Soluzioni del Capitolo 5

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1 Soluzioni del Capitolo 5 5. Tizio contrae un prestito di al cui rimborso provvede mediante il pagamento di cinque rate annue; le prime quattro rate sono ciascuna di importo.00. Determinare l importo dell ultima rata sapendo che il tasso è il 7,5% annuo. a) IL BTP con scadenza /0/ e cedole semestrali genera i nti flussi: 0/0/ c,5 0/0/ c,5 0/0/ c,5 0/0/ c C,5 00 0,5 Si ricorda che la cedola semestrale si ottiene dalla relazione c 00 0,05,5. Il corso secco alla data del 5/0/ risulta pari a 99,7. Il prezzo a cui viene effettivamente scambiato il titolo deve essere pertanto ricavato considerando la relazione tra corso secco e corso tel quel. Si ha infatti: corso tel quel corso secco rateo 99,7 05,5 0, b) La duration del titolo con struttura piatta dei tassi d interesse risulta pari a: D 75, ,05) 360, ,05) ,583, ,05) , ,05) ,583,639 La variazione del prezzo del titolo a seguito di una variazione del tasso d interesse può essere calcolata sfruttando la relazione tra variazione del tasso e duration. Si ha infatti: P P D i i P,639 0,03) 0,583 0,05,76 5. Una persona contrae un prestito di assumendo l impegno di rimborsare al primo anno ciascuno al secondo e terzo anno, ciascuno al quarto e quinto anno, il residuo al sesto. Redigere il piano d ammortamento sulla base di un tasso del 9%. a) Dalla relazione ht,s) vt,s)] s t si determinano i tassi h0,) e h0,) come h0,) v0,)] 3,093% h0,) v0,)],76% Noti i tassi h0,) e h0,), il tasso forward h0,,) si ottiene dalla relazione tra tassi spot e forward h0,)] h0,)] h0,,)] da cui h0,,),8%. b) Il valore di rimborso del titolo risulta pari a C P0,X) h0,)] 0, ,6 c) Il coupon bond con scadenza due anni, indicato con X, restituisce due cedole annue di importo c 00 0,05 5. Se non diversamente specificato, infatti, il valore nominale è posto pari a 00. I flussi che il titolo genera sono pertanto pari a c 5 in t e C c 0,587 in t. Il prezzo del titolo risulta pertanto pari a PX,0) c h0,)] C c) h0,)] 5, ,587,08 0, Sia dato il nte piano di ammortamento t k k i C k I k R k D k E k

2 Sapendo che la prima quota capitale è uguale alla rispettiva quota interessi e la seconda quota capitale è il doppio della rispettiva quota interessi, completare tale piano di ammortamento. I titoli X, Y e Z possono essere rappresentati come 5 50 X : 0 0, 5 Y : Z : , , 5 Si può osservare facilmente quanto al fine di risolvere l esercizio. Un arbitraggio non rischioso con guadagno in t pari a può essere ottenuto acquistando due quote del titolo Z, vendendo una quota del titolo Y e acquistando due quote del titolo X. L acquisto di due quote del titolo Z, infatti garantisce in t un entrata pari a 0 a fronte di un esborso pari a 00 al tempo t 0,5. L esborso in t 0,5 di 00 può essere compensato tramite acquisto di due quote del titolo X, pagando in t 0 0 la somma di 90. Infine, la vendita allo scoperto del titolo Y garantisce la copertura dell esborso in t 0 0, lasciando un flusso netto in t pari a. L operazione può essere riassunta nella nte tabella Strategia di arbitraggio Strategia t 0 0 t 0,5 t acquisto quote titolo X vendita quota titolo Y acquisto quote titolo Z 00 0 Flussi - - Alla soluzione ottenuta mediante le precedenti osservazioni si può ugualmente pervenire risolvendo il nte sistema 90α x 90α y 0 00α x 00α z 0 08α y 0α z 5. Nell ammortamento francese di un prestito di anni il rapporto fra il debito residuo dopo il versamento della quarta rata e il debito residuo dopo il versamento della nona rata è 5/3. Calcolare il tasso del prestito. a) Il titolo X ) permette ) di calcolare ) il tasso spot h0,t ) h 0, h 0,. Ricordando che il fattore di sconto è definito come rapporto tra il montante a scadenza e il capitale investito, si ha: h 0, ) ] 00 9,7% 95,6 dove il rapporto 95,6 00 rappresenta il fattore di sconto v0,t ). In modo analogo, il titolo X ) ) permette di) calcolare il tasso spot h0,t ) h 0, h 0, h 0, ) ] 50 7,58% 3,8 Il titolo X 3) permette di calcolare il tasso spot h0,t 3 ) h 0,) ] 50 h 0,) 3,95% 0,7 Dalla struttura per scadenza dei tassi spot appena determinata, è possibile ricavare l implicita struttura per scadenza dei tassi forward h0,t,t ), h0,t,t 3 ), h0,t,t 3 ). La relazione che lega tassi spot e forward, infatti, è la nte h0,s,τ)] τ s Si ha dunque h0,t,t ) h 0, ), h0, )] h0, )] h0,t,t 3 ) h 0, ), h0,) h0, )] h0,t,t 3 ) h 0, ), h0,) h0, )] h0,τ)]τ h0,s)] s 5.) ] 35,96% ] ] 5,39% 0,%

3 b) Il prezzo del titolo X in assenza di arbitraggio è dato da: PX,0) 00 h 0, )] 00 h 0, )] 350 h0,)] 555,05 c) Il prezzo del titolo Y, in assenza di arbitraggio risulta pari a: PY,) 50 h 0, ), 50 h 0, ) 3, 7, Nell ammortamento francese di un prestito in anni, l ottava quota capitale è pari ai 7/3 della corrispondente quota interessi. Determinare il tasso del prestito. I tassi annui equivalenti ai tassi semestrali forniti risultano pari a h0, 0,5) 0,068),06% h0, 0,5, ) 0,063) 3% h0,,,5) 0,07),9% Dalla relazione 5.) che lega tassi spot e forward è possibile ricavare i tassi spot h0, ) e h0,,5), nonchè il tasso forward h0, 0,5,,5) per completare la struttura per scadenza dei tassi spot e forward implicita nei tassi assegnati. Si ha dunque h0, ) h0, 0,5)] 0,5 h0, 0,5, )] 0,5 3,53% h0,,5) h0, )] h0,,,5)] 0,5),5 3,85% h0, 0,5,,5) ] h0,,5),5,5 0,5 h0, 0,5)] 0,5,5% 5.6 Un prestito di è rimborsabile in 5 anni al 5,5% mediante pagamento di rate annue costanti. Dopo aver pagato la settima rata il debitore ottiene di pagare per quattro anni una rata dimezzata e di riprendere in seguito l ammortamento con rate costanti in modo da compiere il rimborso al ventesimo anno. Determinare l importo della rata originaria e della rata modificata. Il BOT permette di ricavare il tasso h0, ) come h 0, ) ) 00 3,%. 98,98 Il BTP con scadenza 0 mesi conferisce cedole semestrali del %, pertanto il loro importo è pari a c 0,0 00. Il BTP può quindi essere rappresentato come La cedola corrisposta al tempo t / non è interamente spettante al detentore del titolo. Pertanto il prezzo del titolo, che coincide con il corso tel quel, deve essere determinato aggiungendo al corso secco il rateo maturato. Si ha dunque corso tel quel corso secco rateo 0,0 6 0,533 Dall equivalenza tra prezzo del BTP e valore attuale dei flussi che il titolo genera, è possibile ricavare il tasso h0, 0 ) come 0,533 h 0, )] 0 h 0, 0 )] 0 ) da cui si ha h 0, 0 6,6%. Il tasso forward h 0, ), 0 può essere determinato sfruttando la relazione 5.) come h 0, ),0 9,05% ] h0, 0 0 ) h0, ) ] 0

4 5.7 Un tale ha contratto un debito al cui rimborso deve provvedere mediante ammortamento americano in otto anni al tasso annuo dell %. Sapendo che il fondo costituito dopo sei anni è uguale al valore attuale di una rendita di sei rate annue ciascuna di 3.50, di cui la prima esigibile fra tre anni al tasso del %, determinare l ammontare del debito tenendo presente che la costituzione del capitale da rimborsare avviene in base al tasso del 9% annuo. Calcolare inoltre l esborso annuo.68. Il prezzo e la duration dell operazione X risultano pari a: PX,0) 0 0,098) 0,5 8,5 0,0985) 0 0,099),5 8,5 0,0995) 5,807 DX,0) 0 0,098) 0,5 0,5 8,5 0,0985) PX,0) 0 0,099),5,5 8,5 0,0995) PX,0),8355 Il valore e la duration del portafoglio W costituito dai titoli Y e Z risultano pari a PW,0) 00α Y 80α Z 00 DW,0) 0.5α Y PW,0),5α 80 Z PW,0) dove α y e α z sono le quote investite nei due titoli Y e Z. Il portafoglio con stesso prezzo del titolo X e duration pari a, si determina risolvendo il nte sistema: 00α Y 80α Z 5, α Y PW,0),5α 80 Z PW,0), La soluzione del sistema si ha per α Y 0,67 e α Z, Un debito di deve essere rimborsato con quote costanti di capitale. Sapendo che l interesse al quinto anno è di e la rata al settimo anno è di.750, calcolare la durata e il tasso applicato. a) I tassi riportati sono tassi semestrali mentre il tempo è misurato in anni. Sono possibili due diverse metodologie risolutive: convertire i tassi semestrali in annui lasciando inalterato lo scadenzario oppure misurare il tempo in semestri. La strada più immediata è quella di misurare il tempo in semestri da cui t {,,3,}. Il prezzo e la duration del titolo x risultano: PX,0) 5 0,0) 5 0,0) 5 0,03) ,0) 0,0865 Dx,0) 5 0,0) 0,5 5 0,0) P0,x) 5 0,03) 3,5 05 0,0) P0,x),8605 Si osservi che la duration ottenuta è espressa in funzione della scadenza annua, pertanto ogni importo al numeratore viene moltiplicato per la propria scadenza annua. b) Il prezzo del titolo Y si ottiene come si ricorda che la sua duration coincide con la scadenza del titolo DY,0) 0,5): PY,0) 00 0,0) 99,0099 Il prezzo e la duration del BTP a un anno con le stesse caratteristiche di X risultano pari a: PZ,0) 5 0,0) 05 0,0) 05,873 DX,0) 5 0,0) 0,5 05 0,0) PZ,0) 0,9766 Il portafoglio con stesso prezzo del titolo X e duration dimezzata si determina risolvendo il nte sistema: { 99,0099α y 05,873α z 0, ,0099 0,5α y 0,0865 0,9766α z 05,873 0,0865,8605 dove α y e α z sono le quote investite nei due titoli Y e Z. La soluzione del sistema si ha per α y 0,07 e α z 0,8878.

5 5.9 Tizio negozia con la banca un mutuo quindicennale ammortamento francese) di ammontare pari a con rate mensili indicizzate al tasso Euribor, con uno spread di.5 punti percentuali e un cap del 8,5%. Sapendo che le quote capitale vengono determinate al momento della stipula del contratto, costruire le prime 5 righe del piano di ammortamento sulla base dei nti tassi Euribor rilevati k Euribor 5% 5,8% 3 6,% 6,8% 5 7,3% a. I tassi riportati sono tassi trimestrali che possono essere direttamente utilizzati facendo attenzione alla corretta corrispondenza tra tassi e scadenze ad esempio t 0,5 anni corrisponde a trimestri). La cedola semestrale si ottiene applicando la relazione c 0,07 00/ 3,5. Il prezzo e la duration del titolo X risultano pari a PX,0) 3,5 0,0) 3,5 0,0) 3,5 0,03) 6 03,5 0,0) 8 85, DX,0) 3,5 0,0) 0,5 3,5 0,0) P0,x) 3,5 0,03) 6,5 03,5 0,0) 8 P0,x),885 b. Il prezzo del titolo Y si ottiene come si ricorda che la sua duration coincide con la scadenza del titolo DY,0),5) PY,0) 00 0,0) h0,,,5)) 87,96 dove il tasso h0,,,5) è il tasso forward implicito nella struttura per scadenza dei tassi spot e si può ricavare come ] h0,,5)) 6 h0,,,5) h0, )) 5,03% Il prezzo e la duration del portafoglio W risultano pari a PW,0),5 85, 87,96 5, , DW,0),885,5 5, ,96,5 5,7937,659 c. La variazione della quota del titolo X che garantisca una duration pari a,8 si ottiene come,8,885,5 α x) 85,,5 87,96,5 α x ) 85, 87,96 da cui si ricava α x 5,03 e la relativa variazione del prezzo del portafoglio PW,0), Ripetere l esercizio precedente sotto l ipotesi di ricalcolo dell intera rata del prestito. La soluzione dell esercizio è analoga a quella dell Esempio 5.6) del libro di testo. i) Il portafoglio immunizzante per soddisfare il debito all epoca 3,5 si costruisce come : { a.000 0,06) b.500 0,06) 3 5 a.000 0,06) b ,06) 8 a.000 0,06) b.500 0,06) 8 da cui si ottiene a 0,63 e b,985. ii) Il portafoglio immunizzante alla scadenza intermedia s,5 dopo la variazione del tasso d interesse si ottiene come : { a.000 0,) b.500 0,) 3,5 a.000,5 0,),5 b.500 5,5 0,) 5,5 a.000 0,),5 b.500 0,) 5,5 da cui si ottengono i nuovi valori a 0,7 e b,8. Il relativo guadagno al tempo s risulta pari a: G s a a ).000 0,),5 b b ).500 0,) 5,5 6,69 iii) La quota q di obbligazioni non ancora scadute da vendere all istante s,5 a parità di condizioni si ottiene risolvendo la nte equazione: 0,5 b q).500 0,06) 3,5 3,5) a.000 0,06) 0,5 b.500 0,06) 3,5 con a 0,63 e b,985. Il valore ottenuto risolvendo l equazione è pari a q 0,9.