Indice della lezione. Incertezza e rischio: sinonimi? UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PARMA FACOLTA DI ECONOMIA

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1 UNIVERSIT DEGLI STUDI DI PRM FCOLT DI ECONOMI Corso di Corporate anking a.a (Professor Eugenio Pavarani) Introduzione al rischio CPITOLO 9 1 Indice della lezione Rischio e rendimento per titoli singoli La Teoria di Portafoglio di Markowitz 2 Incertezza e rischio: sinonimi? Le imprese assumono decisioni senza conoscere i risultati delle loro azioni (dipendono da circostanze future non note) Le imprese operano in regime di incertezza Si parla di incertezza e di rischio: non sono sinonimi L incertezza qualifica fenomeni cui non è possibile attribuire probabilità di accadimento in diversi scenari futuri 3

2 Incertezza e rischio: sinonimi? Il rischio fa invece riferimento al concetto di volatilità. Si attribuisce una distribuzione di probabilità ai risultati possibili e si misura la distanza media rispetto ad un valore medio atteso Questa ipotesi di lavoro consente l adozione di strumenti matematici e statistici per la descrizione della realtà e riconduce il problema delle scelte ad un quadro di razionalità I modelli di analisi degli investimenti finanziari e la Teoria di Portafoglio costituiscono la base teorica per implementare un processo razionale di scelte aziendali in contesto di incertezza interpretata in chiave di rischio 4 Le Ipotesi della Capital Market Theory 1. gli investitori sono razionali e avversialrischio 2. valutano le alternative basandosi sul rendimento atteso (media ponderata dei possibili risultati futuri avendo assegnato ad ognuno una probabilità) e sul rischio (volatilità dei risultati previsti intorno al valore atteso) basandosi sull osservazione del passato 3. tutti gli investitori hanno attese omogenee: stimano nel medesimo modo la distribuzione di probabilità dei tassi di rendimento futuri 4. Gli investitori hanno lo stesso orizzonte temporale per la valutazione 5 Le Ipotesi della Capital Market Theory 5. gli investimenti sono infinitamente divisibili 6. non esistono costi di negoziazione e imposte 7. non vi è inflazione e qualsiasi variazione dei tassi di interesse è anticipata nei prezzi 8. i mercati dei capitali sono in equilibrio 6

3 Il rendimento di un titolo azionario sulla base di dati storici R(t) = Prezzo (t) Prezzo (t-1) + Dividendi (t-1, t) Prezzo (t-1) L orizzonte temporale oggetto di analisi può essere giornaliero, settimanale, mensile, semestrale, annuale, pluriennale Esempio: p(t) = 100 ; p(t-1) = 90; div(t-1, t) = R(t) = = 17,77% 90 7 Il rendimento di un titolo azionario sulla base di una distribuzione di probabilità E possibile acquistare il titolo Gamma al prezzo di 3 euro. Ipotizzando i seguenti 4 possibili scenari futuri calcolate il rendimento atteso. SCENRIO C D PREZZO FUTURO 4 3,5 2,5 2 DIVIDENDO 0,12 0,10 0,05 0 RENDIMENTO PROILIT 30% 20% 15% 35% Il rendimento di un titolo azionario sulla base di una distribuzione di probabilità E possibile acquistare il titolo Gamma al prezzo di 3 euro. Ipotizzando i seguenti 4 possibili scenari futuri calcolate il rendimento atteso. SCENRIO C D PREZZO FUTURO 4 3,5 2,5 2 DIVIDENDO 0,12 0,10 0,05 0 RENDIMENTO 37% 20% -15% -33% PROILIT 30% 20% 15% 35% R atteso = 0,37 * 0,30 + 0,20 * 0,20 + (- 0,15 * 0,15) + (- 0,33 * 0,35) = 1,3%

4 Il rischio di un titolo azionario viene misurato in termini di volatilità, attraverso un indicatore denominato scarto quadratico medio (SQM) Rendimento medio Rendimento t-esimo Scarto rendimenti giornalieri Lo SQM misura lo scarto medio rispetto alla media dei rendimenti 10 Il rendimento medio di un titolo azionario Maggiori sono gli scarti rispetto al rendimento medio, maggiore è il rischio di un titolo: si ha una maggiore volatilità dei rendimenti Esempio: il titolo ha registrato negli ultimi 5 giorni i seguenti rendimenti giornalieri +4% -10% +8% +5% +2% Rendimento medio giornaliero: 1,8% (+4%-10%+8%+5%+2%) / 5 = 1,8% come si misura il rischio? 11 Il calcolo dello scarto quadratico medio Rendimento Rendimento medio Scarto Scarto^2 Varianza^(1/2) 4% 1,80% 2,20% 0,04840% -10% 1,80% -11,80% 1,39240% 8% 1,80% 6,20% 0,38440% 5% 1,80% 3,20% 0,10240% 2% 1,80% 0,20% 0,00040% Rendimento medio Scarto medio = Varianza = SQM 1,80% 0,00% 0,38560% 6,210% La varianza è pari alla media degli scarti elevati al quadrato ( 2 ) Lo scarto quadratico medio è la radice quadrata della varianza () Il titolo ha avuto un rendimento giornaliero medio pari all 1,8% e uno scarto quadratico medio pari al 6,21% 12

5 Il rendimento di un titolo azionario sulla base di una distribuzione di probabilità E possibile acquistare il titolo Gamma al prezzo di 3 euro. Ipotizzando i seguenti 4 possibili scenari futuri calcolate il rendimento atteso. Calcolate ora la varianza e lo scarto quadratico medio SCENRIO C D PREZZO FUTURO 4 3,5 2,5 2 DIVIDENDO 0,12 0,10 0,05 0 RENDIMENTO 37% 20% -15% -33% PROILIT 30% 20% 15% 35% R atteso = 0,37 * 0,30 + 0,20 * 0,20 + (- 0,15 * 0,15) + (- 0,33 * 0,35) = 1,3% Varianza = (0,37-0,013) 2 * 0,3 + (0,2-0,013) 2 * 0,2 + (-0,15-0,013) 2 * 0,15 + (-0,33-0,013) 2 * 0,35 = 0,089 Sqm = 29,9% Il criterio di scelta dei titoli Gli investitori razionali scelgono gli investimenti considerando il rendimento atteso e la volatilità E(R) Il titolo è preferibile rispetto a poiché, a parità di rendimento atteso, è caratterizzato da minor rischio 14 Il criterio di scelta dei titoli E(R) Il titolo C è preferibile rispetto a D poiché a parità di rischio, è caratterizzato da maggior rendimento atteso C D 15

6 Il criterio di scelta dei titoli Non è possibile fare E(R) una scelta tra e poiché il primo, a fronte di un minor rendimento atteso, è caratterizzato da minor rischio La scelta deriva dal soggettivo grado di avversione al rischio 16 Le curve di indifferenza Esprimono l utilità che un soggetto ottiene realizzando un investimento finanziario La curva identifica diverse combinazioni rischio-rendimento E (R) Nella singola curva, l utilità derivante dalle diverse combinazioni rischio-rendimento è la medesima (è indifferente assumere una combinazione piuttosto che un altra lungo la curva) 17 Le curve di indifferenza Esprimono l utilità che un soggetto ottiene realizzando un investimento finanziario La curva identifica diverse combinazioni rischio-rendimento E (R) parità di rischio o a parità di rendimento la scelta ricade su titoli che giacciono sulla curva più alta 18

7 Le curve di indifferenza COME SCEGLIERE TR e? L investitore sceglie la combinazione di rischio-rendimento che consente la maggior utilità E (R) Le curve più in alto sono quelle caratterizzate da maggiore utilità per l investitore 19 Le curve di indifferenza Più la curva è inclinata, maggiore E (R) è l avversione al rischio, perché l investitore, per assumere un unità addizionale di rischio, vuole un elevato incremento di rendimento atteso L investitore X sceglie il titolo (caratterizzato da basso rendimento e basso rischio) e non perché gli consente di ottenere una maggiore utilità X 20 Le curve di indifferenza Se la curva è piatta l investitore è poco avverso al rischio L investitore per ottenere un unità addizionale di rendimento atteso èdisposto ad accettare un elevato incremento del rischio E (R) Y La combinazione rischio-rendimento che massimizza l utilità per Y è, perché gli consente di raggiungere la curva di indifferenza più elevata, e quindi, maggior utilità. 21

8 Indice della lezione Rischio e rendimento per titoli singoli La Teoria di Portafoglio di Markowitz 22 La costruzione di un portafoglio di titoli L investimento dell intera ricchezza in un singolo titolo è un comportamento non razionale perché assoggetta la ricchezza investita ad un rischio elevato (lo si può intuire) Dall approccio intuitivo all approccio razionale: La teoria di portafoglio indica come si possono costruire portafogli composti da più titoli per ottenere combinazioni rischio-rendimento più convenienti rispetto all investimento in singoli titoli Si pone il problema di calcolare il rischio e il rendimento atteso di un portafoglio di titoli 23 Il rendimento atteso di un portafoglio Il rendimento atteso E[R(p)] di un portafoglio formato dai titoli e (con pesi a e b) è pari alla media ponderata dei rendimenti dei due titoli E(R p ) = a E(R ) + b E(R ) Il portafoglio P è formato dai titoli e assunti con percentuali rispettivamente pari ad (a + b) = 100% Esempio: a = 40% b= 60% E(R ) = 5 % E(R ) = 7% E[R(p)] = 40% * 5% + 60% * 7% = 6,2% 24

9 Il rischio di un portafoglio Il rischio del portafoglio (p), formato dai titoli e (con pesi a e b) è misurato dalla varianza ² p e dallo SQM p ² p = a² ² + b² ² + 2 a b ρ ² : varianza rendimenti del titolo ² : varianza rendimenti del titolo : sqm rendimenti titolo : sqm rendimenti del titolo ρ : covarianza tra i rendimenti ρ : coefficiente di correlazione tra i rendimenti 25 Il rischio di un portafoglio Il rischio del portafoglio (p), formato dai titoli e (con pesi a e b) è dato dalla varianza ² p covarianza ² p = a² ² +b² ² +2 a b ρ coeffic.te di correlazione la covarianza tra i rendimenti di e di ( ) è data da: cov = N (xj Mx) (yj My) J=1 N cov = ρ il coefficiente di correlazione tra i rendimenti di e di è dato da: ρ = cov / ρ assume valori compresi tra +1 e Il titolo ha registrato negli ultimi 5 giorni i seguenti rendimenti giornalieri (oppure avrà i seguenti valori attesi secondo una distribuzione di probabilità) +4% -10% +8% +5% +2% Rendimento medio giornaliero: 1,8% (+4%-10%+8%+5%+2%) / 5 = 1,8% Il titolo ha registrato negli ultimi 5 giorni i seguenti rendimenti giornalieri (oppure avrà i seguenti valori attesi secondo una distribuzione di probabilità) -2% +12% -6% -3% +0% Rendimento medio giornaliero: 0,2% (-2%+12%-6%-3%+0%) / 5 = 0,2% Costruiamo il portafoglio con 50% di e 50% di 27

10 Radice quadrata della varianza Somma degli scarti al quadrato diviso n gg titolo (j M) titolo portaf. (j M) (j M) (j M) 2 (j M) 2 (j M) 1 4% 2% 1% 2,2% 2,2% 0,0484% 0,0484% 0,0484% 2 10% 12% 1% 11,8% 11,8% 1,3924% 1,3924% 1,3924% 3 8% 6% 1% 6,2% 6,2% 0,3844% 0,3844% 0,3844% 4 5% 3% 1% 3,2% 3,2% 0,1024% 0,1024% 0,1024% 5 2% 0% 1% 0,2% 0,2% 0,0004% 0,0004% 0,0004% rend. medio 1,8% 0,2% 1,0% varianza 0,3856% 0,3856% Somma dei sqm 6,2097% 6,2097% prodotti degli 0,3856% covarianza scarti diviso n 0,3856% sqm * sqm peso di peso di 1 ρ Covarianza portafoglio 0,5 0,5 0,0000% varianza portaf. diviso il prodotto degli sqm 0,0000% sqm portaf. 1,0% rend. portaf. il portafoglio ha rischio nullo e rendimento 1% 28 Perché il portafoglio ha rischio zero? Rendimento giornaliero = 1% Scostamenti giornalieri dalla media = 0 29 Come si combinano in un portafoglio i rischi di 2 titoli e? dipende dai pesi e dal valore delle covarianze Quanto rischio c è nel portafoglio? Dipende da quanto mettiamo di e quanto di (pesi) PORTFOGLIO Dipende dale covarianze tra le combinazioni

11 Come si combinano in un portafoglio i rischi di 2 titoli e? dipende dai pesi e dal valore delle covarianze Quanto rischio c è nel portafoglio? Dipende da quanto mettiamo di e quanto di (pesi) PORTFOGLIO COV COV COV COV Dipende dalle covarianze tra le combinazioni Il rischio del portafoglio è dato dalla somma delle quattro caselle Come si combinano in un portafoglio i rischi di 2 titoli? dipende dai pesi e dal valore delle covarianze covarianza a a ρ a b ρ a b ρ b b ρ coefficiente di correlazione = cov / ² p = a² ² + b² ² + 2 a b ρ assume valori compresi tra 1 e Il rischio di un portafoglio Il rischio del portafoglio (p), formato dai titoli e (con pesi a e b) è dato dalla varianza ² p ² p = a² ² +b² ² +2 a b ρ Il rendimento di un portafoglio è sempre pari alla media ponderata dei rendimenti dei singoli titoli Solo in un caso particolare lo SQM di un portafoglio è pari alla media ponderata degli SQM dei singoli titoli Ciò si verifica quando il coefficiente di correlazione è uguale ad 1 33

12 Il coefficiente di correlazione Il coefficiente di correlazione esprime il grado in cui due titoli si muovono congiuntamente Esprime valori compresi tra -1 e 1 Il coefficiente di correlazione è pari ad 1 quando se un titolo aumenta, anche l altro titolo aumenta Il coefficiente di correlazione è pari a -1 quando se un titolo aumenta l altro diminuisce Il coefficiente di correlazione è pari a zero quando i due titoli non hanno nessun legame (ad aumenti dell uno possono corrispondere sia incrementi, sia decrementi dell altro) 34 La covarianza ² p = a² ² +b² ² +2 a b ρ Dipende dal coefficiente di correlazione e dalle volatilità dei due titoli E la componente di volatilità del portafoglio dovuta al movimento congiunto dei due titoli Se il coefficiente di correlazione è pari ad uno: ² p = a² ² +b² ² +2 a b 1 = (a +b ) 2 p = a +b allora lo SQM è pari alla media ponderata delle rispettive volatilità 35 La covarianza ² p = a² ² +b² ² +2 a b ρ Dipende dal coefficiente di correlazione e dalle volatilità dei due titoli E la componente di volatilità del portafoglio dovuta al movimento congiunto dei due titoli Se il coefficiente di correlazione è inferiore ad uno: ² p = a² ² +b² ² +2 a b ρ es. = 0 es. = -1 il terzo addendo assume valore zero il terzo addendo assume valore negativo allora lo SQM è inferiore alla media ponderata delle rispettive volatilità 36