VI Esercitazione di Matematica Finanziaria

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Cristiano Valentino
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1 VI Esercitazione di Matematica Finanziaria 2 Dicembre 200 Esercizio. Verificare la proprietà di scindibilità delle leggi del prezzo { v(t, s) = exp } 2 (s2 t 2 ) e v(t, s) = e t(s t) Soluzione. Possiamo svogere l esercizio in due modi equivalenti, dimostrando una delle due seguenti proprietà: v(t, T, s) = v(t, s); δ(t, s) = δ(s). Per la prima legge abbiamo: v(t, T, s) = exp{ 2 (s2 t 2 )} exp{ 2 (T 2 t 2 )} = exp{ 2 (s2 T 2 )} = v(t, s) quindi la legge è scindibile. Equivalentemente possiamo scrivere δ(t, s) = s ln v(t, s) = { } s 2 (s2 t 2 ) = s = δ(s) concludendo, come già detto, che la legge in questione è scindibile. La seconda legge, invece, non è scindibile infatti v(t, T, s) = e t(s t) = et(t t) e t(s T ) v(t, s). Esercizio 2. Su un mercato obbligazionario siano presenti i seguenti titoli: uno Zero Coupon Bond a scadenza in s con valore di rimborso euro e prezzo oggi C =.960; un Titolo a Cedola Nulla unitario a scadenza in s e prezzo oggi 0.96;

Per la prima legge abbiamo: v(t, T, s) = exp{ 2 (s2 t 2 )} exp{ 2 (T 2 t 2 )} = exp{ 2 (s2 T 2 )} = v(t, s) quindi la legge è scindibile.

2 calcolare il valore di non arbitraggio dello Zero Coupon Bond e costruire, se possibile, una strategia che permetta di ottenere un guadagno privo di rischi oggi, chiudendo in pareggio l altra posizione. Soluzione. Il valore di non arbitraggio dello Zero Coupon Bond è V na (0, ZCB) = =.920 Dato che questo non è uguale al prezzo dello ZCB, è possibile costruire una strategia che permetta di ottenere un arbitraggio. La tabella di pay-off mostra la costruzione dell arbitraggio: 0 s Si ottiene, dunque, un guadagno privo di rischi pari a 40 oggi, chiudendo in pareggio l altra posizione, vendendo a pronti lo ZCB ed acquistando quote del titolo a cedola nulla unitario. Esercizio 3. Si consideri un mercato obbligazionario in cui siano presenti i seguenti titoli: un titolo a cedola nulla unitario B a scadenza in t = anno e prezzo oggi P = 0.94; un titolo a cedola nulla unitario B 2 a scadenza in t = 2 anni e prezzo oggi P = 0.92; un titolo a cedola fissa Z con cedola annua I = 5, valore facciale C = 00 e scadenza in t = 2 anni. Costruire un portafoglio Q, formato solamente dai titoli a cedola nulla unitari, che replichi il flusso del titolo a cedola fissa e calcolarne il valore di non arbitraggio. Costruire una strategia che permetta un guadagno privo di rischi immediato, chiudendo in pareggio le altre posizioni, nel caso in cui il prezzo del titolo Z fosse P Z = 02. Soluzione. Il portafoglio Q deve garantire I = 5 in t = e C + I = 05 in t = 2, dunque la combinazioni di titoli a cedola nulla che replica tale flusso è il cui prezzo di non arbitraggio è Q = 5B + 05B 2 V na (Q) = = 0.3 2

920 Dato che questo non è uguale al prezzo dello ZCB, è possibile costruire una strategia che permetta di ottenere un arbitraggio. La tabella di pay-off mostra la costruzione dell arbitraggio: 0 s +.

3 Nel caso in cui il prezzo di Z è uguale a 02, è possibile costruire una strategia che permetta un arbitraggio immediato, ed in particolare abbiamo: dove le azioni che determinano la strategia sono: vendita allo scoperto del titolo Z; acquisto a pronti del portafoglio Q. Esercizio 4. Sia dato un mercato di titoli obbligazionari in cui, al tempo t = 0 ed in riferimento allo scadenzario s = {, 2} anni, siano trattati i titoli: x = {00, 0} euro al prezzo a pronti di 97 euro; y = {0, 00} euro al prezzo a pronti di 95 euro; z = {3, 03} euro al prezzo a pronti di 97 euro. Costruire un arbitraggio non rischioso che garantisca un profitto certo di 30 euro al tempo t = 0, avendo chiuso in pareggio le posizioni negli altri istanti. Quale prezzo dovrebbe avere z affinché non siano possibili arbitraggi? Soluzione. Per avere un guadagno privo di rischi al tempo t = 0, chiudendo in pareggio le altre posizioni, assegnamo ai tre titoli, rispettivamente, le quote a, b, c e risolviamo il sistema corrispondente: da cui si ottengono le quote 97a + 95b + 97c = 30 00a + 3c = 0 00b + 03c = 0 a = 0.24 b = 8.22 c = 7.98 Il prezzo di non arbitraggio del titolo z è V na (z ) = 3v(0, t ) + 03v(0, t 2 ) = = dato che v(0, t ) = = 0.97 e v(0, t 2) = = 0.95 sono i prezzi a pronti sul mercato. Esercizio 5. Siano presenti sul mercato obbligazionario in t 0 = 0 i seguenti titoli: 3

Sia dato un mercato di titoli obbligazionari in cui, al tempo t = 0 ed in riferimento allo scadenzario s = {, 2} anni, siano trattati i titoli: x = {00, 0} euro al prezzo a pronti di 97 euro; y = {0,

4 un contratto a pronti x che garantisce 00 in t e prezzo P x = 98.; un contratto a pronti y che garantisce 00 in t 2 e prezzo P y = 96.4; un contratto a termine z che garantisce 00 in t 3, pattuito in t 0 = 0 ma pagabile in t 2, e prezzo P z = 97.4, ove t = {89, 83, 38} giorni. Determinare le strutture per scadenza dei tassi a pronti e dei tassi a termine, implicati dalle strutture dei prezzi corrispondenti, indicandoli in forma percentuale e su base annua, rispetto alla durata effettiva dell anno (360 giorni). Considerando i contratti a pronti x, y ed il titolo w/t = {00, 00}/{t, t 2 } con prezzo P = 95.3 in t 0 = 0, determinare una strategia che permetta di avere un guadagno privo di rischi in t 0 = 0, chiudendo in pareggio le altre posizioni. Soluzione. Calcoliamo le strutture a pronti: prezzi a pronti: tassi a pronti: ( i(0, t ) = 0.98 ( i(0, t 2 ) = ( i(0, t 3 ) = v(0, t ) = = 0.98; v(0, t 2 ) = = 0.964; v(0, t 3 ) = = ; Facciamo lo stesso per le strutture a termine: prezzi a termine: 89 = = 8.8%; 83 = = 7.59%; 38 = = 6.22%; v(0, 0, t ) = 0.98; v(0, t, t 2 ) = = ; v(0, t 2, t 3 ) = = 0.974;

Determinare le strutture per scadenza dei tassi a pronti e dei tassi a termine, implicati dalle strutture dei prezzi corrispondenti, indicandoli in forma percentuale e su base annua, rispetto alla

5 tassi a termine: i(0, 0, t ) = 8.8%; ( i(0, t, t 2 ) = = = 7.02%; ( i(0, t 2, t 3 ) = = = 4.98%; Utilizzando il titolo w possiamo ottenere un arbitraggio costruendo la seguente tabella di pay-off: 0 t t Si ottiene, dunque, un guadagno privo di rischio in t = 0, chiudendo in pareggio le altre posizioni facendo le seguenti azioni:. acquisto a pronti del titolo a cedola nulla x ; 2. acquisto a pronti del titolo a cedola nulla y; 3. vendita a pronti del titolo w. Esercizio 6. In un mercato obbligazionario strutturato su uno scadenzario t = {80, 240, 360} giorni, al tempo t 0 = 0, sono presenti tre titoli: un contratto a pronti x che garantisce 00 in t e prezzo P x = 98.2; un contratto a termine y che garantisce 00 in t 2 al prezzo P y = 97.5 pattuito in t 0 = 0 e pagabile in t ; un contratto a termine z che garantisce 00 in t 3 al prezzo P z = 95 pattuito in t 0 = 0 e pagabile in t 2. Determinare le strutture per scadenza dei tassi a pronti e dei tassi a termine, implicati dalle strutture dei prezzi corrispondenti, indicandoli in forma percentuale e su base annua, rispetto alla durata effettiva dell anno (360 giorni). Calcolare il valore di equilibri di un Bullet Bond con valore facciale C = 00, tasso nominale j n = 6% su base annua, scadenza in s = anno e cedole semestrali. Soluzione. Calcoliamo le strutture a pronti: 5

8 0 0 Si ottiene, dunque, un guadagno privo di rischio in t = 0, chiudendo in pareggio le altre posizioni facendo le seguenti azioni:. acquisto a pronti del titolo a cedola nulla x ; 2.

6 prezzi a pronti: v(0, t ) = = 0.982; tassi a pronti: ( i(0, t ) = ( i(0, t 2 ) = ( i(0, t 3 ) = v(0, t 2 ) = = ; 00 v(0, t 3 ) = = ; 00 Facciamo lo stesso per le strutture a termine: prezzi a termine: tassi a termine: 80 = = 3.69%; 240 = = 6.74%; 360 = = 9.94%; v(0, 0, t ) = 0.982; v(0, t, t 2 ) = = 0.975; v(0, t 2, t 3 ) = = 0.95; i(0, 0, t ) = 3.69%; ( i(0, t, t 2 ) = = = 6.405%; ( i(0, t 2, t 3 ) = = = 6.63%; 0.95 Il Bullet Bond ammette cedola semestrale I = = 3 2 dunque il valore di equilibrio è dato da V e = 3v(0, 80) + 03v(0, 360) = =

982; v(0, t, t 2 ) = 0.95745 0.982 = 0.975; v(0, t 2, t 3 ) = 0.909578 0.995745 = 0.95; i(0, 0, t ) = 3.69%; ( 240 80 i(0, t, t 2 ) = = 0.6405 = 6.405%; 0.

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