MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 15 luglio 2009

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1 MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 15 luglio 2009 Cognome e Nome C.d.L Matricola n Firma Cattedra: dott. Quaranta (SI) prof. Pacati (SI) prof. Renò (SI) dott. Riccarelli (AR) dott. Falini (GR). Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Si consideri l operazione finanziaria di investimento per 7 mesi al tasso periodale j = 2% di un importo S = euro. Si calcolino anzitutto le grandezze periodali: l interesse I = euro il valore montante finale M = euro il tasso di sconto (tasso di interesse anticipato) k = % l intensità di interesse γ = anni 1 Si calcolino quindi le grandezze annue, ipotizzando una sottostante legge degli interessi composti: il tasso di interesse i = % l intensità istantanea di interesse δ = anni 1 Si calcolino inoltre le seguenti grandezze ipotizzando una sottostante legge degli interessi semplici: il tasso semestrale di interesse i 2 = % il tasso trimestrale di interesse i 4 = % Esercizio 2. Sia data l operazione finanziaria x = { 92, 4+x, 96+x}/{0, 1, 2}, dove gli importi sono in euro e il tempo è misurato in anni. Si determini il valore del parametro x, sapendo che il tasso interno di rendimento su base annua dell operazione è il 7%: x = euro. Si calcoli il valore del parametro x, nel caso che l operazione x sia equa secondo la legge esponenziale con intensità istantanea di interesse δ = 0.05 anni 1 : x = euro. Si calcoli infine il tasso interno di rendimento dell operazione x, nel caso in cui il parametro x sia pari a 1, esprimendolo in forma percentuale e su base annua: i = %.

2 Esercizio 3. Si consideri un individuo che vuole accendere un mutuo per una somma S = euro, da restituirsi secondo un ammortamento in 5 rate semestrali posticipate al tasso annuo i = 10%. L ammortamento prescelto è di tipo non standard e prevede che: la prima rata sia di preammortamento, la seconda rata sia di euro, le successive rate siano uguali tra loro. Si compili il piano di ammortamento. rata n. rata quota capitale quota interesse debito residuo

3 Esercizio 4. Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui, al tempo t = 0 siano quotati i seguenti titoli: un TCN a termine, che rimborsa 100 euro a un anno e mezzo, al prezzo di 94 euro, pagabile a sei mesi; un TCN a termine, che rimborsa 200 euro a un anno e mezzo, al prezzo di 194 euro, pagabile a un anno; un TCF quotato alla pari, con cedola semestrale, vita residua sei mesi e tasso interno di rendimento in base annua il 6%. In questo mercato, si calcoli la struttura per scadenza dei tassi a pronti e a termine, esprimendo i valori in base annua ed in forma percentuale: i(0, 0.5) = i(0, 0, 0.5) = i(0, 1) = i(0, 0.5, 1) = i(0, 1.5) = i(0, 1, 1.5) = Esercizio 5. Siano dati i titoli seguenti: r: rendita posticipata perpetua immediata a rata trimestrale costante R = 500 euro; x: TCN a pronti con valore facciale , scadenza tra un anno e 8 mesi Nell ipotesi che la struttura dei tassi sia piatta al livello del 5% annuo, si calcoli il valore e la duration (in anni) dei due titoli: V (0, r) = euro D(0, r) = anni V (0, x) = euro D(0, x) = anni Si assuma di volere costruire un portafoglio del tipo αr + βx, che abbia valore euro e duration 10 anni: si determinino le quote α e β che realizzano la richiesta α = β =

4 Esercizio 6. Si consideri un mercato azionario in cui siano quotati due titoli rischiosi di rendimenti aleatori I 1 ed I 2, con aspettative E(I 1 ) = 6% e E(I 2 ) = 2% e varianze V 1 = 0.06 e V 2 = Il coefficiente di correlazione fra i rendimenti dei due titoli sia ρ = 0. Fra le composizioni di portafoglio del tipo I = αi 1 +(1 α)i 2, si determini il portafoglio efficiente α che ha rendimento atteso E = 5.5% e se ne determini la varianza del rendimento V. α = % V =. Quindi, si trovi il portafoglio efficiente α che ha varianza del rendimento V = e se ne determini il rendimento atteso E α = % E = %. Si trovi infine il portafoglio a varianza minima α e se ne calcoli il rendimento atteso E e la varianza del rendimento V α = % E = % V =.

5 MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 15 luglio 2009 Cognome e Nome C.d.L Matricola n Firma Cattedra: dott. Quaranta (SI) prof. Pacati (SI) prof. Renò (SI) dott. Riccarelli (AR) dott. Falini (GR). Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Si consideri l operazione finanziaria di investimento per 8 mesi al tasso periodale j = 2.5% di un importo S = euro. Si calcolino anzitutto le grandezze periodali: l interesse I = euro il valore montante finale M = euro il tasso di sconto (tasso di interesse anticipato) k = % l intensità di interesse γ = anni 1 Si calcolino quindi le grandezze annue, ipotizzando una sottostante legge degli interessi composti: il tasso di interesse i = % l intensità istantanea di interesse δ = anni 1 Si calcolino inoltre le seguenti grandezze ipotizzando una sottostante legge degli interessi semplici: il tasso semestrale di interesse i 2 = % il tasso trimestrale di interesse i 4 = % Esercizio 2. Sia data l operazione finanziaria x = { 93, 4+x, 97+x}/{0, 1, 2}, dove gli importi sono in euro e il tempo è misurato in anni. Si determini il valore del parametro x, sapendo che il tasso interno di rendimento su base annua dell operazione è il 7%: x = euro. Si calcoli il valore del parametro x, nel caso che l operazione x sia equa secondo la legge esponenziale con intensità istantanea di interesse δ = 0.05 anni 1 : x = euro. Si calcoli infine il tasso interno di rendimento dell operazione x, nel caso in cui il parametro x sia pari a 1, esprimendolo in forma percentuale e su base annua: i = %.

6 Esercizio 3. Si consideri un individuo che vuole accendere un mutuo per una somma S = euro, da restituirsi secondo un ammortamento in 5 rate semestrali posticipate al tasso annuo i = 9%. L ammortamento prescelto è di tipo non standard e prevede che: la prima rata sia di preammortamento, la seconda rata sia di euro, le successive rate siano uguali tra loro. Si compili il piano di ammortamento. rata n. rata quota capitale quota interesse debito residuo

7 Esercizio 4. Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui, al tempo t = 0 siano quotati i seguenti titoli: un TCN a termine, che rimborsa 100 euro a un anno e mezzo, al prezzo di 95 euro, pagabile a sei mesi; un TCN a termine, che rimborsa 200 euro a un anno e mezzo, al prezzo di 195 euro, pagabile a un anno; un TCF quotato alla pari, con cedola semestrale, vita residua sei mesi e tasso interno di rendimento in base annua il 5%. In questo mercato, si calcoli la struttura per scadenza dei tassi a pronti e a termine, esprimendo i valori in base annua ed in forma percentuale: i(0, 0.5) = i(0, 0, 0.5) = i(0, 1) = i(0, 0.5, 1) = i(0, 1.5) = i(0, 1, 1.5) = Esercizio 5. Siano dati i titoli seguenti: r: rendita posticipata perpetua immediata a rata trimestrale costante R = 600 euro; x: TCN a pronti con valore facciale , scadenza tra un anno e 9 mesi Nell ipotesi che la struttura dei tassi sia piatta al livello del 5% annuo, si calcoli il valore e la duration (in anni) dei due titoli: V (0, r) = euro D(0, r) = anni V (0, x) = euro D(0, x) = anni Si assuma di volere costruire un portafoglio del tipo αr + βx, che abbia valore euro e duration 10 anni: si determinino le quote α e β che realizzano la richiesta α = β =

8 Esercizio 6. Si consideri un mercato azionario in cui siano quotati due titoli rischiosi di rendimenti aleatori I 1 ed I 2, con aspettative E(I 1 ) = 5% e E(I 2 ) = 2% e varianze V 1 = 0.05 e V 2 = Il coefficiente di correlazione fra i rendimenti dei due titoli sia ρ = 0. Fra le composizioni di portafoglio del tipo I = αi 1 +(1 α)i 2, si determini il portafoglio efficiente α che ha rendimento atteso E = 4.5% e se ne determini la varianza del rendimento V. α = % V =. Quindi, si trovi il portafoglio efficiente α che ha varianza del rendimento V = e se ne determini il rendimento atteso E α = % E = %. Si trovi infine il portafoglio a varianza minima α e se ne calcoli il rendimento atteso E e la varianza del rendimento V α = % E = % V =.

9 MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 15 luglio 2009 Cognome e Nome C.d.L Matricola n Firma Cattedra: dott. Quaranta (SI) prof. Pacati (SI) prof. Renò (SI) dott. Riccarelli (AR) dott. Falini (GR). Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Si consideri l operazione finanziaria di investimento per 9 mesi al tasso periodale j = 2.75% di un importo S = euro. Si calcolino anzitutto le grandezze periodali: l interesse I = euro il valore montante finale M = euro il tasso di sconto (tasso di interesse anticipato) k = % l intensità di interesse γ = anni 1 Si calcolino quindi le grandezze annue, ipotizzando una sottostante legge degli interessi composti: il tasso di interesse i = % l intensità istantanea di interesse δ = anni 1 Si calcolino inoltre le seguenti grandezze ipotizzando una sottostante legge degli interessi semplici: il tasso semestrale di interesse i 2 = % il tasso trimestrale di interesse i 4 = % Esercizio 2. Sia data l operazione finanziaria x = { 94, 4+x, 98+x}/{0, 1, 2}, dove gli importi sono in euro e il tempo è misurato in anni. Si determini il valore del parametro x, sapendo che il tasso interno di rendimento su base annua dell operazione è il 7%: x = euro. Si calcoli il valore del parametro x, nel caso che l operazione x sia equa secondo la legge esponenziale con intensità istantanea di interesse δ = 0.05 anni 1 : x = euro. Si calcoli infine il tasso interno di rendimento dell operazione x, nel caso in cui il parametro x sia pari a 1, esprimendolo in forma percentuale e su base annua: i = %.

10 Esercizio 3. Si consideri un individuo che vuole accendere un mutuo per una somma S = euro, da restituirsi secondo un ammortamento in 5 rate semestrali posticipate al tasso annuo i = 8%. L ammortamento prescelto è di tipo non standard e prevede che: la prima rata sia di preammortamento, la seconda rata sia di euro, le successive rate siano uguali tra loro. Si compili il piano di ammortamento. rata n. rata quota capitale quota interesse debito residuo

11 Esercizio 4. Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui, al tempo t = 0 siano quotati i seguenti titoli: un TCN a termine, che rimborsa 100 euro a un anno e mezzo, al prezzo di 96 euro, pagabile a sei mesi; un TCN a termine, che rimborsa 200 euro a un anno e mezzo, al prezzo di 196 euro, pagabile a un anno; un TCF quotato alla pari, con cedola semestrale, vita residua sei mesi e tasso interno di rendimento in base annua il 4%. In questo mercato, si calcoli la struttura per scadenza dei tassi a pronti e a termine, esprimendo i valori in base annua ed in forma percentuale: i(0, 0.5) = i(0, 0, 0.5) = i(0, 1) = i(0, 0.5, 1) = i(0, 1.5) = i(0, 1, 1.5) = Esercizio 5. Siano dati i titoli seguenti: r: rendita posticipata perpetua immediata a rata trimestrale costante R = 700 euro; x: TCN a pronti con valore facciale , scadenza tra un anno e 10 mesi Nell ipotesi che la struttura dei tassi sia piatta al livello del 5% annuo, si calcoli il valore e la duration (in anni) dei due titoli: V (0, r) = euro D(0, r) = anni V (0, x) = euro D(0, x) = anni Si assuma di volere costruire un portafoglio del tipo αr + βx, che abbia valore euro e duration 10 anni: si determinino le quote α e β che realizzano la richiesta α = β =

12 Esercizio 6. Si consideri un mercato azionario in cui siano quotati due titoli rischiosi di rendimenti aleatori I 1 ed I 2, con aspettative E(I 1 ) = 4% e E(I 2 ) = 2% e varianze V 1 = 0.04 e V 2 = Il coefficiente di correlazione fra i rendimenti dei due titoli sia ρ = 0. Fra le composizioni di portafoglio del tipo I = αi 1 +(1 α)i 2, si determini il portafoglio efficiente α che ha rendimento atteso E = 3.5% e se ne determini la varianza del rendimento V. α = % V =. Quindi, si trovi il portafoglio efficiente α che ha varianza del rendimento V = e se ne determini il rendimento atteso E α = % E = %. Si trovi infine il portafoglio a varianza minima α e se ne calcoli il rendimento atteso E e la varianza del rendimento V α = % E = % V =.

13 MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 15 luglio 2009 Cognome e Nome C.d.L Matricola n Firma Cattedra: dott. Quaranta (SI) prof. Pacati (SI) prof. Renò (SI) dott. Riccarelli (AR) dott. Falini (GR). Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Si consideri l operazione finanziaria di investimento per 10 mesi al tasso periodale j = 3% di un importo S = euro. Si calcolino anzitutto le grandezze periodali: l interesse I = euro il valore montante finale M = euro il tasso di sconto (tasso di interesse anticipato) k = % l intensità di interesse γ = anni 1 Si calcolino quindi le grandezze annue, ipotizzando una sottostante legge degli interessi composti: il tasso di interesse i = % l intensità istantanea di interesse δ = anni 1 Si calcolino inoltre le seguenti grandezze ipotizzando una sottostante legge degli interessi semplici: il tasso semestrale di interesse i 2 = % il tasso trimestrale di interesse i 4 = % Esercizio 2. Sia data l operazione finanziaria x = { 95, 4+x, 99+x}/{0, 1, 2}, dove gli importi sono in euro e il tempo è misurato in anni. Si determini il valore del parametro x, sapendo che il tasso interno di rendimento su base annua dell operazione è il 7%: x = euro. Si calcoli il valore del parametro x, nel caso che l operazione x sia equa secondo la legge esponenziale con intensità istantanea di interesse δ = 0.05 anni 1 : x = euro. Si calcoli infine il tasso interno di rendimento dell operazione x, nel caso in cui il parametro x sia pari a 1, esprimendolo in forma percentuale e su base annua: i = %.

14 Esercizio 3. Si consideri un individuo che vuole accendere un mutuo per una somma S = euro, da restituirsi secondo un ammortamento in 5 rate semestrali posticipate al tasso annuo i = 7%. L ammortamento prescelto è di tipo non standard e prevede che: la prima rata sia di preammortamento, la seconda rata sia di euro, le successive rate siano uguali tra loro. Si compili il piano di ammortamento. rata n. rata quota capitale quota interesse debito residuo

15 Esercizio 4. Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui, al tempo t = 0 siano quotati i seguenti titoli: un TCN a termine, che rimborsa 100 euro a un anno e mezzo, al prezzo di 97 euro, pagabile a sei mesi; un TCN a termine, che rimborsa 200 euro a un anno e mezzo, al prezzo di 197 euro, pagabile a un anno; un TCF quotato alla pari, con cedola semestrale, vita residua sei mesi e tasso interno di rendimento in base annua il 3%. In questo mercato, si calcoli la struttura per scadenza dei tassi a pronti e a termine, esprimendo i valori in base annua ed in forma percentuale: i(0, 0.5) = i(0, 0, 0.5) = i(0, 1) = i(0, 0.5, 1) = i(0, 1.5) = i(0, 1, 1.5) = Esercizio 5. Siano dati i titoli seguenti: r: rendita posticipata perpetua immediata a rata trimestrale costante R = 800 euro; x: TCN a pronti con valore facciale , scadenza tra un anno e 11 mesi Nell ipotesi che la struttura dei tassi sia piatta al livello del 5% annuo, si calcoli il valore e la duration (in anni) dei due titoli: V (0, r) = euro D(0, r) = anni V (0, x) = euro D(0, x) = anni Si assuma di volere costruire un portafoglio del tipo αr + βx, che abbia valore euro e duration 10 anni: si determinino le quote α e β che realizzano la richiesta α = β =

16 Esercizio 6. Si consideri un mercato azionario in cui siano quotati due titoli rischiosi di rendimenti aleatori I 1 ed I 2, con aspettative E(I 1 ) = 3% e E(I 2 ) = 2% e varianze V 1 = 0.03 e V 2 = Il coefficiente di correlazione fra i rendimenti dei due titoli sia ρ = 0. Fra le composizioni di portafoglio del tipo I = αi 1 +(1 α)i 2, si determini il portafoglio efficiente α che ha rendimento atteso E = 2.5% e se ne determini la varianza del rendimento V. α = % V =. Quindi, si trovi il portafoglio efficiente α che ha varianza del rendimento V = e se ne determini il rendimento atteso E α = % E = %. Si trovi infine il portafoglio a varianza minima α e se ne calcoli il rendimento atteso E e la varianza del rendimento V α = % E = % V =.