l insieme dei tempi è detto scadenziario

17 Operazione finanziaria L operazione finanziaria elementare si indica: {S, -(S+I)}/{0,1} dal punto di vista del prenditore {-S, (S+I)}/{0,1} dal punto di vista dell investitore

18 Operazione di investimento Un soggetto rinuncia al tempo t 0 ad una somma C per ottenere al tempo t f una nuova somma M La somma C è chiamata CAPITALE La somma M è chiamata MONTANTE Il tempo t f e il montante M possono o meno essere predefiniti La differenza I = M - C è chiamata INTERESSE Il rapporto i = I/C è chiamato TASSO di INTERESSE: I=C. i Il rapporto m = M/C è chiamato FATTORE DI CAPITALIZZAZIONE: M=C. m (spesso è indicato con r) m = r = 1 + i

19 Operazione di sconto Un soggetto rinuncia ad una somma futura K (al tempo t f ) per avere ora (al tempo t 0 )una sommap La somma K è chiamata CAPITALE Il tempo t f e il capitale K possono o meno essere predefiniti La somma P è chiamata VALORE ATTUALE di K La differenza D = K - P è chiamata SCONTO Il rapporto d= D/K è chiamato TASSO di SCONTO: D=K. d Il rapporto p = P/K è chiamato FATTORE DI SCONTO: K=P. p (spesso è indicato con <) p = < = 1 d

20 Grandezze equivalenti Da un punto di vista finanziario, due somme, esigibili a tempi diversi, sono equivalenti se esiste una relazione che le lega: Il capitale C ed il montante M: Da un certo punto di vista, appare equivalente avere C subito o avere M al tempo t f. Il capitale K ed il valore attuale P Il futuro credito K appare equivalente alla disponibilità immediata della somma P

21 Grandezze equivalenti Il capitale C si può interpretare come il valore attuale del montante M Il capitale K si può interpretare come il montante del valore attuale P Risulta: < = C/M = P/K = 1/r ovvero: < r = 1 d = i/(1+i)

22 Funzione valore Le relazioni precedenti portano a definire l esistenza di una funzione che esprima il valore, nel tempo, di una somma S V(t) = il valore della somma S all istante t V(0) = S V(1) = S + I

23 Funzione valore Fissati due istanti temporali, t e t+τ, si definisce: Interesse V(t,t+τ) = V(t+τ ) V(t) = I(t, t+τ) Fattore di capitalizzazione r(t, t+τ) = V(t+τ)/V(t) Fattore di sconto <(t, t+τ) = V(t)/ V(t+τ)

24 Funzione valore Fissati due istanti temporali, t e t+τ, si ottengono: Montante V(t+τ) = r(t, t+τ). V(t) Valore attuale V(t) = <(t, t+τ) V(t+τ) Tasso di interesse i(t, t+τ) = r(t, t+τ)-1 = 1/<(t, t+τ) -1

25 Funzione valore La conoscenza del fattore di capitalizzazione o del fattore di sconto permette di caratterizzare la funzione valore e tutte le altre grandezze associate

26 ESEMPIO 1 Si supponga di investire a t=1 la somma di 85 e di ottenere, a t = 2, 100. Calcolare: Interesse fattore di capitalizzazione (montante) fattore di sconto (attualizzazione) tassi di interesse e di sconto

27 ESEMPIO 2 Dobbiamo riscuotere 100 a una certa data futura. Supponendo che il tasso di interesse per l operazione sia del 7%, determinare: La somma che ci potrebbe essere anticipata in sostituzione del credito a scadenza Il tasso di sconto

28 ESEMPIO 3 In sostituzione di un debito che scade tra un anno di 500 ci vengono richiesti oggi 470. Supponendo che il tasso di interesse annuo sia del 5%, determinare: se l operazione è conveniente tasso di sconto

29 ESEMPIO 4 Si contrae un prestito di 100 e viene data l alternativa tra pagare gli interessi, posticipatamente, al 14% anticipatamene, al 12% Qual è l azione più conveniente?

30 ESEMPIO 5 Si contrae un prestito di 100 e viene data l alternativa tra pagare gli interessi, posticipatamente, al 14% anticipatamene, al 12% Qual è l azione più conveniente sapendo che la somma prestata può essere investita al 18%?