ESERCIZIO 1 compito del

Transcript

1 ESERCIZIO 1 compito del (qualora necessario: approssimazione tassi alla 4 a cifra decimale) Mario, sei anni addietro, ha depositato, all inizio di ogni mese, in un conto corrente gli importi seguenti: R1=90 per i primi due anni, R2 per i due anni successivi; R3 = 4R2 per gli ultimi due anni. Sapendo che oggi la somma accumulata è pari a 14000, 1. determinare R2 ed R3 nell ipotesi in cui il tasso riconosciuto fosse stato del 4.8% NOMINALE annuo convertibile mensilmente; R1 90,00 R2? R3 4 *R2 Frequenza 12 t1 2 anni t2 2 anni t3 2 anni S ,00 J(12) 4,80% i 1/12 0,4% M(R1) 2.751,12 m(r2+r3) 128,73 R2 87,39 R3 349,55 TIR 4,9070% 2. determinare R2 ed R3 nell ipotesi che dopo i primi due anni il tasso NOMINALE annuo del 4.8% sia stato maggiorato dell 1.2% e negli ultimi due sia stato diminuito del 2.4% (rispetto al biennio precedente).

2 R1 90,00 R2? R3 4 *R2 Frequenza 12 t1 2 anni t2 2 anni t3 2 anni S ,00 J(12) 1 4,80% i 1/12 1 0,4% J(12) 2 6,00% i 1/12 2 0,5% J(12) 3 3,60% i 1/12 3 0,3% M(R1) 2.751,05 m(r2+r3) 127,15 R2 88,47 R3 353,88 3. Si determini il tir su base annua delle due alternative. i1 0,30% im 0,50% f(0.3%) ,01 f(0.5%) ,27 i* 1/12 0,3601% i* 4,4083% ESERCIZIO 3 compito del (programma 6 CFU) In un mercato ideale, oggi 20 giugno 2018, sono trattati i seguenti titoli a cedola nulla (TCN): T1: prezzo 99, valore facciale 100 con scadenza 85 giorni. T2: prezzo 98, valore facciale 100 con scadenza 200 giorni. T3: prezzo 125, valore facciale 130 con scadenza 240 giorni. 1. Determinare la struttura dei tassi a pronti e quella dei tassi a termine su base annua (anno =360 gg.). tk VF V(0) v(0,tk) i(0,tk) v(0,tk-1,tk) i(0,tk-1,tk) v(0,tk-2,tk) i(0,tk-2,tk) , , , ,0370 0, , , ,0606 0, ,1867 0, , Se nel mercato venisse scambiato un TCN a termine, contrattato oggi, con scadenza 240 giorni, valore facciale 150 e prezzo di consegna, fra 200 gg., pari a 144, indicare se sia possibile realizzare un arbitraggio esplicitando la strategia di compravendita necessaria a conseguirlo.

3 t pag t scad VF prezzo v(0,tp,ts) ,9600 t Acquisto 1 TCN a termine - 144,00 150,00 1 Vendo allo scoperto (150/130) TCN (0,240gg) 144,23-150,00-1,1538 Acquisto 1.4 (144/100) TCN (0,200gg) - 141,12 144,00 1,4400 Flussi netti 3, Guadagno da arbitraggio ESERCIZIO 1 compito del Un progetto di investimento prevede un esborso in t=0 di e introiti di al termine di ciascuno dei primi 3 anni, seguiti da introiti mensili posticipati di per 20 anni a partire da t=3 anni. Alternativamente è possibile investire in TCF emessi alla pari e con valore facciale di 5.000, scadenza tra 20 anni, cedole semestrali e tasso nominale annuo convertibile semestralmente j(2)=3%. 1. Si determini sulla base del criterio del TIR se sia conveniente il progetto di investimento o preferibile investire nei TCF. S ,00 Incassi annui incassi semestrali i1 4,0% i1(1/2) 1,9804% f(i1) ,49 i2 5,0% i2(1/2) 2,4695% f(i2) ,87 i* 4,4190% preferibile i*(1/12) 2,1856% i* ,3190% i*(1/12) ,1367% verifica ,29 > OK TCF VF 5.000,00 P 5.000,00 j(2) 3% i ced 0,015 TIR 3,022% 2. Per accedere al progetto di investimento il signor Rossi dispone di , la somma residua se la procura tramite un prestito restituito in ammortamento a quota capitale costante con rate mensili posticipate. Si determini la prima rata del prestito e la sua durata sapendo che la quota capitale è pari a e la seconda quota interessi è pari a

4 Somma disponibile ,00 C 1250 I2 652,95 D ,00 i 1/12 0,3285% I1 657,06 R ,06 n 160,00 ESERCIZIO 3 compito del Il Signor Rossi ha ottenuto oggi, epoca t 0 = 0, un finanziamento di euro da rimborsare mediante il pagamento immediato per 2 anni di rate costanti, posticipate e quadrimestrali. 1. Completare il seguente piano di ammortamento: k R k C k I k M k , , ,72 6 t k R I C D 0, ,00 0, ,28 99, , ,08 0, ,28 83, , ,86 1, ,28 66, , ,26 1, ,28 50, , ,15 1, ,28 33, , ,43 2, ,28 16, ,45-0,01 Suggerimento: trovare C3 da D3-D2, quindi trovare i ricordando che C5/C3=(1+i)^2 i 1/3 0,662% i 2,00% 2. Il Signor Rossi utilizza i euro per l acquisto di un auto del valore di euro. La parte restante del valore dell auto viene presa anch essa in prestito e viene rimborsata pagando un primo importo A 1 all epoca t 1 = 9 mesi e un secondo importo A 2 = euro all epoca t 2 = 18 mesi. Applicando la legge degli interessi semplici e un tasso d interesse annuo pari al 2%, determinare l importo A 1. (Suggerimento: l operazione finanziaria del rimborso della parte restante del valore dell auto deve essere equa all epoca t 0 = 0.) S ,00 C ,00 A ,38 T1 9 mesi A ,00 T2 18 mesi i 2% annuo 3. Trascorsi 10 mesi, il Signor Rossi decide di estinguere il debito che ha contratto per ottenere

5 i euro. Stabilire l importo che il Signor Rossi dovrebbe pagare utilizzando il tasso d interesse del finanziamento al punto 1. e applicando la legge degli interessi composti. DR in t=10 mesi ,15 ESERCIZIO 3 compito del (programma 6 CFU) Si consideri la seguente struttura per scadenza dei tassi d'interesse a termine vigente nel mercato al tempo t 0 = 0 essendo il tempo misurato in mesi ed i tassi espressi su base annua: i(0, 0, 1) = , i(0, 1, 2) = , i(0, 2, 4) = , i(0, 4, 5) = Determinare la struttura per scadenza dei prezzi a pronti e a termine e dei tassi a pronti nell'ipotesi in cui nel mercato non sia possibile realizzare arbitraggi non rischiosi. (I prezzi a pronti e a termine devono essere approssimati alla 4 cifra decimale.) A termine Scadenze i annui t v (0,0,1/12) 0, , ,9966 (0,1/12,2/12) 0, , ,9964 (0,2/12,4/12) 0, , ,9930 (0,4/12,5/12) 0, , ,9961 A pronti Scadenze (0,1/12) 0, , ,9966 (0,2/12) 0, , ,9930 (0,4/12) 0, , ,9861 (0,5/12) 0, , , Dire se il titolo a cedola nulla immesso nel mercato al tempo t 0 = 0 al prezzo P = 99 con valore facciale 100 e scadenza 4 mesi immette opportunità di arbitraggio e, in caso affermativo, determinare la relativa strategia. 0 1m 2m 4m vendita 1 TCN(0,4m) 99,00-100,00 Aquisto TCN(0,2m,4m) per 100 di VF - 99,30 100,00 Aquisto TCN(0,1m,2m) per di VF - 98,95 99,30 Aquisto TCN(0,0,1m) per di VF - 98,61 98,95 0, Guadagno in t=0 ESERCIZIO 1 compito del Un individuo di età 24 anni, assunto oggi a tempo indeterminato, vuole disporre dopo 38 anni di attività lavorativa di una pensione complementare. A tal fine, sottoscrive immediatamente la partecipazione ad un fondo che, a fronte del versamento del 15% del proprio stipendio in modalità posticipata e mensile, riconosce il 3% annuo. L importo S che accumulerà nel fondo all età di 62 anni gli consentirà di usufruire di una pensione con rata mensile anticipata di importo costante pari a 1000 euro fino all età di 85 anni, essendo la rata calcolata al tasso annuo del 2%. 1. Supponendo che lo stipendio mensile dell individuo sia pari a 1400 euro per i primi 6 anni, si determini l importo dello stipendio mensile dopo i primi 6 anni nell ipotesi che rimanga invariato nel periodo restante.

6 età 24 durata 38 anni 456 mesi pensione 23 anni 276 mesi tasso 3% annuo mensile rata 1000 mensile anticipata Stipendipo anni 72 mesi tasso 2% annuo mensile rate anni 72 mesi VA (62ann 221,877 rate residue 384 mesi VApensione(t=0) va primi 6anni afigur384*v^ RATA STIPENDIO 1,872.0 Raggiunti i 62 anni d età, il fondo concede all individuo la possibilità di utilizzare l importo S per acquistare un portafoglio costituito da 90 TCF e 120 TCN, dove i TCF e i TCN hanno le seguenti caratteristiche: TCF: scadenza 10 anni, cedole semestrali, tasso nominale annuo 5% e valore nominale 1000; TCN: scadenza 3 quadrimestri e valore nominale Stabilire in base al criterio del TIR se l individuo ha convenienza ad accettare il portafoglio di titoli al posto della pensione complementare. (Se non si è riusciti a calcolare l importo S del punto 1., si ponga S= euro) Nell ipotesi che l individuo abbia scelto il portafoglio di titoli di cui al punto 2., si calcoli la variazione percentuale del valore del portafoglio a seguito di una variazione del tasso d interesse annuo pari a Δi= all epoca 1 trimestre.

7 ESERCIZIO 1 compito del Un individuo quattro anni fa ha cominciato a versare all inizio di ogni trimestre, quindi in modo anticipato una rata R1=1.000 per il primo anno, una rata R2=1.400 per un altro anno e una rata R3 per gli ultimi due anni. Il conto corrente riconosceva un tasso d interesse annuo del 2,75% per il primo anno, un tasso d interesse annuo del 2,2% per gli anni successivi. 1. Sapendo che oggi l individuo dispone dell importo S= , determinare la rata R3. Durata 4 anni 16 trimestri R R R3??? tasso annuo trim tasso annuo trim S = M Montante R1 M Montante R2 M3??? R Oggi l individuo utilizza l importo S come anticipo per l acquisto di un auto il cui costo è , mentre per la parte restante del costo dell auto valuta i tre seguenti finanziamenti:

8 Finanziamento A: ammortamento a quota capitale costante con 6 rate quadrimestrali posticipate di cui le prime due sono di preammortamento e pari a 350 ; Finanziamento B: ammortamento con 4 rate semestrali posticipate di cui le prime due di preammortamento e le ultime due di importo pari a ; Finanziamento C: 11 rate bimestrali posticipate ciascuna di importo pari a 150 ed una maxirata finale in t = 2 anni di importo Applicando il criterio del TIR, stabilire il finanziamento migliore. Debito a) Rata 350 tasso quadr 1.750% tasso annuo 5.342% b) flussi tasso sem 3.315% tasso annuo 6.741% c) Cedola 150 tasso bim 0.750% tasso annuo 4.585% Preferibile ESERCIZIO 3 compito del Un individuo in t=0 inizia ad investire in un fondo di investimento che riconosce un tasso di interesse annuo del 3,5% in capitalizzazione composta. Il versamento inziale (in t=0) è di , a partire da quel momento inizia a versare rate semestrali posticipate di euro. Inoltre in t=4 anni effettua un versamento aggiuntivo di Qual è il numero minimo di rate che egli dovrà versare perché il montante accumulato sul fondo sia almeno pari a euro? i 3,50% annuo i 1/2 1,7349% semestrale S ,00 in t=0 S ,00 in t=4 R 2.000,00 sem M ,00 16, Rate minime 17 La somma così accantonata viene impiegata per l acquisto di un immobile per il quale sono necessari ulteriori che l individuo si procura tramite un ammortamento a quota capitale costante ad un tasso di interesse annuo del 6% che prevede rate semestrali posticipate. 2. Sapendo che l importo massimo di rata che l individuo si può permettere di pagare è di quanti anni minimo dovrà durare l ammortamento? Si riportino le ultime 4 righe del piano di ammortamento stesso.

9 D(0) ,00 i 6% annuo i 1/2 2,9563% R max 8.500,00 I ,15 C1=C max 7.021,85 n min 8 7, C 6.250,00 t R I C D , , , , , , , , , , , , , ,84 923, , , ,08 739, , , ,31 554, , , ,54 369, , , ,77 184, ,00 - ESERCIZIO 3 compito del (programma 6 CFU) Si consideri la seguente struttura per scadenza dei tassi d'interesse a termine vigente nel mercato al tempo t 0 = 0 essendo il tempo misurato in semestri ed i tassi espressi su base annua: i(0, 0, 1) = , i(0, 1, 2) = , i(0, 2, 4) = , i(0, 4, 6) = Determinare la struttura per scadenza dei prezzi a pronti e a termine e dei tassi a pronti espressi su base annua nell'ipotesi in cui nel mercato non sia possibile realizzare arbitraggi non rischiosi. (i prezzi a pronti e a termine devono essere approssimati alla 4 cifra decimale.) t in anni t in anni annui 0,5 v(0,0,1) 0,9926 v(0,1) 0,9926 0,5 i(0,1) 1,50% 0,5 v(0,1,2) 0,9911 v(0,2) 0, i(0,2) 1,65% 1 v(0,2,4) 0,9775 v(0,4) 0, i(0,4) 1,97% 1 v(0,4,6) 0,9785 v(0,6) 0, i(0,6) 2,05% 2. Dire se il titolo a cedola nulla immesso nel mercato al tempo t 0 = 0 al prezzo P = 98 con valore facciale 100 e scadenza 1 anno permette opportunità di arbitraggio e, in caso affermativo, determinare la relativa strategia. semestri Strategia anno - 98,00-100,00 Acquisto 1 TCN ad 1 anno 99,11-100,00 Vendo allo scoperto 1 TCN a termine (0,1,2) del VN di ,38-99,11 - Vendo allo scoperto TCN a pronti (0,1) del VN di 100 >P(TCN) 0, Saldo

10 ESERCIZIO 3 compito del Un individuo necessita di in t = 0. Di questi li ottiene chiudendo un operazione di investimento iniziata 8 mesi prima in capitalizzazione semplice al tasso di interesse trimestrale del 2%. La parte residua la ottiene tramite un finanziamento a fronte del quale dovrà versare, a partire da t = 1 anno, rate mensili anticipate pari a R1 = 500 per i primi 6 anni, pari a R2 = 750 per i successivi 6 anni e pari a R3 per ulteriori 8 anni. 1. Determinare quale somma era stata investita in capitalizzazione semplice. 2. Calcolare a quanto deve esser pari R3 perché il tasso effettivo annuo di costo del finanziamento sia del 4% annuo in capitalizzazione composta. S' ,00 R1 500,00 R2 750,00 R3??? t1 6 anni t2 6 anni t3 8 anni i 4% annuo in RIC i 1/12 0,3274% V(0,R1) ,44 V(0,R2) ,48 V(0,R3) ,08 a(0,r3) 49, R3 655,29 In alternativa si può procurare i tramite un finanziamento il cui rimborso avviene in ammortamento francese e di cui sotto è riportato parte del piano di ammortamento. 3. Determinare la durata e la rata della proposta di rimborso e completare le righe da 1 a 8 del piano di ammortamento. Dire quale delle 2 forme di finanziamento sia preferibile in termini di tasso applicato. Tempo (anni) Rata Quota int. Quota cap. Debito res , , , , , , , , , ,66

11 D4=D3-C ,84 i=i5/d4 7,00% Non preferito I4=D3*i 5.741,96 R4=I4+C ,19 n 12,0000 R I C D , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,66 ESERCIZIO 2 compito del Sul mercato si possono acquistare all epoca t=0 tre titoli obbligazionari, tutti con lo stesso TIR, con le seguenti caratteristiche: T1: TCN con valore facciale euro e scadenza 9 mesi; T2: TCF con prezzo 987 euro, scadenza 1 anno, che paga cedole semestrali posticipate al tasso nominale annuo del 6% e a scadenza, insieme all'ultima cedola, il valore facciale di euro; T3: TCF con valore facciale pari a euro, scadenza 2 anni, cedole quadrimestrali posticipate, con tasso nominale annuo del 4,5% il primo anno e del 6% il secondo anno. 1. Determinare il prezzo dei titoli T1 e T3 e la scadenza media aritmetica dei titoli T2 e T3. T1 VF 1.000,00 t 9 mesi P(T1) 947,15 D(T1) 0,75 T2 P(T2) ,00 j(2) 6% 0,5 30,00 28,93 14,47 15,00 VF ,00 958,07 958, ,00 3,686% Duration SMA TIR 7,508% 0,9853 0,9858

12 T3 VF 5.000,00 0,00 j(2)' 4,50% 0,33 75,00 73,21 24,40 25,00 j(2)'' 6,00% 0,67 75,00 71,47 47,64 50,00 P(T3) 4.806,40 1,00 75,00 69,76 69,76 75,00 1,33 100,00 90,80 121,06 133,33 1,67 100,00 88,63 147,72 166,67 2, , , , ,00 duration SMA 1,9215 1, Il signor Bianchi vuole investire euro nei 3 titoli, sapendo che una metà dell investimento sarà effettuata nel titolo T3 trovare le quote di investimento nel titolo T1 e nel titolo T2 perché la duration di portafoglio sia pari a 1,4 anni. V(Z) ,00 S(T3) ,00 q(t3) 9,3625 alfa* 947,15 + beta 987,00 = ,00 D(Z) 1,4 alfa* 710,36 + beta 972,53 +q(t3)*p(t3)*d(t3) = ,00 alfa 21,58 beta 24,89