Il Capital Asset Pricing Model e lo Arbitrage Pricing Theory

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1 Il Capital Asset Pricing Model e lo Arbitrage Pricing Theory Pierpaolo Montana Università di Roma I Il Capital Asset Pricing Model può essere visto come una evoluzione del modello media-varianza di scelta di portafoglio. Tuttavia, come indica lo stesso nome, diventa un modello di valutazione delle attivitá, più che di allocazione della ricchezza tra diversi assets. Le ipotesi 1. Le preferenze degli agenti dipendono unicamente dal rendimento atteso e dalla varianza dei rendimenti; 2. Tutti gli agenti hanno lo stesso orizzonte di investimento; 3. Tutti gli agenti hanno le stesse aspettative relativamente ai rendimenti attesi e alle varianza-covarianze dei titoli; 4. C é possibilitá di vendita allo scoperto su tutti i titoli rischiosi; 5. C é la possibilitá di prestare e di indebitarsi ad un unico tasso senza rischio; 6. Non ci sono costi di transazione; 7. Non ci sono tasse sul reddito individuale; 8. Tutti gli assets sono infinitamente divisibili; 9. Tutti gli agenti sono price-takers; 10. Tutti gli assets sono scambiabili sul mercato; 11. Il mercato finanziario è in equilibrio; httcp:\\web.tiscalinet.it\pierpaolomontana 1

2 L ipotesi 1 è la base del modello media-varianza. Le ipotesi 2 e 3 sono relative alla cosidetta omogeneitá delle aspettative Le ipotesi 4 e 5 sono relative allapossibilitá di acquistare una qualsiasi quantitá di ciascun titolo, sia di quelli rischiosi che di quello non rischioso. In particolare si assume che il tasso senza rischio sia unico, per tutti i contraenti e che sia lo stesso sie per i debitori che per i creditori. Le ipotesi 6 9 possono essere riassunte dicendo che si assume un modello di mercati finanziari perfetti. L ipotesi 10 stabilisce che ogni bene possa essere scambiato sul mercato, ovvero che i mercati siano completi. L ipotesi 11 è una ipotesi standard in (quasi) tutti i modelli economici. Applichiamo ora l analisi media-varianza con questo insieme di ipotesi più restrittivo. In particolare le ipotesi aggiuntive di cui dobbiamo studiare gli effetti sono quella di omogeneitá delle aspettative (ipotesi 2 3) e quella di equilibrio dei mercati (ipotesi 11). Nella analisi media-varianza in presenza di un titolo non-rischioso (ipotesi 5) abbiamo visto che il processo di determinazione della frontiera efficiente, una volta dato il tasso senza rischio R f, è risolto individuando il portafoglio tangente. Il portafoglio tangente dipende dall insieme dei portafogli ammissibili, ovvero dalle valutazioni che un agente dá dei rendimenti attesi e della matrice varianze-covarianze. Il valore del tasso senza rischio, che permette di individuare il punto (0, R f ) origine della frontiera efficiente, è un valore oggettivo e uguale per tutti gli individui. Il portafoglio tangente, rappresentato dal punto (σ T, R T ), è invece dipendente dalle aspettative degli agenti, e quindi nel modello media-varianza cambia per ogni agente. Nel CAPM, introducendo l ipotesi di omogeneitá della aspettative, la frontiera efficiente è comune a tutti gli agenti e quindi anche il portafoglio efficiente risulta essere lo stesso per tutti gli agenti. Conseguentemente la frontiera efficiente è la stessa per tutti gli agenti. Prendiamo in considerazione ora l ipotesi di equilibrio del mercato dei capitali. Il portafoglio tangente fornisce le proporzioni di titoli rischiosi desiderate da ogni agente. Siano queste (λ T i ). Se indichiamo con W l la ricchezza dell agente l, la quantitá del titolo rischioso i domandata dall agente l á data da 2

3 D l i = W l λ T i La quantitá domandata dal mercato, ovvero da tutti gli agenti, del titolo i è data da ovvero, indicando con W = L l=1 W l la ricchezza complessiva del mercato, L Di l = l=1 L W l λ T i l=1 L Di l = λ T i l=1 L W l = λ T i W l=1 La precedente relazione afferma dunque che la proporzione del titolo i nella domanda complessiva del mercato è data dalla componente λ T i del portafoglio tangente T. Ma poiché il mercato è in equilibrio, la domanda deve essere pari all offerta. La offerta del titolo i è pari alla quantitá del titolo presente sul mercato. Quindi la proporzione λ T i deve essere pari al peso del titolo i sul complesso dei titoli presenti nel mercato. Il ragionamento sopra svolto mostra che il portafoglio tangente é in realtá il portafoglio formato da tutti i titoli presenti sul mercato. Indichiamo con M il portafoglio di mercato e con R M il suo rendimento, di media R M e varianza σm 2 La fontiera efficiente è allora individuata dal rendimento atteso e dalla rischiositá del portafoglio complessivo di mercato. Applicando una relazione giá nota, possiamo scrivere la equazione della frontiera efficiente nelle ipotesi sopra descritte: R e = R f + R M R f σ e σ M La precedente equazione prende il nome di Capital Market Line (Retta del mercato dei capitali), dove la denominazione deriva dal fatto che l equazione descrive tutte le combinazioni rischio-rendimento efficienti possibili sul mercato dei capitali. Secondo questa equazione, un obiettivo di rendimento R e é determinato da un prezzo del differimento temporale R f e da un prezzo del rischio dato dal prodotto del prezzo unitario del rischio R M R f σ M per la quantitá di rischio σ e. Ovvero 3

4 (Rendimento atteso) = (prezzo del tempo)+ (prezzo del rischio) (quantitá di rischio) Questa equazione (Capital Market Line) fornisce la relazione tra rendimento atteso e rischio per un portafoglio efficiente, e non é valida per portafogli non efficienti o per i singoli assets. La conclusione del modello a indice singolo rilevante per il CAPM é che la misura di rischio rilevante per un portafoglio ben diversificato è data dal β del portafoglio. Poiché abbiamo visto che ogni agente detiene un portafolgio la cui composizione riscpecchia esattamente il portafoglio di mercato, il portafoglio di ogni agente è molto diversificato. Possiamo quindi assumere che la misura rilevante di rischio è il beta e svolgiamo quindi l analisi nel piano beta-rendimento atteso. Mostriamo ora, con un esempio, che la relazione tra rischio (misurato dal beta) e rendimento di un qualunque 1 portafoglio sul mercato, è lineare. Consideriamo due portafogli A e B, non necessariamente efficienti, con le caratteristiche seguenti PTF Rendimento atteso β A 10 1,0 B 12 1,4 e consideriamo delle possibili combinazioni dei due portafogli (λ, 1 λ). Per λ = 1 il rendimento atteso si ottiene per combinazione lineare ed è 2 dato da = Diversamente che nel caso del rischio misurato dalla deviazione standard, la misura di rischio beta è anchéssa ottenuta come combianzione lineare delle misure di rischio dei singoli portafogli componenti. Per λ = 1 il beta è dato dunque da 1 1, , 4 = 1, Chiediamoci ora se è possibile che sul mercato esista un portafoglio con un rendimento del 13% e un beta pari a 1, 2. Chiaramente no, altrimenti si avrebbe una opportunitá di arbitraggio. Il semplice ragionamento sopra svolto mostra che tutte le combinazioni rischio-rendimento presenti sul mercato giacciono su una retta. R i = a + b β i É noto che per individuare una retta sono sufficienti due punti, ovvero in questo caso due combinazioni rischio-rendimento presenti sul mercato. 1 La Capital Market Line stabilisce che tale relazione è lineare solo per i portafogli efficienti 4

5 Prendiamo allora in considerazione il portafoglio formato dal titolo non rischioso (0, R f ) e il portafoglio di mercato (E(R M ), 1) 2. Se la relazione rischio-rendimento di questi portafogli deve stare sulla stessa retta, deve essere verificato il sistema: R f = a + b 0 R M = a + b 1 da cui si ricavano i valori di a = R f e b = R M R f e infine l espressione R i = R f + (E(R M ) R f ) β i La precedente equazione è la equazione del CAPM, detta anche Security Market Line. A differenza della Capital Market Line, la Security Market Line esprime una relazione lineare tra rendimento e rischio valida anche per portafogli non efficienti e quindi, in particolare, per i singoli titoli. Da una equazione che serve a identificare le possibili allocazioni efficienti della ricchezza, siamo passati a una equazione che dá il rendimento di equilibrio di un qualsiasi titolo presente sul mercato. Da una soluzione del problema di allocazione della ricchezza, siamo passati ad una soluzione del problema della valutazione di una attivitá rischiosa. Ricordando la formula del coefficiente di regressione β = σ im e sostituendola nella SML, si ottengono altri due modi di presentare la stessa σm 2 equazione: e R i = R f + ( RM R f σ M R i = R f + ( RM R f σ 2 M ) σ im σ M ) σ im Arbitrage Pricing Theory Il modello dello Arbitrage Pricing Theory può essere visto come una estensione del CAPM, in cui vengono rilassate alcune ipotesi e rese più stringenti altre. L ipotesi fondamentale dell APT è che i rendimenti di ciascun titolo siano una funzione affine di un insieme di fattori esplicativi 2 Il beta del portafoglio di mercato è ovviamente 1 5

6 R i = a i + b i1 I 1 + b i2 I b ij I J + e i dove I 1, I 2,..., I j,..., I J è l insieme di J fattori da cui è supposto dipendere il rendimento dei titoli. I parametri b i1, b i2,..., b ij rappresentano la sensibilitá del titolo i rispetto ai singoli fattori di rischio. Il parametro a i rappresenta l intercetta della equazione di regressione ed è il valore che assumerebbe in media il rendimento del titolo i se i valori degli indici dei fattori esplicativi fossero tutti pari a 0. e i è l errore dell equazione di regressione. Come nel modello dell indice singolo, si hanno delle ipotesi sui termini e i 1. E(e i ) = 0 2. E(e 2 i ) = σ 2 e i 3. E(e i, e j ) = 0 4. E[e i (I j Īj)] = 0 Illustriamo la derivazione del modello APT nel caso di due soli fattori, quindi J = 2, con un esempio. La relazione di partenza è quindi R i = a i + b i1 I 1 + b i2 I 2 + e i Un portafoglio non è più individuato da un punto nel piano (σ, µ), ma da un punto nello spazio (b 1, b 2, R). Il rischio ora non è più misurato da un solo parametro σ, ma da una coppia di parametri (b 1, b 2 ) che misurano rispettivamente la sensitivitá rispetto al primo e al secondo fattore. Consideriamo ora tre portafogli presenti nel mercato PTF Rendimento atteso b i1 b i2 A 15 1,0 0,6 B 14 0,5 1,0 C 10 0,3 0,2 Supponiamo ora l esistenza di una relazione affine tra il rendimento atteso e i due fattori di rischio, ovvero R i = γ 0 + γ 1 b i1 + γ 2 b i2 6

7 I tre portafogli di cui sopra sono state riportate i profili rischio-rendimento, sono sufficienti a individuare i parametri γ 0, γ 1, γ 2 dell equazione, nel caso specifico R i = 7, b i1 + 3, 75b i2 Formiamo ora dei portafogli come combinazioni dei portafogli A, B, C. Il rendimento atteso e le misure di rischio di un portafoglio formato come combinazione di altri portafogli sono combinazioni lineari dei rendimenti attesi e delle misure di rischio dei portafogli componenti: Prendiamo ad esempio λ 1 = λ 2 = λ 3 = 1 3 da cui R P = 1 3 R A R B R C b P 1 = 1 3 b A b B b C1 b P 2 = 1 3 b A b B b C2 da cui si ricava R P = 13 b P 1 = 0, 6 b P 2 = 0, 6 R P = b P 1 = b P 2 = N λ i X i Ri i=1 N λ i X i b i1 i=1 N λ i X i b i2 i=1 Il profilo rischio-rendimento di questo portafoglio è dato da (13, 0.6, 0.6) Poniamo di nuovo la stessa domanda (retorica): E possibile che sul mercato si trovi un portafoglio con profilo rischiorendimento (15, 0.6, 0.6)? Ovviamente la risposta è ancora una volta no, altrimenti avremmo una possibilitá di arbitraggio. Ne consegue che tutti i portafogli presenti sul mercato giacciono su uno stesso iperpiano, di equazione generica 7

8 R i = γ 0 + γ 1 b i1 + γ 2 b i2 La precedente è l equazione di equilibrio del modello APT a due fattori, e può essere risolta se la si mette a sistema sui valori di tre portafogli presenti nel mercato. Il significato del valore γ 0 si può meglio interpretare scrivendo l equazione per il portafoglio senza rischio: R f = γ 0 + γ γ 2 0 da cui γ 0 = R f Il significato dei valori γ 1, γ 2 si può invece comprendere scrivendo l equazione per il portafoglio P 1 con b i1 = 1 e b i2 = 0 e per il portafoglio P 2 con b i1 = 0 e b i2 = 1. R P1 = R f + γ γ 2 0 da cui R P2 = R f + γ γ 2 1 γ 1 = R P1 R f γ 2 = R P2 R f 8