Indice della lezione

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1 UNIVERSIT DEGLI STUDI DI PRM FCOLT DI ECONOMI Corso di Corporate anking and Finance a.a (Professor Eugenio Pavarani) Introduzione al rischio PF CPITOLO 9 1 Indice della lezione Rischio e rendimento per titoli singoli La Teoria di Portafoglio di Markowitz 2 1

2 Incertezza e rischio: sinonimi? Le imprese assumono decisioni senza conoscere i risultati delle loro azioni (dipendono da circostanze future non note) Le imprese operano in regime di incertezza Si parla di incertezza e di rischio: non sono sinonimi L incertezza qualifica fenomeni cui non è possibile attribuire probabilità di accadimento in diversi scenari futuri 3 Incertezza e rischio: sinonimi? Il rischio fa invece riferimento ai concetti di volatilità e di probabilità. Si attribuisce una distribuzione di probabilità ai risultati possibili e si misura la distanza media rispetto ad un valore medio atteso. Si conta sulla ripetizione in futuro di quanto accaduto in passato Questa ipotesi di lavoro consente l adozione di strumenti matematici e statistici per la descrizione della realtà e riconduce il problema delle scelte ad un quadro di razionalità I modelli di analisi degli investimenti finanziari e la Teoria di Portafoglio costituiscono la base teorica per implementare un processo razionale di scelte aziendali in contesto di incertezza interpretata in chiave di rischio 4 2

3 Le Ipotesi della Capital Market Theory 1. gli investitori sono razionali e avversi al rischio 2. valutano le alternative basandosi sul rendimento atteso (media ponderata dei possibili risultati futuri avendo assegnato ad ognuno una probabilità) e sul rischio (volatilità dei risultati previsti intorno al valore atteso) basandosi sull osservazione del passato 3. tutti gli investitori hanno attese omogenee: stimano nel medesimo modo la distribuzione di probabilità dei tassi di rendimento futuri 4. gli investitori hanno lo stesso orizzonte temporale per la valutazione 5 Le Ipotesi della Capital Market Theory 5. gli investimenti sono infinitamente divisibili 6. non esistono costi di negoziazione e imposte 7. non vi è inflazione e qualsiasi variazione dei tassi di interesse è anticipata nei prezzi 8. i mercati dei capitali sono in equilibrio 6 3

4 Il rendimento di un titolo azionario sulla base di dati storici R(t) = Prezzo (t) Prezzo (t-1) + Dividendi (t-1, t) Prezzo (t-1) L orizzonte temporale oggetto di analisi può essere giornaliero, settimanale, mensile, semestrale, annuale, pluriennale Esempio: p(t) = 100 ; p(t-1) = 90; div(t-1, t) = 6 Quale rendimento ha generato l investimento? R(t) = = 17,77% 90 7 Il rendimento di un titolo azionario sulla base di una distribuzione di probabilità E possibile acquistare il titolo Gamma al prezzo di 3 euro. Ipotizzando i seguenti 4 possibili scenari futuri calcolate il rendimento atteso. SCENRIO PREZZO FUTURO DIVIDENDO RENDIMENTO PROILIT 4 0,12 37% 30% 3,5 0,10 20% 20% C 2,5 0,05-15% 15% D % 35% R atteso = 0,37 * 0,30 + 0,20 * 0,20 + (- 0,15 * 0,15) + (- 0,33 * 0,35) = 1,3% 4

5 Il rischio di un titolo azionario viene misurato in termini di volatilità, attraverso un indicatore denominato scarto quadratico medio (SQM) Rendimento medio Rendimento t-esimo Scarto rendimenti giornalieri +/- Lo SQM misura lo scarto medio rispetto alla media dei rendimenti 9 Il rendimento medio di un titolo azionario Maggiori sono gli scarti rispetto al rendimento medio, maggiore è il rischio di un titolo: si ha una maggiore volatilità dei rendimenti Esempio: il titolo ha registrato negli ultimi 5 giorni i seguenti rendimenti giornalieri +4% -10% +8% +5% +2% Rendimento medio giornaliero: 1,8% (+4%-10%+8%+5%+2%) / 5 = 1,8% come si misura il rischio? 10 5

6 Il calcolo dello scarto quadratico medio Rendimento Rendimento medio Scarto Scarto^2 Varianza^(1/2) 4% 1,80% 2,20% 0,04840% -10% 1,80% -11,80% 1,39240% 8% 1,80% 6,20% 0,38440% 5% 1,80% 3,20% 0,10240% 2% 1,80% 0,20% 0,00040% Rendimento medio Scarto medio = Varianza = SQM 1,80% 0,00% 0,38560% 6,210% La varianza ( 2 ) è pari alla media degli scarti elevati al quadrato Lo scarto quadratico medio () è la radice quadrata della varianza Il titolo ha avuto un rendimento giornaliero medio pari all 1,8% e uno scarto quadratico medio pari al 6,21% 11 Il rendimento di un titolo azionario sulla base di una distribuzione di probabilità E possibile acquistare il titolo Gamma al prezzo di 3 euro. Ipotizzando i seguenti 4 possibili scenari futuri calcolate il rendimento atteso. Calcolate ora la varianza e lo scarto quadratico medio SCENRIO PREZZO FUTURO DIVIDENDO RENDIMENTO PROILIT 4 0,12 37% 30% 3,5 0,10 20% 20% C 2,5 0,05-15% 15% D % 35% R atteso = 0,37 * 0,30 + 0,20 * 0,20 + (- 0,15 * 0,15) + (- 0,33 * 0,35) = 1,3% Varianza = (0,37-0,013) 2 * 0,3 + (0,2-0,013) 2 * 0,2 + (-0,15-0,013) 2 * 0,15 + (-0,33-0,013) 2 * 0,35 = 0,089 Sqm = 29,8% 6

7 Il criterio di scelta dei titoli Gli investitori razionali scelgono gli investimenti considerando il rendimento atteso e la volatilità E(R) Il titolo è preferibile rispetto a poiché, a parità di rendimento atteso, è caratterizzato da minor rischio 13 Il criterio di scelta dei titoli E(R) Il titolo C è preferibile rispetto a D poiché a parità di rischio, è caratterizzato da maggior rendimento atteso C D 14 7

8 Il criterio di scelta dei titoli Non è possibile fare una scelta tra e poiché il primo, a fronte di un minor rendimento atteso, è caratterizzato da minor rischio E(R) La scelta deriva dal soggettivo grado di avversione al rischio 15 Le curve di indifferenza Esprimono l utilità che un soggetto ottiene realizzando un investimento finanziario La curva identifica diverse combinazioni rischio-rendimento Nella singola curva, l utilità derivante dalle diverse combinazioni rischio-rendimento è la medesima (è indifferente assumere una combinazione piuttosto che un altra lungo la curva) 16 8

9 Le curve di indifferenza Esprimono l utilità che un soggetto ottiene realizzando un investimento finanziario La curva identifica diverse combinazioni rischio-rendimento parità di rischio o a parità di rendimento la scelta ricade su titoli che giacciono sulla curva più alta 17 Le curve di indifferenza COME SCEGLIERE TR e? L investitore sceglie la combinazione di rischio-rendimento che consente la maggior utilità Le curve più in alto sono quelle caratterizzate da maggiore utilità per l investitore 18 9

10 Le curve di indifferenza Più la curva è inclinata, maggiore è l avversione al rischio, perché l investitore, per assumere un unità addizionale di rischio, vuole un elevato incremento di rendimento atteso L investitore X sceglie il titolo (caratterizzato da basso rendimento e basso rischio) e non perché gli consente di ottenere una maggiore utilità X 19 Le curve di indifferenza Se la curva è piatta l investitore è poco avverso al rischio Y L investitore per ottenere un unità addizionale di rendimento atteso è disposto ad accettare un elevato incremento del rischio La combinazione rischio-rendimento che massimizza l utilità per Y è, perché gli consente di raggiungere la curva di indifferenza più elevata, e quindi, maggior utilità

11 Indice della lezione Rischio e rendimento per titoli singoli La Teoria di Portafoglio di Markowitz (1952) 1 1 Markowitz, H.M. (1952), Portfolio Selection, Journal of Finance 7, (1), La costruzione di un portafoglio di titoli L investimento dell intera ricchezza in un singolo titolo è un comportamento non razionale perché assoggetta la ricchezza investita ad un rischio elevato (lo si può intuire) Dall approccio intuitivo all approccio razionale: la teoria di portafoglio indica come si possono costruire portafogli composti da più titoli per ottenere combinazioni rischio-rendimento più convenienti rispetto all investimento in singoli titoli si pone il problema di calcolare il rischio e il rendimento atteso di un portafoglio di titoli 22 11

12 Il rendimento atteso di un portafoglio Il rendimento atteso E[R(p)] di un portafoglio formato dai titoli e (con pesi a e b) è pari alla media ponderata dei rendimenti dei due titoli E(R p ) = a E(R ) + b E(R ) Il portafoglio P è formato dai titoli e assunti con percentuali rispettivamente pari ad (a + b) = 100% Esempio: a = 40% b= 60% E(R ) = 5 % E(R ) = 7% E[R(p)] = 40% * 5% + 60% * 7% = 6,2% 23 Il rischio di un portafoglio Il rischio del portafoglio (p), formato dai titoli e (con pesi a e b) è misurato dalla varianza ² p e dallo SQM p ² p = a² ² +b² ² +2 a b ρ ² : varianza rendimenti del titolo ² : varianza rendimenti del titolo : sqm rendimenti titolo : sqm rendimenti del titolo ρ : covarianza tra i rendimenti ρ : coefficiente di correlazione tra i rendimenti 24 12

13 Il rischio di un portafoglio Il rischio del portafoglio (p), formato dai titoli e (con pesi a e b) è misurato dalla varianza ² p e dallo SQM p covarianza ² p = a² ² +b² ² +2 a b ρ coeffic.te di correlazione la covarianza tra i rendimenti di e di ( ) è data dalla somma dei prodotti degli scarti diviso n N (xj Mx) (yj My) cov = J=1 N cov = ρ il coefficiente di correlazione tra i rendimenti di e di è dato da: ρ = cov / ρ assume valori compresi tra +1 e Il titolo ha registrato negli ultimi 5 giorni i seguenti rendimenti giornalieri (oppure avrà i seguenti valori attesi secondo una distribuzione di probabilità) +4% -10% +8% +5% +2% Rendimento medio giornaliero: 1,8% (+4%-10%+8%+5%+2%) / 5 = 1,8% Il titolo ha registrato negli ultimi 5 giorni i seguenti rendimenti giornalieri (oppure avrà i seguenti valori attesi secondo una distribuzione di probabilità) +12% -2% +16% +13% +10% Rendimento medio giornaliero: 9,8% (12%-2%+16%+13%+10%) / 5 = 9,8% Costruiamo il portafoglio con 50% di e 50% di 26 13

14 Il titolo ha registrato negli ultimi 5 giorni i seguenti rendimenti giornalieri (oppure avrà i seguenti valori attesi secondo una distribuzione di probabilità) +4% -10% +8% +5% +2% Rendimento medio giornaliero: 1,8% (+4%-10%+8%+5%+2%) / 5 = 1,8% Lo combiniamo con un diverso titolo che ha registrato negli ultimi 5 giorni i seguenti rendimenti giornalieri (oppure avrà i seguenti valori attesi secondo una distribuzione di probabilità) -2% +12% -6% -3% +0% Rendimento medio giornaliero: 0,2% (-2%+12%-6%-3%+0%) / 5 = 0,2% Costruiamo il portafoglio con 50% di e 50% di 27 Radice quadrata della varianza Somma degli scarti al quadrato diviso n (j-m) gg titolo titolo portaf. (j-m) (j-m) (j-m) 2 (j-m) 2 (j-m) Somma dei 1 4% -2% 1% 2,2% -2,2% 0,0484% 0,0484%-0,0484% prodotti degli 2-10% 12% 1% -11,8% 11,8% 1,3924% 1,3924%-1,3924% scarti diviso n 3 8% -6% 1% 6,2% -6,2% 0,3844% 0,3844%-0,3844% 4 5% -3% 1% 3,2% -3,2% 0,1024% 0,1024%-0,1024% 5 2% 0% 1% 0,2% -0,2% 0,0004% 0,0004%-0,0004% rend. medio 1,8% 0,2% 1,0% varianza 0,3856% 0,3856% sqm 6,2097% 6,2097% -0,3856% covarianza 0,3856% sqm* sqm peso di peso di Covarianza diviso -1 ρ portafoglio 0,5 0,5 il prodotto degli 0,0000% varianza portaf. sqm 0,0000% sqm portaf. 1,0% rend. portaf. il portafoglio ha rischio nullo e rendimento 1% 28 14

15 Perché il portafoglio ha rischio zero? Rendimento giornaliero = 1% Scostamenti giornalieri dalla media = 0 29 Come si combinano in un portafoglio i rischi di 2 titoli e? Quanto rischio c è nel portafoglio? PORTFOGLIO Dipende da quanto mettiamo di e quanto di (pesi) Dipende dalle covarianze tra le combinazioni Il rischio del portafoglio è dato dalla somma delle quattro caselle 15

16 Come si combinano in un portafoglio i rischi di 2 titoli e? dipende dai pesi e dal valore delle covarianze Quanto rischio c è nel portafoglio? Dipende da quanto mettiamo di e quanto di (pesi) PORTFOGLIO COV COV COV COV Dipende dalle covarianze tra le combinazioni Il rischio del portafoglio è dato dalla somma delle quattro caselle Come si combinano in un portafoglio i rischi di 2 titoli? dipende dai pesi e dal valore delle covarianze covarianza a a ρ a b ρ a b ρ b b ρ coefficiente di correlazione = cov / ² p = a² ² + b² ² + 2 a b ρ assume valori compresi tra 1 e

17 Il rischio di un portafoglio Il rischio del portafoglio (p), formato dai titoli e (con pesi a e b) è dato dalla varianza ² p ² p = a² ² +b² ² +2 a b ρ Il rendimento di un portafoglio è sempre pari alla media ponderata dei rendimenti dei singoli titoli Solo in un caso particolare lo SQM di un portafoglio è pari alla media ponderata degli SQM dei singoli titoli Ciò si verifica quando il coefficiente di correlazione è uguale ad 1 33 Il coefficiente di correlazione Il coefficiente di correlazione esprime il grado in cui due titoli si muovono congiuntamente Esprime valori compresi tra -1 e 1 Il coefficiente di correlazione è pari ad 1 quando se un titolo aumenta, anche l altro titolo aumenta Il coefficiente di correlazione è pari a -1 quando se un titolo aumenta l altro diminuisce Il coefficiente di correlazione è pari a zero quando i due titoli non hanno nessun legame (ad aumenti dell uno possono corrispondere sia incrementi, sia decrementi dell altro) 34 17

18 ² p = a² ² +b² ² +2 a b ρ Se il coefficiente di correlazione è pari ad uno ² p = a² ² +b² ² +2 a b 1 = (a +b ) 2 p = a + b allora lo SQM è pari alla media ponderata delle rispettive volatilità 35 ² p = a² ² +b² ² +2 a b ρ Se il coefficiente di correlazione è < 1 e > 0 ² p = a² ² +b² ² +2 a b ρ allora lo SQM è inferiore alla media ponderata delle rispettive volatilità ( il terzo addendo si riduce essendo moltiplicato per un valore inferiore ad 1 ) es. = 0 se il terzo addendo assume valore zero 36 18

19 ² p = a² ² +b² ² +2 a b ρ Se il coefficiente di correlazione è < 0 ² p = a² ² +b² ² +2 a b ρ allora lo SQM è notevolmente inferiore alla media ponderata delle rispettive volatilità ( il terzo addendo assume valore negativo essendo moltiplicato per un valore inferiore a 0 ) 37 E possibile costruire una pluralità di portafogli combinando i due titoli Se la correlazione tra i titoli e è perfetta (pari ad 1) i portafogli si dispongono su una retta Il rendimento del portafoglio è la media ponderata dei rendimenti Il sigma del portafoglio è la media ponderata dei sigma dei due titoli Molto titolo, poco titolo Solo titolo Molto titolo, poco titolo 50%titolo, 50% titolo Solo titolo 38 19

20 Con la costruzione di portafogli gli investitori aumentano la propria utilità L investitore X, molto avverso al rischio, non sceglie più un portafoglio composto dal solo titolo, ma uno nel quale è compresa una quota del titolo Coerentemente con la propria avversione al rischio sceglie un portafoglio composto soprattutto da (titolo poco rischioso) X Questa scelta gli consente di ottenere una maggior utilità (può raggiungere una curva di indifferenza posta più in alto) 39 Con la costruzione di portafogli gli investitori aumentano la propria utilità nche Y, poco avverso al rischio, sceglie un portafoglio composto sia dal titolo, sia dal titolo Coerentemente con la propria minor avversione, il portafoglio è composto soprattutto da (titolo più rischioso ma con maggior rendimento atteso) Questa scelta gli consente di ottenere una maggior utilità (consente di raggiungere una curva di indifferenza posta più in alto) Y 40 20

21 Se la correlazione è inferiore ad uno ² p = a² ² +b² ² +2 a b ρ Si riduce la covarianza es. se il coeff. = 0,5 il terzo addendo si dimezza es. se il coeff. = 0 il terzo addendo si annulla es. se il coeff. = - 0,5 il terzo addendo si dimezza e si sottrae Il rischio del portafoglio non è più pari alla media ponderata delle volatilità dei singoli titoli, ma è inferiore Si realizza l effetto diversificazione di portafoglio La costruzione di un portafoglio di titoli con rendimenti non perfettamente correlati consente di ridurre il rischio complessivo rispetto alla media ponderata dei rischi 41 Se i titoli non sono perfettamente correlati è possibile ridurre il rischio sfruttando l effetto diversificazione L insieme dei portafogli per i quali non si può fare una scelta secondo il criterio media-varianza (ma si deve ricorrere alle curve di indifferenza) è detto frontiera efficiente dei portafogli possibili a parità di rendimento il rischio si riduce ² p = a² ² +b² ² +2 a b ρ con ρ <

22 Se i titoli non sono perfettamente correlati è possibile ridurre il rischio sfruttando l effetto diversificazione Per ogni singolo portafoglio costruibile con i titoli e si riduce il rischio a parità di rendimento L insieme dei portafogli possibili si sposta verso sinistra (a parità di rendimento atteso, minor rischio) ² p = a² ² +b² ² +2 a b ρ con ρ < 1 43 Se i titoli non sono perfettamente correlati è possibile ridurre il rischio sfruttando l effetto diversificazione La semi-curva diventa la nuova frontiera efficiente nord non esistono portafogli; a sud esistono portafogli dominati F D E C D domina C F domina E ² p = a² ² +b² ² +2 a b ρ con ρ <

23 Se i titoli non sono perfettamente correlati è possibile ridurre il rischio sfruttando l effetto diversificazione La semi-curva diventa la nuova frontiera efficiente 45 Se i titoli non sono perfettamente correlati è possibile ridurre il rischio sfruttando l effetto diversificazione Per l investitore X cambia la scelta del portafoglio che consente di massimizzare l utilità Coerentemente con la propria avversione, sceglie un portafoglio che consente la riduzione del rischio e l aumento del rendimento X X ² p = a² ² +b² ² +2 a b ρ con ρ <

24 Se i titoli non sono perfettamente correlati è possibile ridurre il rischio sfruttando l effetto diversificazione nche per l investitore Y cambia la scelta del portafoglio che consente di massimizzare l utilità Y sceglie un portafoglio che consente la riduzione del rischio e l incremento del rendimento atteso Y Y ² p = a² ² +b² ² +2 a b ρ con ρ < 1 47 Se i titoli hanno correlazione nulla o inferiore a zero l effetto di diversificazione è molto forte Quando il coefficiente di correlazione diventa nullo o negativo si riduce fortemente il rischio a parità di rendimento: quando un titolo va male, l altro va bene Frontiera Efficiente L effetto della covarianza sul rischio da incrementativo diventa decrementativo ² p = a² ² +b² ² - 2 a b ρ con ρ <

25 La composizione di portafogli efficienti con 3 titoli Ipotesi : tre titoli,, C : Frontiera efficiente titoli e C: Frontiera efficiente titoli e C 49 La composizione di portafogli efficienti con 3 titoli Consideriamo ora il portafoglio D costituito dai titoli e µ C 50 25

26 La composizione di portafogli efficienti con 3 titoli Consideriamo ora il portafoglio D costituito dai titoli e µ C D È ora possibile costruire una nuova frontiera DC tra il titolo C e il portafoglio D 51 La composizione di portafogli efficienti con 3 titoli µ C D Gli archi di curva costruiti in base alle possibili combinazioni di titoli e portafogli creano la frontiera C relativa ai tre titoli 52 26

27 La composizione di portafogli efficienti con 3 titoli µ C D 53 La composizione di portafogli efficienti con N titoli Iterando il precedente processo di costruzione N volte, si ottiene la frontiera efficiente della regione delle opportunità ad N titoli, i cui punti hanno coordinate (µ,²) individuate dalle seguenti formule E(R p ) = i E(R i ) X i ² p = i X i ² ²(R i )+ i j X i X j (R i ) (R j ) ρ i,j con i,j=1, 2,..n 54 27

28 La composizione di portafogli efficienti con N titoli 0Rendimento Rischio () maggiore è il numero di titoli, maggiore è il vantaggio della diversificazione: si riduce la varianza dei portafogli poiché le correlazioni non perfette fra i titoli riducono le covarianze 55 28