UNIVERSITÁ DI FOGGIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA CORSO DI MATEMATICA FINANZIARIA A-L PROF. ANDREA DI LIDDO TEMI ASSEGNATI DURANTE LE PROVE SCRITTE DA

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1 UNIVERSITÁ DI FOGGIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA CORSO DI MATEMATICA FINANZIARIA A-L PROF ANDREA DI LIDDO TEMI ASSEGNATI DURANTE LE PROVE SCRITTE DA DICEMBRE 2016

2 Esonero di Matematica Finanziaria aa ottobre 2017 TRACCIA 01 1 Calcolare il capitale C che produce, al tempo t = 10 anni, il montante M = euro, se investito al tempo t = 0, al tasso di interesse annuo i = 6% e in regime di capitalizzazione composta 2 Calcolare il capitale C che produce, al tempo t = 5 anni, il montante M = euro, se investito al tempo t = 0, al tasso di interesse annuo i = 12% e in regime di interesse semplice Un individuo riceve, al tempo t = 0, in prestito la somma di euro S = da restituire con tre rate trimestrali posticipate R 1; R 2; R 3 Sapendo che il tasso di interesse annuo convertibile trimestralmente è i = 0, 16 e che : R 3 R 1 = 3; calcolare l importo delle rate e stilare il piano di ammortamento C 3 C 2 = 2; Un individuo riceve al tempo t = 0 un finanziamento di euro da restituire con due rate R 1 = euro al tempo t = 1 e R 2 = euro al tempo t = 2 Inoltre egli deve pagare i seguenti importi: 800 euro al tempo t = 0 per spese di apertura pratica; 200 euro al tempo t = 1 e t = 2 per spese di riscossione rate Calcolare il TAN e TAEG dell operazione finanziaria Al tempo t = 0 si osservano sul mercato i prezzi delle seguenti obbligazioni (di valore nominale 100 euro): 85 prezzo a pronti di un obbligazione con scadenza t = 3; 50 prezzo a pronti di un obbligazione con scadenza t = 5; 90 prezzo a termine di un obbligazione con emissione al tempo t = 3 e scadenza t = 5 Dire se, dall osservazione di tali prezzi, si puó dedurre che é violato il principio di assenza di arbitraggio In caso affermativo, costruire una strategia di arbitraggio e determinare il profitto finale, supponendo di potere effettuare vendite allo scoperto per un importo massimo di euro

3 Esonero di Matematica Finanziaria aa ottobre 2017 TRACCIA 02 Al tempo t = 0 il capitale di euro viene investito in capitalizzazione composta, per 34 mesi, al tasso annuo del 18%, generando un montante M Quale capitale C occorre investire per generare, al tasso annuo del 22% in capitalizzazione composta e per 4 semestri, il medesimo montante M? Un individuo riceve, al tempo t = 0, in prestito la somma di euro S = da restituire con tre rate semestrali posticipate R 1; R 2; R 3 Sapendo che il tasso di interesse annuo convertibile semestralmente è i = 0, 14 e che : R 1 = 3R 3; C 1 = 2R 2; calcolare l importo delle rate e stilare il piano di ammortamento Un individuo riceve al tempo t = 0 un finanziamento di euro da restituire con una delle seguenti modalitá: Dire: 1 A: pagamento di due rate R 1 = euro al tempo t = 1 e R 2 = euro al tempo t = 2; 2 B: pagamento di due rate R 1 = euro al tempo t = 1 e R 2 = euro al tempo t = 2 quale delle due modalitá di restituzione del prestito é preferibile utilizzando il criterio del tasso interno di rendimento (TIR); quale delle due modalitá di restituzione del prestito é preferibile utilizzando il criterio del rendimento economico attualizzato (REA) al tasso di valutazione del 20% In data 15/8/2011 sono stati acquistati dei titoli obbligazionari di durata trentennale del valore nominale di euro, corso secco pari a 80, 00, cedole trimestrali esigibili il 1/1, 1/4, 1/7, 1/10 di ogni anno e calcolate al tasso annuo nominale convertibile trimestralmente del 32 % Sulle cedole è applicata una ritenuta fiscale del 20 % In data 15/01/2012 tali titoli vengono rivenduti ad un corso secco di 125, 00 Calcolare: 1 il capitale C effettivamente investito in data 15/8/2011 sapendo che, all atto dell acquisto, sono state sostenute spese fisse pari a 2000 euro; 2 l importo della cedola netta; 3 il capitale netto V ricavato dalla vendita dei titoli; 4 il tasso di rendimento effettivo annuo nell ipotesi che le cedole siano state reinvestite, in capitalizzazione composta, al tasso annuo del 14% Si effettuino i calcoli utilizzando la convenzione dell anno commerciale

4 Esonero di Matematica Finanziaria aa ottobre 2017 TRACCIA 03 Il capitale C = euro viene investito in capitalizzazione semplice al tasso i per il periodo di tempo che va dall istante t = 0 all istante t = 5, producendo un montante M 1 Tale montante viene immediatamente reinvestito, in capitalizzazione semplice al tasso 4i, per il periodo di tempo che va dall istante t = 5 all istante t = 8 producendo un montante finale M = euro Calcolare il tasso i Un individuo riceve, al tempo t = 0, in prestito la somma di euro S = da restituire con dieci rate semestrali posticipate R k ; k = 1,, 10, al tasso di interesse annuo convertibile semestralmente i = 0, 20 Sapendo che le prime quattro rate sono tutte dello stesso importo 2R e che le rate dalla quinta alla decima sono di importo R, calcolare l importo delle rate Calcolare inoltre il debito residuo subito dopo aver pagato la quinta rata Un individuo deve effettuare una scelta tra i seguenti due investimenti: I 1 Investire la somma di euro C al tempo t = 0 e incassare in cambio la somma di euro al tempo t = 8 I 2 Investire la somma di euro C al tempo t = 0 e incassare in cambio le somme di euro al tempo t = 10 Dire, al variare del tasso di valutazione, quale é l operazione piú conveniente, secondo il criterio del REA Si consideri una operazione finanziaria F che prevede introiti di euro 5Q al tempo t = 0, euro Q al tempo t = 2, euro Q al tempo t = 10 Sapendo che la duration di F utilizzando il tasso di valutazione i = 18% é dur = 4, 00, calcolare Q

5 Esonero di Matematica Finanziaria aa ottobre 2017 TRACCIA 04 Un individuo investe al tempo t = 0 il capitale C = euro per 4 anni in capitalizzazione composta al tasso annuo i = 6% Un quarto del montante M 1 così ricavato viene immediatamente reinvestito in capitalizzazione semplice per 6 anni al tasso annuo j producendo un montante finale M = Calcolare j Un individuo riceve, al tempo t = 0, in prestito la somma di euro S = da restituire con quattro rate trimestrali posticipate R 1; R 2; R 3; R 4 Sapendo che il tasso di interesse convertibile trimestralmente è j = 0, 12 e che : C 1 = 24000, C k+1 C k = k = 2, 3; calcolare l importo delle rate e stilare il piano di ammortamento Un individuo deve scegliere tra due opportunitá commerciali A e B per la quali deve spendere la somma di euro al tempo t = 0 e che conferiscono le seguenti entrate: Dire: 1 A : E 1 = euro al tempo t = 1 e E 2 = x euro al tempo t = 2; 2 B : E 1 = euro al tempo t = 1 e E 2 = euro al tempo t = 2 per quale valore di x 0 le due opportunitá commerciali sono indifferenti utilizzando il criterio del rendimento economico attualizzato (REA) al tasso i = 0, 12; per quale valore di x 0 le due opportunitá commerciali sono indifferenti utilizzando il criterio del tasso interno di rendimento (TIR) Al tempo t = 0 si osservano sul mercato i prezzi delle seguenti obbligazioni (di valore nominale 100 euro): 95 prezzo a pronti di un obbligazione con scadenza t = 5; 60 prezzo a pronti di un obbligazione con scadenza t = 10; 50 prezzo a termine di un obbligazione con emissione al tempo t = 5 e scadenza t = 10 Dire se, dall osservazione di tali prezzi, si puó dedurre che é violato il principio di assenza di arbitraggio In caso affermativo, costruire una strategia di arbitraggio e determinare il profitto finale, supponendo di potere effettuare vendite allo scoperto per un importo massimo di euro

6 Esonero di Matematica Finanziaria aa ottobre 2017 TRACCIA 05 Calcolare il capitale C che produce il montante M = C euro, se investito al tempo t = 0, al tasso di interesse annuo i = 8% e in regime di capitalizzazione composta per il periodo di tempo che va dall istante t = 0 all istante t = 8 Un individuo riceve, al tempo (espresso in mesi) t = 0, in prestito la somma di euro S = da restituire secondo un piano di ammortamento francese con cento rate mensili posticipate, al tasso di interesse annuo convertibile mensilmente del 24% Calcolare la rata R Dopo aver pagato la ottantesima rata, il debitore ottiene di poter sospendere il pagamento delle quote capitale delle successive dieci rate e, quindi, negli istanti t = 81,, 90, paga soltanto gli interessi Al tempo t = 90 riprende la restituzione del debito, con le medesime modalità, da concludersi entro il tempo t = 120 Calcolare l importo W delle nuove rate Un individuo riceve al tempo t = 0 un finanziamento di euro da restituire con due rate R 1 al tempo t = 1 e R 2 = 3R 1 al tempo t = 2 Inoltre, al tempo t = 2 deve pagare l importo a = 3000 euro per spese di chiusura pratica Dire per quali valori di R 1 il TAEG è uguale al 20% In data 15/5/2011 sono stati acquistati dei titoli obbligazionari di durata trentennale del valore nominale di euro, corso secco pari a 70, 00, cedole trimestrali esigibili il 1/1, 1/4, 1/7, 1/10 di ogni anno e calcolate al tasso annuo nominale convertibile trimestralmente del 24 % Sulle cedole è applicata una ritenuta fiscale del 20 % In data 10/02/2012 tali titoli vengono rivenduti ad un corso secco di 95, 00 Calcolare: 1 il capitale C effettivamente investito in data 15/5/2011; 2 l importo della cedola netta; 3 il capitale netto V ricavato dalla vendita dei titoli sapendo che, all atto della vendita, sono state sostenute spese fisse pari a 3400 euro; 4 il tasso di rendimento effettivo annuo nell ipotesi che le cedole siano state reinvestite, in capitalizzazione composta, al tasso annuo del 12 % Si effettuino i calcoli utilizzando la convenzione dell anno commerciale

7 Esonero di Matematica Finanziaria aa ottobre 2017 TRACCIA 06 É piú conveniente investire un capitale C euro in regime di interesse composto per quattro anni al tasso di interesse mensile i = 3% oppure in regime di interesse semplice per otto anni al tasso di interesse annuo j = 12%? Un individuo riceve, al tempo t = 0, in prestito la somma di euro S = da restituire con quaranta rate semestrali posticipate R k ; k = 1,, 40, al tasso di interesse annuo convertibile semestralmente i = 0, 40 Sapendo che le prime sei rate sono tutte dello stesso importo 2R, che le successive tredici rate sono di importo R e che le ultime ventuno rate sono di importo pari a 1 R, calcolare l importo delle rate Calcolare inoltre il debito residuo subito dopo aver pagato la ventesima rata 4 Un individuo deve effettuare una scelta tra i seguenti due investimenti: I 1 Investire la somma di euro C al tempo t = 0 e incassare in cambio la somma di euro al tempo t = 8 I 2 Investire la somma di euro C al tempo t = 0 e incassare in cambio le somme di euro al tempo t = 4, e al tempo t = 8 Dire, al variare del tasso di valutazione, quale é l operazione piú conveniente, secondo il criterio del REA Un individuo prevede una uscita U = 5000 euro al tempo T = 6 Sul mercato sono disponibili due titoli obbligazionari senza cedole T 1 e T 2 con scadenza, rispettivamente, ai tempi t 1 = 3 e t 2 = 8 Egli intende costruire un portafoglio composto da titoli di tipo T 1 per un valore nominale di euro a 1 e da titoli di tipo T 2 per un valore nominale di euro a 2 in modo che il medesimo portafoglio risulti immunizzato rispetto alla uscita U Sapendo che il tasso di mercato istantaneo è δ = 0, 2 per tutto l orizzonte temporale di riferimento, calcolare a 1 e a 2

8 Esonero di Matematica Finanziaria aa ottobre 2017 TRACCIA 07 Si investe, al tempo t = 0 la somma di C euro, al tasso di interesse annuo i = 22% per otto mesi in capitalizzazione composta Metà del montante prodotto viene immediatamente reinvestito al tasso di interesse annuo j = 12% per trenta mesi in capitalizzazione semplice, producendo un montante finale M = euro Calcolare C Un individuo riceve, al tempo t = 0, in prestito la somma di S = euro da restituire secondo un piano di ammortamento a quote capitali costanti (ammortamento italiano) con venti rate trimestrali posticipate, al tasso di interesse annuo convertibile trimestralmente del j = 24% Calcolare le rate R 1 ed R 2 Dopo aver pagato la seconda rata, il debitore sospende il pagamento delle successive quattro rate (non paga neanche gli interessi) Al tempo t = 6 riprende la restituzione del debito, secondo un piano di ammortamento con 5 rate annuali costanti a interessi anticipati (ammortamento tedesco) e al tasso annuo del 12% Calcolare l importo W delle nuove rate Un individuo deve scegliere tra due opportunitá commerciali A e B per la quali deve spendere la somma di 400 euro al tempo t = 0 e che conferiscono le seguenti entrate: 1 A : E 1 = 150 euro al tempo t = 1 e E 2 = 2x euro al tempo t = 2; 2 B : E 1 = x euro al tempo t = 1 e E 2 = 400 euro al tempo t = 2 Dire per quale valore di x 0 le due opportunitá commerciali sono indifferenti utilizzando il criterio del rendimento economico attualizzato (REA) al tasso i = 0, 25 Si consideri una operazione finanziaria F che prevede introiti di euro al tempo t = 0, euro al tempo t = 4, euro al tempo t = 12 Calcolare la duration di F utilizzando il tasso istantaneo δ = 0, 12 Sapendo che se si passa dal tasso istantaneo δ = 0, 12 al tasso di valutazione δ, il valore attuale di F diminuisce del 40%, calcolare δ Utilizzare per tale calcolo l approssimazione della volatilitá ottenuta approssimando con il polinomio di Taylor di primo grado

9 Esonero di Matematica Finanziaria aa ottobre 2017 TRACCIA 08 Giovanna ha depositato sei anni fa una somma C 1 e tre anni fa una somma C 2 pari al triplo di C 1 Il primo impiego é stato effettuato in capitalizzazione semplice al tasso annuo del 24%, il secondo in capitalizzazione composta al tasso annuo del 12% Oggi ritira un montante complessivo di euro Determinare il valore delle somme depositate C 1 e C 2 Una persona intende costituire un capitale di M 1 = EUR effettuando 15 versamenti annui posticipati Dopo il versamento della decima rata, decide di aumentare a M 2 = euro la somma da costituire Supponendo che il tasso di interesse applicato rimanga inalterato al 8%, calcolare la rata originaria e quella successiva alla modifica Un individuo riceve al tempo t = 0 un finanziamento di euro da restituire con due rate R 1 al tempo t = 1 e R 2 al tempo t = 2 Inoltre, al tempo t = 2 deve pagare l importo a = 650 euro per spese di chiusura pratica Sapendo che R 1 = 5R 2, dire per quali valori di R 1 il TAEG è uguale al 22% Siano dati i tassi a pronti i(0, 5) = 20%, i(0, 10) = 40% e il tasso a termine i(0, 5, 10) = 16% Dire se, dall osservazione di tali tassi, si puó dedurre che é violato il principio di assenza di arbitraggio In caso affermativo, costruire una strategia di arbitraggio e determinare il profitto finale, supponendo di potere effettuare vendite allo scoperto per un importo massimo di euro

10 Esonero di Matematica Finanziaria aa ottobre 2017 TRACCIA 09 1 Calcolare il montante M al tempo t = 5 anni generato da un capitale C = 2000 euro, investito al tempo t = 0, al tasso di interesse annuo i = 13%, in regime di interesse composto 2 Calcolare il tasso bimestrale j equivalente, in regime di capitalizzazione semplice, al tasso biennale i = 20% 3 Calcolare il tasso istantaneo δ equivalente al tasso annuo i = 20% Un individuo intende costituire un capitale M = euro mediante quaranta versamenti mensili dei quali i primi dieci sono di importo 3R, i successivi quattordici sono di importo 5R e gli ultimi sedici sono di importo R Il capitale investito viene remunerato, in capitalizzazione composta, al tasso di interesse annuo convertibile mensilmente del 36% per i primi dieci mesi Per i trenta mesi successivi il capitale investito viene remunerato, in capitalizzazione composta, al tasso annuo del 22% Calcolare R Per l acquisto di un autoveicolo, un soggetto riceve le seguenti proposte di vendita: 1 Pagare euro in t = 0 (tempo espresso in anni), euro in t = 1 e in t = 3; 2 Pagare tre rate annue di importo R in t = 1, 4R in t = 2 e 4R in t = 3 Determinare R affinché le due alternative siano indifferenti secondo il criterio del REA al tasso di valutazione del 10% annuo Si consideri una operazione finanziaria F che prevede introiti di euro Q al tempo t = 0, euro 2Q al tempo t = 2, euro 3Q al tempo t = 12 Sapendo che la duration di F utilizzando il tasso istantaneo di valutazione δ = 12% é dur = 7, 00, calcolare Q

11 Esonero di Matematica Finanziaria - aa ottobre 2017 TRACCIA 10 Il capitale C = 4000 euro viene investito al tempo t = 0 in regime di capitalizzazione composta per 6 anni al tasso di interesse annuo i = 4% Il montante M 1 cosí ricavato viene immediatamente reinvestito per altri tre anni, in regime di interesse semplice al tasso di interesse annuo j generando un montante finale M 2 Calcolare il tasso j affinché M 2 sia uguale a euro Un individuo riceve, al tempo t = 0, in prestito la somma di euro S = euro da restituire con tre rate semestrali posticipate R 1; R 2; R 3 Sapendo che il tasso di interesse annuale convertibile semestralmente è i = 0, 20 e che stilare il piano di ammortamento C k + C k+1 5C k+1 = 1 k = 1, 2; Determinare il tasso annuo j tale che la seguente operazione finanziaria abbia un REA = euro: S 0 = euro in t = 0; S 1 = 3000 euro in t = 6 (mesi); S 2 = euro in t = 24 (mesi) Un individuo prevede una uscita U = euro al tempo T = 10 Sul mercato sono disponibili due titoli obbligazionari senza cedole T 1 e T 2 con scadenza, rispettivamente, ai tempi t 1 = 2 e t 2 = 18 Egli intende costruire un portafoglio composto da titoli di tipo T 1 per un valore nominale di euro a 1 e da titoli di tipo T 2 per un valore nominale di euro a 2 in modo che il medesimo portafoglio risulti immunizzato rispetto alla uscita U Sapendo che il tasso di mercato istantaneo è δ = 0, 14 per tutto l orizzonte temporale di riferimento, calcolare a 1 e a 2

12 Esonero di Matematica Finanziaria aa ottobre 2017 TRACCIA 11 Al tempo t = 0 una cambiale di importo euro e scadenza t = 1, (tempo espresso in anni), viene incassata presso una banca che pratica il tasso di sconto d = 20% e quindi paga la somma C Tale somma C viene investita, al tempo t = 1, in capitalizzazione composta, al tasso di interesse annuo del 22%, per tre mesi Il montante cosí ricavato viene immediatamente reinvestito per altri otto mesi in capitalizzazione semplice, al tasso annuo del 32% Calcolare il montante finale M Un individuo intende costituire un capitale M mediante cinquanta versamenti mensili dei quali i primi venti sono di importo 3R, i successivi dodici sono di importo 2R e gli ultimi diciotto sono di importo R Il capitale investito viene remunerato, in capitalizzazione composta, al tasso di interesse annuo del 12% per i primi venti mesi Per i trenta mesi successivi il capitale investito viene remunerato, in capitalizzazione composta, al tasso annuo convertibile mensilmente del 12% Sapendo che R = 1000 euro, calcolare M Flavio deve acquistare un televisore il cui prezzo é di 1000 euro ed é in vendita in due diversi negozi alle seguenti condizioni: 1 Anticipo di 500 euro Due rate annuali immediate posticipate di 300 euro cadauna Spese per apertura pratica di 10 euro, spese per chiusura pratica di 20 euro 2 Anticipo di 300 euro Due rate annuali immediate posticipate di 420 euro cadauna Spese per apertura pratica di 20 euro, spese per chiusura pratica di 10 euro Determinare il TAEG di entrambe le modalitá di acquisto e indicare la piú conveniente Si consideri una operazione finanziaria F che prevede introiti di euro al tempo t = 0, euro al tempo t = 4, euro al tempo t = 8 Calcolare la duration di F utilizzando il tasso istantaneo δ = 0, 32 Sapendo che se si passa dal tasso istantaneo δ = 0, 32 al tasso di valutazione δ, il valore attuale di F aumenta del 25%, calcolare δ Utilizzare per tale calcolo l approssimazione della volatilitá ottenuta approssimando con il polinomio di Taylor di primo grado

13 Esonero di Matematica Finanziaria aa ottobre 2017 TRACCIA 12 Al tempo t = 0 il capitale di 1000 euro viene investito in capitalizzazione semplice, per 10 anni, al tasso annuo del 22%, generando un montante M Quale capitale C occorre investire, al tasso del 15% in capitalizzazione composta e per 15 anni, per generare il medesimo montante M? Un debito di euro al tasso annuo del 10% é ammortizzato in n = 30 anni con rate annuali costanti posticipate (ammortamento francese) Calcolare la rata R Pagata la decima rata, il debitore sospende per quattro anni i pagamenti in conto capitale e alle scadenze t = 11, 12, 13, 14 paga soltanto gli interessi Al tempo t = 14, egli riprende la restituzione del debito con un ammortamento tedesco al tasso annuo del 16%, mediante dieci rate annuali Determinare l importo W di tali rate Un individuo riceve al tempo t = 0 un finanziamento di euro da restituire con due rate R 1 = euro al tempo t = 1 e R 2 = euro al tempo t = 2 Inoltre egli deve pagare i seguenti importi: 4z al tempo t = 0 per spese di apertura pratica; z al tempo t = 1 e t = 2 per spese di riscossione rate Inoltre, al tempo t = 2 egli deve pagare l importo di 5z euro per spese di chiusura pratica Sapendo che il TAEG é pari ai 8 del TAN, calcolare z 7 Si consideri una operazione finanziaria F che prevede introiti di euro Q al tempo t = 0, euro 3Q al tempo t = 4, euro 3Q al tempo t = 12 Sapendo che la duration di F utilizzando il tasso istantaneo di valutazione δ = 5% é dur = 6, calcolare Q

14 20 settembre 2017 recupero NUMERO DI CFU (barrare quello di pertinenza): [1] 4 CFU; [2] 5 CFU; [3] 6 CFU; [4] 7 CFU; [5] 8 CFU La somma di 1000 euro viene impiegata in capitalizzazione composta al tasso annuo i = 10% per tre anni Alla scadenza si reinveste subito in capitalizzazione composta al tasso annuo j = 18% per una certa durata T ottenendo un montante complessivo M = 3500 euro Determinare la durata del secondo impiego Una persona ha contratto un prestito di euro al tasso del 10% Per tale prestito è previsto il pagamento annuo degli interessi in via posticipata e la restituzione del capitale globalmente dopo 10 anni Per far fronte al rimborso il debitore versa annualmente, e per 10 anni, presso una banca in via posticipata una somma pari ai 1/2 dell interesse annuo remunerati al tasso del 5% Determinare la differenza tra la somma da rimborsare e la somma costituita tramite i versamenti effettuati Un individuo riceve al tempo t = 0 un finanziamento di euro da restituire con due rate R 1 = euro al tempo t = 1 e R 2 = euro al tempo t = 2 Inoltre egli deve pagare i seguenti importi: 400 euro al tempo t = 0 per spese di apertura pratica; 200 euro al tempo t = 1 e t = 2 per spese di riscossione rate, 400 euro al tempo t = 2 per spese di chiusura pratica Calcolare il TAN e il TAEG dell operazione finanziaria Si consideri una rendita annuale immediata posticipata di importo R formata da quattro rate annuali Calcolare la duration di tale rendita al tempo t = 0 sapendo che il tasso di interesse annuo i = 10%

15 20 settembre 2017 recupero NUMERO DI CFU (barrare quello di pertinenza): [1] 4 CFU; [2] 5 CFU; [3] 6 CFU; [4] 7 CFU; [5] 8 CFU MODULO II - 4 CFU QUINTO CFU Un individuo possiede un capitale certo C pari a euro e può attivare un operazione finanziaria aleatoria che prevede una entrata incerta X descritta dalla seguente variabile casuale: { p1 = 010 X = 100 p 2 = 030 k p 3 = 060 con k R Considerando che l individuo possiede funzione di utilità u(x) = x, si calcoli per quali valori di k egli preferisce passare da C a C + X secondo il criterio dell utilità attesa SESTO CFU Dire, al variare del parametro β > 0 se è possibile confrontare le due variabili aleatorie X e Y secondo il criterio della media-varianza e, in caso affermativo, dire quella preferibile X = { β p1 = 0, 2 50 p 2 = 0, 8 Y = { 0 p2 = 0, 4 60 p 1 = 0, 6 SETTIMO CFU Sia dato un mercato uniperiodale in cui siano disponibili soltanto due titoli rischiosi A e B caratterizzati da scarto quadratico medio e coefficiente di correlazione pari rispettivamente a: σ A = 0, 3, σ B = 0, 4, ρ AB = 0 Con riferimento ad un individuo che vuole investire una percentuale α del proprio capitale nel titolo A ed una percentuale 1 α nel titolo B, determinare le percentuali da investire nei due titoli per ottenere il portafoglio di minima varianza OTTAVO CFU Si consideri un mercato uniperiodale ed un azione X il cui prezzo al tempo t = 0 è X 0 = 100 e al tempo t = 1 è X 1 = X 0u con probabilità p e X 1 = X 0d con probabilità 1 p, con d = 0, 2, u = 4, 2 Si supponga che il fattore di capitalizzazione corrispondente ad investimenti privi di rischio sullo stesso mercato sia r = 2, 2 Si consideri un portafoglio A così costituito: un azione; una call sulla medesima azione con scadenza t = 1 e prezzo di esercizio K 1 = 400 euro; una put sulla medesima azione con scadenza t = 1 e prezzo di esercizio K 2 = 200 euro Si calcoli il prezzo, utilizzando il modello binomiale uniperiodale, al tempo t = 0 di tale portafoglio A

16 aa LUGLIO 2017 NUMERO DI CFU (indicare se diverso da 8 CFU): 1 Dimostrare che la legge degli interessi semplici non è scindibile 2 Si investe, al tempo t = 0 la somma C, al tasso di interesse annuo i = 12% per dieci mesi in capitalizzazione semplice Il montante prodotto M 1 viene immediatamente reinvestito al tasso di interesse annuo j = 4% per settanta mesi in capitalizzazione composta, producendo un montante finale M = euro Calcolare C 1 Si enunci e si dimostri la formula per il calcolo del valore attuale di una rendita perpetua, posticipata, periodica, costante, unitaria 2 Una persona ha ricevuto in prestito, al tempo t = 0, la somma S = euro da restituire in 2 rate semestrali, al tasso annuo nominale convertibile semestralmente del 40%, mediante ammortamento tedesco Stilare il piano di ammortamento 1 Si dia la definizione di TIR, TAN e TAEG 2 Un individuo dispone di due opportunitá commerciali, A e B, per le quali investendo la somma C al tempo t = 0 si otterrano le seguenti entrate annue: (a) A 1 = 2x euro al tempo t = 1, A 2 = euro al tempo t = 2 e A 3 = euro al tempo t = 3; (b) B 1 = euro al tempo t = 1, B 2 = 5x euro al tempo t = 2 e B 3 = 8x euro al tempo t = 3 Determinare per quali valori di x > 0 l opportunitá A é preferibile a B in base al criterio del rendimento economico attualizzato (REA) al tasso annuo j = 12% In data 15/5/2015 sono stati acquistati dei titoli obbligazionari di durata ventennale del valore nominale di euro, corso secco pari a 85, 00, cedole semestrali esigibili il 1/1, 1/7 di ogni anno e calcolate al tasso annuo nominale convertibile semestralmente del 20 % Sulle cedole è applicata una ritenuta fiscale del 20 % In data 15/01/2017 tali titoli vengono rivenduti ad un corso secco di 100, 00 Calcolare: 1 il capitale C effettivamente investito in data 15/5/2015 sapendo che, all atto dell acquisto, sono state sostenute spese fisse pari a 2000 euro; 2 l importo della cedola netta; 3 il capitale netto V ricavato dalla vendita dei titoli Si effettuino i calcoli utilizzando la convenzione dell anno commerciale

17 aa LUGLIO 2017 MODULO II - 4 CFU QUINTO CFU 1 Si dia la definizione di probabilità condizionale di un evento A 2 rispetto ad un evento A 1 2 Un individuo possiede un capitale certo C pari a euro e puó attivare un operazione finanziaria aleatoria che prevede un flusso di cassa incerto X descritto dalla seguente variabile aleatoria: { 0 p 1 = 0, 80 X = 5000 p 2 = 0, 10 k p 3 = 0, 10 con k Considerando che l individuo possiede funzione di utilità u(x) = ln(x + 1), si calcoli per quali valori di k egli preferisce passare da C a C + X SESTO CFU 1 Si definisca la funzione di ripartizione della seguente variabile aleatoria e se ne disegni il grafico: { 0 p1 = 0, 80 X = 50 p 2 = 0, 20 2 Studiare, secondo il criterio media-varianza, le relazioni di preferenza delle seguenti opportunitá aleatorie: X = 0 euro con probabilitá 1 4, 120 euro con probabilitá 3 4 ; Y = 0 euro con probabilitá 1 2, 150 euro con probabilitá 1 2 SETTIMO CFU Sia dato un mercato uniperiodale in cui siano disponibili soltanto due titoli rischiosi A e B caratterizzati da rendimento medio, scarto quadratico medio e coefficiente di correlazione pari ripettivamente a: m A = 1, σ A = 2, m B = 5, σ B = 10, ρ AB = 05 Si supponga che non sia possibile effettuare vendite allo scoperto Con riferimento ad un individuo che vuole investire una percentuale α del proprio capitale nel titolo A ed una percentuale 1 α nel titolo B: 1 rappresentare nel piano media-varianza l insieme dei portafogli ammissibili e la frontiera efficiente; 2 determinare le percentuali da investire nei due titoli per ottenere il portafoglio di minima varianza OTTAVO CFU Si consideri un mercato uniperiodale ed un azione X il cui prezzo al tempo t = 0 é X 0 = 400 euro e al tempo t = 1 é X 1 = X 0u con probabilitá p e X 1 = X 0d con probabilitá 1 p, con d = 1, u = 4 Si supponga che il fattore di capitalizzazione corrispondente ad investimenti privi di rischio sullo stesso mercato sia r = 2 Si consideri un portafoglio A cosí costituito: 5 call sulla medesima azione con scadenza t = 1 e prezzo di esercizio K 1 = 1000 euro; 20 put sulla medesima azione con scadenza t = 1 e prezzo di esercizio K 2 = 1200 euro Si calcoli il prezzo, utilizzando il modello binomiale uniperiodale, al tempo t = 0 di tale portafoglio A

18 aa GIUGNO 2017 NUMERO DI CFU (indicare se diverso da 8 CFU): 1 Dare la definizione di tasso istantaneo di interesse 2 Si investe, al tempo t = 0 la somma di C = euro, al tasso di interesse annuo i = 4% per venti mesi in capitalizzazione semplice Il montante prodotto M 1 viene immediatamente reinvestito al tasso di interesse annuo j = 30% per quaranta mesi in capitalizzazione composta, producendo un montante finale M Calcolare M 1 Si enunci e si dimostri la formula per il calcolo del montante (o valore finale) di una rendita temporanea, posticipata, periodica, costante, unitaria 2 Una persona ha ricevuto in prestito, al tempo t = 0, la somma S = euro da restituire in 3 rate semestrali, al tasso annuo nominale convertibile semestralmente del 20%, mediante ammortamento tedesco Stilare il piano di ammortamento 1 Si illustri il criterio del Tasso Interno di Rendimento (TIR) 2 Un individuo dispone di due opportunitá commerciali, A e B, per le quali investendo la somma C al tempo t = 0 si otterrano le seguenti entrate annue: (a) A 1 = 2x euro al tempo t = 1, A 2 = euro al tempo t = 2 e A 3 = euro al tempo t = 3; (b) B 1 = euro al tempo t = 1, B 2 = euro al tempo t = 2 e B 3 = 8x euro al tempo t = 3 Determinare per quali valori di x > 0 l opportunitá A é preferibile a B in base al criterio del rendimento economico attualizzato (REA) al tasso annuo j = 25% Al tempo t = 0 si osservano sul mercato i prezzi delle seguenti obbligazioni (di valore nominale 100 euro): 80 prezzo a pronti di un obbligazione con scadenza t = 5; 50 prezzo a pronti di un obbligazione con scadenza t = 10; 70 prezzo a termine di un obbligazione con emissione al tempo t = 5 e scadenza t = 10 Dire se, dall osservazione di tali prezzi, si puó dedurre che é violato il principio di assenza di arbitraggio In caso affermativo, costruire una strategia di arbitraggio e determinare il profitto finale, supponendo di potere effettuare vendite allo scoperto per un importo massimo di euro

19 aa GIUGNO 2017 MODULO II - 4 CFU 1 Si dia la definizione di spazio di probabilità QUINTO CFU 2 Un individuo possiede un capitale certo C pari a 1000 euro e puó attivare un operazione finanziaria aleatoria che prevede un flusso di cassa incerto X descritto dalla seguente variabile aleatoria: { 100 p1 = 0, 10 X = 800 p 2 = 0, 80 k p 3 = 0, 10 con k 1000 Considerando che l individuo possiede funzione di utilità u(x) = x 2, si calcoli per quali valori di k egli preferisce passare da C a C + X SESTO CFU 1 Si dia la definizione di funzione di ripartizione di una variabile aleatoria e se ne elenchino le proprietà 2 Studiare, secondo il criterio media-varianza, le relazioni di preferenza delle seguenti opportunitá aleatorie: X = 10 euro con probabilitá 1, 100 euro con probabilitá 3 ; 4 4 Y = 20 euro con probabilitá 1, 80 euro con probabilitá SETTIMO CFU Sia dato un mercato uniperiodale in cui siano disponibili soltanto due titoli rischiosi A e B caratterizzati da rendimento medio, scarto quadratico medio e coefficiente di correlazione pari ripettivamente a: m A = 1, σ A = 2, m B = 5, σ B = 1, ρ AB = 0 Si supponga che non sia possibile effettuare vendite allo scoperto Con riferimento ad un individuo che vuole investire una percentuale α del proprio capitale nel titolo A ed una percentuale 1 α nel titolo B: 1 rappresentare nel piano media-varianza l insieme dei portafogli ammissibili e la frontiera efficiente; 2 determinare le percentuali da investire nei due titoli per ottenere il portafoglio di minima varianza OTTAVO CFU Si consideri un mercato uniperiodale ed un azione X il cui prezzo al tempo t = 0 é X 0 = 400 euro e al tempo t = 1 é X 1 = X 0u con probabilitá p e X 1 = X 0d con probabilitá 1 p, con d = 0, 2, u = 4, 2 Si supponga che il fattore di capitalizzazione corrispondente ad investimenti privi di rischio sullo stesso mercato sia r = 2 Si consideri un portafoglio A cosí costituito: 5 call sulla medesima azione con scadenza t = 1 e prezzo di esercizio K 1 = 200 euro; 20 put sulla medesima azione con scadenza t = 1 e prezzo di esercizio K 2 = 1000 euro Si calcoli il prezzo, utilizzando il modello binomiale uniperiodale, al tempo t = 0 di tale portafoglio A

20 aa GIUGNO 2017 NUMERO DI CFU (indicare se diverso da 8 CFU): 1 Dare la definizione di legge finanziaria scindibile 2 Si investe, al tempo t = 0 la somma di C euro, al tasso di interesse annuo i = 12% per trenta mesi in capitalizzazione composta Il montante prodotto M 1 viene immediatamente reinvestito al tasso di interesse annuo j = 8% per dieci mesi in capitalizzazione semplice, producendo un montante finale M = Calcolare C 1 Si enunci e si dimostri la formula per il calcolo del valore attuale di una rendita temporanea, posticipata, periodica, costante, unitaria 2 Un individuo riceve, al tempo (espresso in quadrimestri) t = 0, in prestito la somma di euro S = da restituire secondo un piano di ammortamento francese con quaranta rate quadrimestrali posticipate, al tasso di interesse annuo del 6% Calcolare la rata R Calcolare il debito residuo dopo aver pagato la ventesima rata 1 Si illustri il criterio del Rendimento Economico Attualizzato (REA) 2 Un individuo riceve al tempo t = 0 un finanziamento di euro da restituire con due rate R 1 = euro al tempo t = 1 e R 2 = euro al tempo t = 2 Inoltre egli deve pagare i seguenti importi: 10z al tempo t = 0 per spese di apertura pratica; z al tempo t = 1 e t = 2 per spese di riscossione rate; 5z al tempo t = 2 per spese di chiusura pratica Sapendo z = 100 euro, calcolare TAEG dell operazione finanziaria Si dia la definizione di durata media finanziaria (duration) di un operazione finanziaria

21 aa GIUGNO 2017 MODULO II - 4 CFU 1 Si illustri il criterio della utilità media attesa QUINTO CFU 2 Si consideri il gioco seguente: si lancia un dado simmetrico con facce numerate da 1 a 6 Se esce un numero pari si vincono 5000 euro Se esce un numero dispari si lancia nuovamente il dado Se esce il numero 4 o il numero 1 si vincono euro altrimenti si vincono 1000 euro In entrambi i casi il gioco termina Calcolare il valore atteso del gioco SESTO CFU 1 Si definisca il criterio della dominanza stocastica 2 Studiare, secondo il criterio media-varianza, le relazioni di preferenza delle seguenti opportunitá aleatorie: X = 0 euro con probabilitá 1, 90 euro con probabilitá 7 ; 8 8 Y = 0 euro con probabilitá 1, 80 euro con probabilitá 1, 110 euro con probabilitá 4 ; SETTIMO CFU Sia dato un mercato uniperiodale in cui siano disponibili soltanto due titoli rischiosi A e B caratterizzati da rendimento medio, scarto quadratico medio e coefficiente di correlazione pari ripettivamente a: m A = 025, σ A = 1, m B = 040, σ B = 2, ρ AB = 1 Si supponga che non sia possibile effettuare vendite allo scoperto Con riferimento ad un individuo che vuole investire una percentuale α del proprio capitale nel titolo A ed una percentuale 1 α nel titolo B: 1 rappresentare nel piano media-varianza l insieme dei portafogli ammissibili e la frontiera efficiente; 2 determinare le percentuali da investire nei due titoli per ottenere il portafoglio di minima varianza OTTAVO CFU Si consideri un azione il cui valore al tempo T é descritto dalla variabile aleatoria X T 4 azioni; 2 call sulla medesima azione con scadenza T e prezzo di esercizio K 1 = 100 euro; 5 put sulla medesima azione con scadenza T e prezzo di esercizio K 2 = 200 euro Si determini il pay-off W T del portafoglio al tempo T al variare di X T e se ne disegni il grafico Dire per quali valori di X T il portafoglio ha valore, al tempo T, pari a 1000 euro e un portafoglio A cosí costituito:

22 aa marzo 2017 NUMERO DI CFU (indicare se diverso da 8 CFU): Si investe, al tempo t = 0 la somma di C = euro, al tasso di interesse annuo i = 12% per venti mesi in capitalizzazione composta Il montante prodotto viene immediatamente reinvestito al tasso di interesse annuo j = 3i per dieci mesi in capitalizzazione semplice, producendo un montante finale M Calcolare M 1 Si enunci e si dimostri la formula per il calcolo del valore attuale di una rendita temporanea, immediata, periodica, posticipata, unitaria 2 Un individuo riceve, al tempo t = 0, in prestito la somma di euro S = da restituire con tre rate quadrimestrali posticipate R 1; R 2; R 3 Sapendo che il tasso di interesse annuo convertibile quadrimestralmente è i = 9% e che : R 1 = 4R 3; R 2 = 2R 3; calcolare l importo delle rate e stilare il piano di ammortamento Un individuo riceve al tempo t = 0 un finanziamento di euro da restituire con due rate R 1 = euro al tempo t = 1 e R 2 = euro al tempo t = 2 Inoltre egli deve pagare i seguenti importi: 10z al tempo t = 0 per spese di apertura pratica; z al tempo t = 1 e t = 2 per spese di riscossione rate; 4z al tempo t = 2 per spese di chiusura pratica Sapendo che il TAEG é pari ai 6 del TAN, calcolare z 5 Al tempo t = 0 si osservano sul mercato i prezzi delle seguenti obbligazioni (di valore nominale 100 euro): 80 prezzo a pronti di un obbligazione con scadenza t = 5; 50 prezzo a pronti di un obbligazione con scadenza t = 10; 90 prezzo a termine di un obbligazione con emissione al tempo t = 5 e scadenza t = 10 Dire se, dall osservazione di tali prezzi, si può dedurre che è violato il principio di assenza di arbitraggio In caso affermativo, costruire una strategia di arbitraggio e determinare il profitto finale, supponendo di potere effettuare vendite allo scoperto per un importo massimo di euro

23 aa marzo 2017 MODULO II - 4 CFU QUINTO CFU Si consideri il gioco seguente: si lanciano due dadi e due monete; se esce un numero pari per entrambi i dadi e due teste si vincono 1600 euro, altrimenti si vincono 16 euro Calcolare il valore atteso e la varianza del gioco Calcolare inoltre l equivalente certo per un agente che ha come funzione di utilitá u(x) = x SESTO CFU 1 Si dia la definizione di funzione di ripartizione di una variabile aleatoria e si elenchino le principali proprietà 2 Studiare, secondo il criterio media-varianza, le relazioni di preferenza delle seguenti opportunitá aleatorie, al variare del parametro q > 0: X = 0 euro con probabilitá 3 8, 120 euro con probabilitá 5 8 ; Y = q > 0 euro con probabilitá 1 6, 90 euro con probabilitá 1 6, 60 euro con probabilitá 4 6 ; SETTIMO CFU Sia dato un mercato uniperiodale in cui siano disponibili soltanto due titoli rischiosi A e B caratterizzati da rendimento medio, scarto quadratico medio e coefficiente di correlazione pari ripettivamente a: m A = 01, σ A = 1, m B = 03, σ B = 2, ρ AB = 0, 5 Si supponga che non sia possibile effettuare vendite allo scoperto Con riferimento ad un individuo che vuole investire una percentuale α del proprio capitale nel titolo A ed una percentuale 1 α nel titolo B: 1 rappresentare nel piano media-varianza l insieme dei portafogli ammissibili e la frontiera efficiente; 2 determinare le percentuali da investire nei due titoli per ottenere il portafoglio di minima varianza OTTAVO CFU 1 Enunciare e dimostrare la formula per il calcolo del prezzo di una call europea nel caso in cui per il prezzo del sottostante si utilizzi un modello binomiale uniperiodale 2 Si consideri un azione il cui valore al tempo T é descritto dalla variabile aleatoria X T e un portafoglio A cosí costituito: 2 call sulla medesima azione con scadenza T e prezzo di esercizio K 1 = 100 euro; 6 put sulla medesima azione con scadenza T e prezzo di esercizio K 2 = 500 euro Si determini il pay-off del portafoglio al tempo T al variare di X T e se ne disegni il grafico Dire per quali valori di X T il portafoglio ha valore minimo

24 aa GENNAIO 2017 NUMERO DI CFU (indicare se diverso da 8 CFU): Si investe, al tempo t = 0 la somma di C = euro, al tasso di interesse annuo i per venti mesi in capitalizzazione semplice Il montante prodotto viene immediatamente reinvestito al tasso di interesse annuo j = 3i per dieci mesi in capitalizzazione semplice, producendo un montante finale M = Calcolare i e j Un individuo riceve, al tempo (espresso in bimestri) t = 0, in prestito la somma di euro S = da restituire secondo un piano di ammortamento francese con cento rate bimestrali posticipate, al tasso di interesse annuo del 10% Calcolare la rata R Dopo aver pagato la cinquantesima rata, il debitore ottiene di poter sospendere il pagamento delle quote capitale delle successive dieci rate e, quindi, negli istanti t = 51,, 60, paga soltanto gli interessi Al tempo t = 60 riprende la restituzione del debito, con le medesime modalità, da concludersi entro il tempo t = 100 Calcolare l importo W delle nuove rate 1 Si dia la definizione di Tasso interno di rendimento di una operazione finanziaria 2 Un individuo riceve al tempo t = 0 un finanziamento di euro da restituire con due rate R 1 = euro al tempo t = 1 e R 2 = euro al tempo t = 2 Inoltre egli deve pagare i seguenti importi: 10z al tempo t = 0 per spese di apertura pratica; z al tempo t = 1 e t = 2 per spese di riscossione rate; 5z al tempo t = 2 per spese di chiusura pratica Sapendo che il TAEG é pari ai 8 del TAN, calcolare z 5 Un individuo prevede una uscita U = euro al tempo T = 6 Sul mercato sono disponibili due titoli obbligazionari senza cedole T 1 e T 2 con scadenza, rispettivamente, ai tempi t 1 = 4 e t 2 = 8 Egli intende costruire un portafoglio composto da titoli di tipo T 1 per un valore nominale di euro a 1 e da titoli di tipo T 2 per un valore nominale di euro a 2 in modo che il medesimo portafoglio risulti immunizzato rispetto alla uscita U Sapendo che il tasso di mercato istantaneo è δ = 0, 15 per tutto l orizzonte temporale di riferimento, calcolare a 1 e a 2

25 aa GENNAIO 2017 MODULO II - 4 CFU 1 Si dia la definizione di σ algebra QUINTO CFU 2 Si consideri il gioco seguente: si lancia una moneta perfettamente simmetrica Se esce Testa si vincono 2000 euro Se esce Croce si lancia un dado simmetrico con facce numerate da 1 a 6 Se esce il numero 3 o il numero 5 si vincono euro altrimenti si vincono zero euro In entrambi i casi il gioco termina Calcolare il valore atteso del gioco SESTO CFU Studiare, secondo il criterio media-varianza, le relazioni di preferenza delle seguenti opportunitá aleatorie, al variare del parametro q > 0: X = 0 euro con probabilitá 1 8, q euro con probabilitá 7 8 ; Y = 0 euro con probabilitá 1 6, 80 euro con probabilitá 1 6, 110 euro con probabilitá 4 6 ; SETTIMO CFU Sia dato un mercato uniperiodale in cui siano disponibili soltanto due titoli rischiosi A e B caratterizzati da rendimento medio, scarto quadratico medio e coefficiente di correlazione pari ripettivamente a: m A = 025, σ A = 5, m B = 040, σ B = 2, ρ AB = 0 Si supponga che non sia possibile effettuare vendite allo scoperto Con riferimento ad un individuo che vuole investire una percentuale α del proprio capitale nel titolo A ed una percentuale 1 α nel titolo B: 1 rappresentare nel piano media-varianza l insieme dei portafogli ammissibili e la frontiera efficiente; 2 determinare le percentuali da investire nei due titoli per ottenere il portafoglio di minima varianza OTTAVO CFU 1 Si dia la definizione di put e call europea e si indichi il loro pay-off alla scadenza 2 Si consideri un azione il cui valore al tempo T é descritto dalla variabile aleatoria X T e un portafoglio A cosí costituito: 5 call sulla medesima azione con scadenza T e prezzo di esercizio K 1 = 200 euro; 5 put sulla medesima azione con scadenza T e prezzo di esercizio K 2 = 100 euro Si determini il pay-off del portafoglio al tempo T al variare di X T e se ne disegni il grafico Dire per quali valori di X T il portafoglio ha valore, al tempo T, pari a 1000 euro

26 aa GENNAIO 2017 NUMERO DI CFU (indicare se diverso da 8 CFU): Si investe, al tempo t = 0 la somma di C = euro, al tasso di interesse annuo i per venti mesi in capitalizzazione semplice Il montante prodotto viene immediatamente reinvestito al tasso di interesse annuo j = 2i per dieci mesi in capitalizzazione semplice, producendo un montante finale M = Calcolare i e j 1 Si dimostri la formula per il calcolo del valore finale di una rendita unitaria, temporanea, posticipata, periodica 2 Una persona ha ricevuto in prestito, al tempo t = 0, la somma S = euro da restituire in 3 rate annuali, al tasso annuo del 12%, mediante ammortamento tedesco Stilare il piano di ammortamento Un individuo riceve al tempo t = 0 un finanziamento di euro da restituire con due rate R 1 al tempo t = 1 e R 2 = 2R 1 al tempo t = 2 Inoltre egli deve pagare i seguenti importi: 500 euro al tempo t = 0 per spese di apertura pratica; 200 euro al tempo t = 1 e t = 2 per spese di riscossione rate Inoltre, al tempo t = 2 egli deve pagare l importo di 300 euro per spese di chiusura pratica Sapendo che il TAEG è del 20%, calcolare R 1, R 2 e il TAN dell operazione finanziaria Al tempo t = 0 si osservano sul mercato i prezzi delle seguenti obbligazioni (di valore nominale 100 euro): 80 prezzo a pronti di un obbligazione con scadenza t = 5; 50 prezzo a pronti di un obbligazione con scadenza t = 10; 70 prezzo a termine di un obbligazione con emissione al tempo t = 5 e scadenza t = 10 Dire se, dall osservazione di tali prezzi, si puó dedurre che é violato il principio di assenza di arbitraggio In caso affermativo, costruire una strategia di arbitraggio e determinare il profitto finale, supponendo di potere effettuare vendite allo scoperto per un importo massimo di euro

27 aa GENNAIO 2017 MODULO II - 4 CFU QUINTO CFU 1 Calcolare il valore atteso, l utilitá attesa e l equivalente certo della variabile aletoria che ha per determinazioni i valori 640, 320 e 800 euro con probabilitá 1 8, 2 8 e 5 8 rispettivamente, sapendo che la funzione di utilitá é u(x) = x 2 Si consideri il gioco seguente: si lancia un dado simmetrico con facce numerate da 1 a 6 Se esce un numero pari si vincono 1000 euro e il gioco termina, se esce un numero dispari si ripete il lancio Al secondo lancio se esce il numero due si vincono 2000 euro, altrimenti si vincono zero euro In entrambi i casi il gioco termina Calcolare il valore atteso del gioco SESTO CFU 1 Si definisca il crieterio della dominanza stocastica del primo ordine 2 Si considerino le variabili aleatorie X = { 4 p1 = 0, 4 9 p 2 = 0, 6 Y = { 5 q2 = 0, 1 7 q 3 = 0, 9 Dire se é possibile confrontare le due variabili aleatorie X e Y secondo il criterio della dominanza stocastica del primo ordine e, nel caso affermativo, dire quella preferibile SETTIMO CFU Sia dato un mercato uniperiodale in cui siano disponibili soltanto due titoli rischiosi A e B caratterizzati da scarto quadratico medio e coefficiente di correlazione pari rispettivamente a: σ A = 2, σ B = σ > 2, ρ AB = 0 Si supponga che non sia possibile effettuare vendite allo scoperto Con riferimento ad un individuo che vuole investire una percentuale α del proprio capitale C nel titolo A ed una percentuale 1 α nel titolo B dire per quale valore di σ si ottiene il portafoglio di minima varianza investendo 7 10 C nel titolo A e 3 10 C nel titolo B OTTAVO CFU 1 Si dia la definizione di put e call europea e si indichi il loro pay-off alla scadenza 2 Si consideri un mercato uniperiodale ed un azione X il cui prezzo al tempo t = 0 é X 0 = 100 e al tempo t = 1 é X 1 = X 0u con probabilitá p e X 1 = X 0d con probabilitá 1 p, con d = 0, 5, u = 4, 5 Si supponga che il fattore di capitalizzazione corrispondente ad investimenti privi di rischio sullo stesso mercato sia r = 1, 5 Si consideri un portafoglio A cosí costituito: 2 call sulla medesima azione con scadenza t = 1 e prezzo di esercizio K 1 = 300 euro; 4 put sulla medesima azione con scadenza t = 1 e prezzo di esercizio K 2 = 80 euro Si calcoli il prezzo, utilizzando il modello binomiale uniperiodale, al tempo t = 0 di tale portafoglio A

28 aa Dicembre 2016 NUMERO DI CFU (indicare se diverso da 8 CFU): Si investe, al tempo t = 0 la somma di C = euro, al tasso di interesse annuo i per quaranta mesi in capitalizzazione semplice Il montante prodotto viene immediatamente reinvestito al tasso di interesse annuo j = 2i per venti mesi in capitalizzazione semplice, producendo un montante finale M = Calcolare i e j 1 Si dimostri la formula per il calcolo del valore attuale di una rendita unitaria, temporanea, posticipata, periodica 2 Una persona ha ricevuto in prestito, al tempo t = 0, la somma S = euro da restituire in 3 rate annuali, al tasso annuo del 5%, mediante ammortamento tedesco Stilare il piano di ammortamento Un individuo riceve al tempo t = 0 un finanziamento di euro da restituire con due rate R 1 al tempo t = 1 e R 2 = 5R 1 al tempo t = 2 Inoltre egli deve pagare i seguenti importi: 300 euro al tempo t = 0 per spese di apertura pratica; 150 euro al tempo t = 1 e t = 2 per spese di riscossione rate Inoltre, al tempo t = 2 egli deve pagare l importo di 200 euro per spese di chiusura pratica Sapendo che il TAN è del 20%, calcolare R 1, R 2 e il TAEG dell operazione finanziaria Un individuo prevede una uscita U = 100 euro al tempo T = 2 Sul mercato sono disponibili due titoli obbligazionari senza cedole T 1 e T 2 con scadenza, rispettivamente, ai tempi t 1 = 1 e t 2 = 3 Egli intende costruire un portafoglio composto da titoli di tipo T 1 per un valore nominale di euro a 1 e da titoli di tipo T 2 per un valore nominale di euro a 2 in modo che il medesimo portafoglio risulti immunizzato rispetto alla uscita U Sapendo che il tasso di mercato istantaneo è δ = 0, 1 per tutto l orizzonte temporale di riferimento, calcolare a 1 e a 2