Elementi di matematica finanziaria

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1 Elementi di matematica finanziaria Venezia, 12 maggio 2010 Il problema La matematica finanziaria fornisce gli strumenti necessari per il confronto di flussi di moneta o capitali che si verificano in momenti diversi Come posso confrontare correttamente la bontà di un investimento in capitale (stock) a fronte dell analisi dei ricavi flussi che esso determina? Come posso confrontare i benefici e i costi legati all acquisto di un immobile, che avvengono a scadenze temporali diverse? Come posso determinare il valore di mercato di un bene a fronte di mancati redditi (usofrutto)? Si procede in tre momenti Gli elementi di base Le operazioni complesse Le operazioni derivate 1

2 Gli elementi di base Le prestazioni finanziarie, interesse montante e montante unitario Le prestazioni finanziarie sono rappresentate da costi e ricavi, ovvero variabili di flusso Per essere definita univocamente deve essere noto: l ammontare, ovvero la quantità di moneta del flusso la scadenza, ovvero il momento in cui avverrà la prestazione finanziaria L interesse è il prezzo d uso del capitale La sua unità di misura è il tasso d interesse (i) Si riferisce all uso del capitale a debito/credito può essere espresso in termini unitari (ad es. 0,01) oppure in termini percentuali (1%) La somma del capitale e dei relativi interessi è definita montante 2

3 Interesse semplice, interesse composto Si distinguono due diversi regimi d interesse L interesse semplice, quando gli interessi maturati non maturano a loro volta altri interessi L interesse semplice è impiegato per periodi inferiori o uguali all anno Nel caso di interesse composto gli interessi maturati producono interessi L interesse composto, al contrario, è impiegato per periodi superiori all anno Interesse semplice In regime di interesse semplice, dati i tasso d interesse ed I ammontare d interessi generati n frazione d anno considerata C0 capitale L ammontare degli interessi (I) è pari a I = C0 * i * n il Montante èpari a M = C0 * (1 + i * n) Sulla base di queste formule posso passare alla stima del valore attuale: C0 = M / (1 + i * n) 3

4 Interesse composto e montante unitario Se la prestazione finanziaria si protrae per oltre un anno si passa al regime di interesse composto Al primo anno I = Co * i (n = 1) il montante M1 = Co + I = Co + Co + i = Co * (1 + i) Il montante unitario o binomio d interesse (q) è la somma del capitale unitario e degli interessi maturati in un anno q = 1 + i Ne consegue che M1 = Co * q Interesse composto Se proseguo il calcolo, al secondo anno il montante è M2 = M1 + M1 * i = M1 * (1 + i) = Co * q 2 Si vuole conoscere l ammontare di un capitale di euro con un tasso d interesse di 2,5% dopo 5 anni E via così per pervenire a calcolare il montante all ennesimo anno Mn = Co * (1 + i) n Mn = Co * q n M i 2,50% n 5 C

5 Il valore anticipato In regime di interessi composti il valore anticipato di Co è uguale M Co = (1 + r) n = M (q) n Se si vuole estinguere un debito di 1.00 euro con un anticipo di 2 anni al 2,5% d interesse C i 2,50% n 2 M 952 Capitali nel tempo Se le prestazioni finanziarie hanno, a parità di ammontare, un valore diverso in funzione della loro scadenza, non potrò sommare valori differiti nel tempo Per effettuare delle operazioni algebriche dovrà quindi riportare tutti i valori allo stesso momento Gli strumenti sono rappresentati dai coefficienti di anticipazione e posticipazione 5

6 I coefficienti di anticipazione e posticipazione Periodi inferiori all anno Coefficiente di posticipazione (1 + r n ) Coefficiente di anticipazione 1 / (1 + r n ) Periodi superiori all anno Coefficiente di posticipazione q n Coefficiente di anticipazione 1 / q n Coefficiente di posticipazione q n C 0 A 6 = Co * (1+i) 6 M n n Co = Mn/(1+i) n Coefficiente di anticipazione 1/ q n Anticpiazione e posticipazione di capitali Si vuole conoscere il valore di una somma di euro che mi verrà corrisposta tra cinque anni al tasso d interesse del 2.5% M i 2,50% n 5 q 102,50% C Voglio conoscere quanto varrà tra dieci anni euro al tasso d interesse dell 1% C i 1,00% n 10 q 101,00% M

7 Tempo e tasso d interesse A parità di importo della prestazione (1.000 euro) All aumentare del tempo, diminuisce il valore Postulato: tra due prestazioni (positive) di eguale importo preferisco quella più prossima Tra euro oggi e euro domani preferisco anni Tasso d'interesse % % Al crescere del saggio diminuisce il valore (C = M/q n ) 3% % % % % % % % Operazioni complesse 7

8 Dall attualizzazione di flussi all accumulazione iniziale Al fine di confrontare investimenti con prestazioni finanziarie che si verificano in momenti differiti e cadenza annuale, la letteratura propone diverse formule di matematica finanziaria. È possibile rappresentare unitariamente tali formule focalizzandosi sull ammontare variabile/costante delle prestazioni finanziarie (flussi di cassa) e la loro durata Ammontare di flussi variabile con durata limitata valore attuale scontato Ammontare di flussi costante (Annualità) con durata limitata accumulazione iniziale annualità limitate Ammontare di flussi costante e durata illimitata - accumulazione iniziale annualità illimitate Il valore attuale scontato Grazie al coefficiente di anticipazione posso attualizzare (o scontare) flussi finanziari (F) di ammontare diverso tra loro alla data attuale Va = F 0 + F 1 (1 + i) 1 + (F) 2 2 (1 + i) (F) n n (1 + i) = (F) n t t = 1 (1 + i) t Va F 1 F 2 F 3 F 4 F 5 F n-1 n t a n-1 a n 8

9 Valutazione di due investimenti Due investimenti alternativi Opzione euro al primo anno e crescita del 10% annuo per 10 anni Opzione euro al primo anno con crescita inflazione per 10 anni Interesse 2,5% anni Flussi Opzione r 2,50% q 102,50% Flussi attualizzati Valore attuale Flussi Opzione r 2,50% q 102,50% Flussi attualizzati Valore attuale Flussi di ammontare costante Se i flussi hanno cadenza annuale e ammontare costante sono denominati Annualità (a) sono prestazioni finanziarie che si verifica ad intervalli annuali Costanti: sono annualità il cui ammontare non varia (al contrario variabili) Posticipate: in ragione della scadenza della prestazione vengono corrisposte alla fine dell anno (viceversa anticipate) Illimitate: in ragione della durata della prestazione (al contrario limitate) 9

10 Accumulazione finale annualità limitate Se voglio conoscere l ammontare finale al termine dell ennesimo anno - delle annualità, opero un accumulazione finale di annualità costanti e limitate ovvero Se la scadenza è al primo anno A2 = a + a * q Se la scadenza è al secondo anno A3 = a + a * q + a *q 2 Se la scadenza è all ennesimo anno An = Af = a * q + a * q 2 + ( ) + a * q n-1 Ovvero An = Af = a (1 + q + q 2 + ( ) + q n-1 ) Af = a q n-1 q - 1 = qn-1 1+ i - 1 = qn -1 i Progressione geometrica in ragione di q L accumulazione finale è pari a Af = a qn-1 i Accumulazione iniziale annualità limitate L accumulazione iniziale (A 0 ) assume che le annualità (a) siano sommate e riportate al momento zero A 0 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a n-1 n t a n-1 a n 10

11 Accumulazione iniziale e finale L accumulazione iniziale di annualità costanti equivale allo sconto all attualità dell accumulazione finale (mediante il fattore di sconto *1/q n ) Af = a qn-1 i a 1 a 2 a 3 a 4 a n n-1 n a 5 a 6 a n A f t Ai = a q n-1 i * q n Accumulazione iniziale annualità illimitate Il caso delle annualità posticipate illimitate si presenta nel caso in cui si consideri una prestazione di durata illimitata quindi n tende al limite infinito L ipotesi di durata vita illimitata di un bene immobile è il postulato finanziario della stima per capitalizzazione Dalla formula Ai = a q n-1 q n (q 1) Si ottiene lim n Ai = a lim n (q n -1) q - 1 lim n Ai = a lim n qn -1 q - 1 Da cui la formula dell accumulazione iniziale di redditi costanti ed illimitati q n Equivale ad 1 q n q n Ai = a i 11

12 Due esercizi Quanto vale oggi un versamento un annualità costante per 10 anni di euro al 2,5% Quanto vale un immobile con reddito mensile di 500 euro con un saggio di capitalizzazione del 5% a i 2,50% n 10 q 1,03 qn 1,28 qn-1 0,28 i*qn 0,03 Ai a i 5,00% Ai Annualità limitate ed illimitate La formula delle annualità illimitate coincide con la formula delle annualità limitate dato un numero di anni sufficientemente elevato Quindi esiste un accettabile approssimazione della capitalizzazione dei redditi nell ipotesi di durata di vita utile elevato del bene (250 nell esempio)

13 Operazioni derivate La quota di reintegrazione La quota di reintegrazione (Qre) è quell annualità costante e posticipata che viene accumulata per un certo numero di anni (n) allo scopo di costituire un capitale di entità predeterminata (C) Si tratta dell operazione inversa dell accumulazione finale i Qre = C q n-1 Af = a qn-1 i Qre 1 Qre 2 Qre 3 Qre 4 Qre 5 Qre 6 Qre n n-1 n C t 13

14 Un esempio Tra otto anni devo ristrutturare il mio immobile di 60 mq sostenendo una spesa di euro. A tal fine devo accantonare una quota di denaro equivalente a Capitale anni 8 i 2,50% q 102,50% qn 1,22 qn-1 0,22 r/qn-1 0,11 Qre Usufrutto e nuda proprietà Con l espressione nuda proprietà si indica la condizione di un bene sottoposto ad usufrutto la costituzione di un diritto di usufrutto totale (ai sensi art. 978 e segg. del Codice Civile) consente all usufruttuario di trarre dal bene e per l intera durata del diritto reale di godimento tutte le utilità che ne trarrebbe il proprietario. Ne consegue che al proprietario non rimanga alcuna utilità in quanto la proprietà è temporaneamente spogliata di ogni suo appannaggio. 14

15 Aspetto economico il valore della nuda proprietà ed il valore del diritto di usufrutto si pongono come complementari rispetto al valore di mercato del bene in piena proprietà il valore della nuda proprietà è esito della differenza tra il valore della piena proprietà ed il valore dell usufrutto: Vnp = Vm Vu Dove: Vnp rappresenta il valore della nuda proprietà del complesso immobiliare al momento della stima; Vm è valore normale di mercato del bene libero da diritti di terzi ovvero in piena proprietà; Vu rappresenta il valore del diritto dell usufrutto. Il valore dell usufrutto il valore dell usufrutto coincide con l accumulazione iniziale di redditi annuali percepiti dall usufruttuario per la durata dell usufrutto attualizzati mediante un saggio di sconto: n ( 1) q rq Dove: Vu rappresenta il valore del diritto dell usufrutto; R rappresenta il reddito annuale medio annuo ritraibile dal bene ed è ottenuto; r è il saggio legale degli interessi fissato ai sensi dell art. 1 comma 3 del Decreto del 7 gennaio 2008 del Ministero dell Economia e delle Finanze recante Adeguamento delle modalità di calcolo dei diritti di usufrutto a vita e delle rendite o pensioni in materia di imposta di sulle successioni e donazioni nella misura del 3,00% Ovvero equivale al saggio di capitalizzazione lordo derivato dal mercato V u = R n 15

16 Un esempio Voglio stimare il valore della nuda proprietà di un appartamento del valore di euro con un canone di euro all anno Il bene è sottoposto ad usufrutto ad un uomo di 66 anni Durata attesa dell usufrutto Valore dell usufrutto Valore della nuda proprietà età usufruttuario 66 vita media uomini Istat 77 durata usufrutto 11 Stima del valore dell'usufrutto Reddito annuo (euro/anno) r (%) 3,9% q (1+r) 104% n = durata dell'usufrutto 11 qn 1,52 qn-1 0,52 r*qn 0,06 (qn-1)/(r*qn) 8,81 Valore usufrutto Valore di mercato del bene Valore usufrutto Valore nuda proprietà