La matrice delle correlazioni è la seguente:

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1 Calcolo delle componenti principali tramite un esempio numerico Questo esempio numerico puó essere utile per chiarire il calcolo delle componenti principali e per introdurre il programma SPAD. IL PROBLEMA (controllo di qualitá) Una fabbrica produce wafer su cui verranno stampati dei circuiti elettrici. Per ciascun tipo di wafer vengono fissate le proporzioni tra 3 misure: spessore, lunghezza e larghezza. Il responsabile del processo chiede di verificare se il processo produttivo rispetta le proporzioni fissate. I Dati Per effettuare lo studio sulla produzione sono stati misurati 10 wafer di uno stesso tipo. La matrice X contiene le osservazioni relative alla produzione di wafer per il disegno di microchip. Si tratta di 10 osservazioni é per ogni wafer é stato misurato: lo spessore (colonna 1), la lunghezza (colonna 2) e la larghezza (colonna 3). Traduzione del problema in termini statistici Se le proporzioni tra le tre misure sono fissate allora esisteranno delle costanti a, b e c tali che: (1) Spessore=a*Lunghezza (2) Spessore=b*Larghezza (3) Lunghezza=c*Larghezza Se le tre relazioni fossero vere allora le correlazioni tra le tre variabili dovrebbero essere 1. Se invece una qualche misura fosse fuori controllo allora la sua correlazione con le altre variabili sará prossima allo zero. Per studiare correlazioni tra piú variabili é si sceglie di utilizzare l analisi in componenti principali (ACP). Matrice delle correlazioni La matrice delle correlazioni è la seguente:

2 LETTURA del risultato: - lo spessore del chip é correlato con la lunghezza; - le correlazioni tra le altre variabili sono deboli e negative. INTERPRETAZIONE (si fa assieme al committente): - Le variabili non sono tra loro fortemente correlate, pertanto il processo produttivo non rispetta le proporzioni assegnate. - Esiste una correlazione forte positiva tra lunghezza e spessore, mentre la larghezza dei wafer é debolmente associata con lunghezza e spessore. Sembrerebbe pertanto che la larghezza sia una delle misure meno controllate nel processo. Calcoli degli autovalori ( ) della matrice R Gli autovalori della matrice R sono i seguenti: value proportion Notare che: Gli autovalori soddisfano la seguente equazione R- I = 0 (equazione terzo grado in ): =0 La soma degli autovalori é 3 = p = Traccia di R. - La prima componente spiega il 59% della variabilitá presente nei dati, mentre il primo piano fattoriale (dato dalle prime due componenti principali) spiega quasi il 90% della variabilitá. Se le proporzioni fissate fossero rispettate allora il primo autovalore dovrebbe spiegare tutta la variabilitá. Esiste un 40% di variabilitá nel processo dovuta a fattori accidentali.

3 Calcolo del primo autovettore della matrice R. Il primo autovettore si ottiene sostituendo il primo autovalore 1=1.769 nella equazione R- I = 0 e risolvendo il seguente sistema omogeneo di tre equazioni in tre incognite: La soluzione, (0.64, 0.69, -0.34), é il primo autovettore (prima colonna in una matrice 3 per 3 chiamata V). Calcolo dei restanti autovettori, ovvero la matrice V Ripetendo il procedimento per i restanti autovettori (sostituendo separatamente il secondo e il terzo autovettore nella equazione R- I = 0) si ottengono le restanti colonne della matrice V: Si noti che V'V=I (in questo esempio occorre approssimare la terza cifra decimale). Calcolo delle componenti Principali Si consideri la matrice diagonale L 1/2 i cui elementi sono le radici quadrate degli autovalori di R. Essi rappresentano lo scarto quadratico medio associato a ciascun Componente Principale, poiché gli autovettori (ancien axes unitarie in SPAD) hanno deviazione standard 1. Le componenti principali sono la matrice S ottenuta riscalando V con tramite L 1/2 : S = V L 1/2 Poiché le componenti principali sono state calcolate utilizzando la matrice delle correlazioni R e non la matrice delle Covarianze, gli elementi di S rappresentano le correlazioni tra variabili e componenti principali. - La prima componente (quella che spiega maggiore variabilitá) associa positivamente lo spessore alla lunghezza perché entrambe le variabili hanno correlazioni similari: 0.91 e 0.85 rispettivamente; - La prima componente associa negativamente la larghezza alle restanti variabili perché la larghezza ha

4 una correlazione si segno opposto alle altre due variabili; - La larghezza é ben rappresentata nel secondo asse (correlazione 0.88), mentre le altre varabili hanno una bassa correlazione. La misura che piú sfugge al controllo é la larghezza del wafer perché é scarsamente associata alle altre variabili. Proiezione degli individui sulle componenti principali. Le coordinate degli individui sulle componenti principali si ottengono dal prodotto ZV dove Z é la matrice dei dati originari (X) standardizzati (ad ogni osservazione é stata sottratta la media e il risultato diviso per la deviazione standard). Le coordinate degli individui sulle prime due componenti principali sono le seguenti: Individuo CP1 CP2 DIST origine wafer wafer wafer wafer wafer wafer wafer wafer wafer wafer L ultima colonna rappresenta la distanza dal baricentro della nube dei punti. É ottenuta sommando il quadrato delle coordinate (Teorema di Pitagora). - Il baricentro della nube di punti rappresenta il wafer di dimensioni medie osservato nel campione. Pertanto i Wafer 2 e 4 sembrano i più disomogenei all interno del campione. Altri aiuti all interpretazione delle componenti principali. Altre due quantitá risultano di interesse per valutare la posizione degli individui su componenti principali. Esse sono i contributi e i coseni quadrati. Per ciascun individuo di calcolano entrambe: quanto piú sono elevate tanto piú l individuo é ben rappresentato sull asse.

5 I coseni quadrati si possono ottenere dividendo il quadrato della coordinata per la distanza dall origine. Evidentemente la somma dei coseni quadrati (3 valori in questo esempio) per un individuo sugli assi è 1. I contributi si ottengono dividendo il quadrato della coordinata per la somma dei quadrati delle coordinate sull asse. Evidentemente la somma dei contributi (10 valori in questo esempio) per un asse è 1. Per i dati osservati i contributi e i coseni sono riportati nella seguente tabella: Contributi Coseni Quadrati CP1 CP2 CP1 CP2 wafer wafer wafer wafer wafer wafer wafer wafer wafer wafer L osservazione relativa al secondo wafer é ben rappresentata sulla prima componente principale, cosí come quella relativa al quarto wafer. Esistono delle osservazioni che sono influenti nell analisi, in particolare l osservazione 2 e 4. Sensitivitá Analisi di robustezza Una volta rilevata la presenza di osservazioni influenti occorre ripetere l analisi eliminando le osservazioni che si ritiene influenti. In questo caso eliminando le osservazioni 2 e 4 si ottiene una matrice R a valori tutti positivi. La variabilitá spiegata nei primi assi fattoriali non cambia (diminuisce leggermente quella della prima componente principale) e la larghezza risulta sempre la correlata con le altre variabili. I risultati ottenuti dall analisi con tutte le osservazioni sono robusti

6 rispetto alle osservazioni ritenute piú disomogenee presenti nel campione.