Analisi Fattoriale Concetti introduttivi Marcello Gallucci Milano-Bicocca

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1 Analisi Fattoriale Concetti introduttivi A M D Marcello Gallucci Milano-Bicocca

2 Scopi generali L Analisi Fattoriale (e varianti) si propone di estrarre un numero limitato di fattori (variabili latenti o sottostanti) da un set di variabili osservate (e.s. items), al fine di rappresentare al meglio la variabilità di tale set Ciò consente di interpretare le relazioni tra un gran numero di variabili osservate mediate un numero limitato di fattori

3 Un possibile modello Tratto latente Estroversione La variabilità osservata negli items è rappresentata da un unico fattore che raggruppa le variabili Si diverte molto Ama chiacchierare Ama le feste Prende l iniziativa Variabili osservate, misurate sui soggetti

4 Un altro possibile modello Ovviamente i fattori utili a rappresentare la variabilità delle variabili osservate possono essere numerosi Fattore 1 Fattore 2 V1 V2 V3 V4 V5 V6

5 Fattori ed errori Guadagnando in parsimonia ed interpretabilità delle relazioni, non ci si può aspettare di non perdere qualcosa in precisione Variabilità catturata (spiegata) Fattore 1 Fattore 2 AF Variabilità osservata V1 V2 V3 V4 V5 V6 Variabilità non rappresentata dai fattori errore 1 errore 2 errore 3 errore 4 errore 5 errore 6

6 Forma del modello decisa dall algoritmo AF Capitolo 12 Tipi di Analisi Fattoriale Esploratoria Analisi Componenti Principali Analisi Fattori Comuni Accorpamento di Variabili Capitolo 13 Confermatoria Modelli LISREL Forma del modello decisa dai noi Verifica di un modello teorico

7 Concetti di base Alcuni concetti sono utili per ogni tipo di Analisi Fattoriale, indipendentemente dalle differenze tecniche (che vedremo successivamente) tra questi tipi di analisi Tutte le varianti dell AF: Rappresentazione delle relazioni fra variabili misurate mediante un numero ristretto di fattori

8 Relazioni fra variabili Le relazioni fra variabili (continue) sono calcolabili mediante il coefficiente r di correlazione di Pearson. Matrice di correlazione A1:Si diverte molto A2: Ama chiacchierare A3: Ama le feste A4: Prende l iniziativa Correlazioni a1 a2 a3 a4 a1 Correlazione di Pearson * Sig. (2-code) N a2 Correlazione di Pearson **.231* Sig. (2-code) N a3 Correlazione di Pearson ** 1.588** Sig. (2-code) N a4 Correlazione di Pearson.242*.231*.588** 1 Sig. (2-code) N *. La correlazione è significativa al livello 0,05 (2-code). **. La correlazione è significativa al livello 0,01 (2-code). Esempio calcolato su un campione di 100 persone

9 Correlazioni e Fattori Un altro modo per definire lo scopo dell Analisi Fattoriale è l estrazione di un numero ristretto di fattori che riproducano al meglio la matrice di correlazione osservata Correlazioni Matrice di correlazione A1:Si diverte molto A2: Ama chiacchierare A3: Ama le feste A4: Prende l iniziativa a1 a2 a3 a4 a1 Correlazione di Pearson * Sig. (2-code) N a2 Correlazione di Pearson **.231* Sig. (2-code) N a3 Correlazione di Pearson ** 1.588** Sig. (2-code) N a4 Correlazione di Pearson.242*.231*.588** 1 Sig. (2-code) N *. La correlazione è significativa al livello 0,05 (2-code). **. La correlazione è significativa al livello 0,01 (2-code). Esempio calcolato su un campione di 100 persone

10 Relazioni fra variabili e fattori latenti Fattore 1 Fattore 2 V1 V2 V3 V4 V5 V6 L'idea di fondo è che le variabili osservate correlano perché condividono un fattore sottostante

11 Relazioni fra variabili e fattori latenti Dunque vogliamo creare delle nuove variabili (fattori) che combinino le variabili osservate che correlano molto Correlazioni a1 a2 a3 a4 E separino le variabili che non correlano fra loro a1 a2 a3 a4 Correlazione di Pearson * Sig. (2-code) N Correlazione di Pearson **.231* Sig. (2-code) N Correlazione di Pearson ** 1.588** Sig. (2-code) N Correlazione di Pearson.242*.231*.588** 1 Sig. (2-code) N *. La correlazione è significativa al livello 0,05 (2-code). **. La correlazione è significativa al livello 0,01 (2-code).

12 Rappresentazione vettoriale Ogni variabile può essere rappresentata mediante un vettore di lunghezza uguale alla sua deviazione standard L associazione tra due variabili si può rappresentare mediante l angolo tra i due vettori (prodotto tra i vettori=prodotto tra gli z =correlazione) Angolo acuto= associazione forte Angolo meno acuto= Associazione debole v z x z x z x z Lunghezza=std.dev=1 Lunghezza=std.dev=1

13 Rappresentazione vettoriale La correlazione quantifica la proiezione di un vettore-variabile sull altro! Lunghezza= std.dev di v=1 Per ogni dev.std di v avremo una r*100% dev. std di x v z Correlazione r=.78 x z Lunghezza= std.dev di x=1

14 Rappresentazione vettoriale La correlazione quantifica la proiezione di un vettore-variabile sull altro! Lunghezza= std.dev di v=1 Per ogni dev.std di v avremo una r*100% dev. std di x v z Correlazione r x z Lunghezza= std.dev di x=1

15 Rappresentazione vettoriale correlazione positiva o negativa Angolo ottuso Angolo acuto -1 1 Correlazione r Negativo Positivo

16 Rappresentazione vettoriale Se la proiezione è zero, cioè r=0, le due variabili saranno indipendenti (linearmente) Questo è il motivo per cui spesso si dice che due variabili non correlate sono ortogonali E che due variabili correlate sono oblique Un vettore non proietta nulla sull altro

17 Logica dell'estrazione dei fattori In tutte le varianti dell AF il fine è di estrarre una serie di fattori che siano al centro dell'insieme di variabili

18 Estrazione Fattore Comune Applichiamo la rappresentazione vettoriale: Ci proponiamo di rappresentare le due variabili qui sotto mediante un fattore unico: Dove sarà questo fattore? v z? x z In pratica AF non si fa su due variabili, ma l esempio ci chiarisce la logica dell estrazione dei fattori in casi generale

19 Estrazione Fattore Comune Il fattore deve essere una nuova variabile che meglio rappresenti entrambe le variabili v z In questa posizione rappresenterebbe bene X ma non V x z

20 Estrazione Fattore Comune Il fattore deve essere una nuova variabile che meglio rappresenti entrambe le variabili In quest altra troppo bene V ma non X v z x z

21 Estrazione Fattore Comune Il fattore comune sarà al centro! Che vuol dire precisamente? Che minimizza contemporaneamente l angolo con X e V v z x z

22 Estrazione Fattore Comune L angolo è tanto più piccolo quanto più è alta la correlazione Correlazione tra V e Fattore r vf v z x z r xf Correlazione tra X e Fattore

23 Estrazione Fattore Comune L angolo è tanto più piccolo quanto più è alta la correlazione Dunque il miglior fattore è quello che massimizza le correlazioni con le variabili osservate Correlazione tra V e Fattore r vf v z x z r xf Correlazione tra X e Fattore

24 Le correlazioni possono variare Nel caso generale (non due variabili) le correlazioni con il fattore sono differenti per le varie variabili

25 Correlazioni e Varianze Ricorda che la correlazione (al quadrato) indica la varianza condivisa Correlazioni Varianze x z 2 R x z x z v z Dunque il miglior fattore è quello che meglio cattura la varianza condivisa

26 Varianza spiegata dal fattore Quanto sarà questa varianza? Varianze La varianza spiegata dal fattore sarà la somma delle varianze che condivide con ogni singola variabile v1 v4 2 R v3 v2 Dunque sarà la somma dei quadrati delle correlazioni tra variabili e fattori var( F) r r r v1f v2f v3f...

27 Più di un fattore Consideriamo di aver estratto un fattore da questo insieme di variabili Varianze Il fattore che estraiamo sarà quello che massimizza la varianza spiegata v4 F1 v1 v2 v7 v6 Ma non necessariamente cattura tutta la varianza condivisa v3 I

28 Più di un fattore Avremo così rappresentato le varianze osservate mediante due fattori Varianze v4 F1 v1 v2 v7 F2 v6 I fattori non condividono varianza, dunque non sono correlati v3

29 Estrazione di più fattori Dunque saranno ortogonali F 2 Definiranno dunque degli assi fattoriali dove proiettare le variabili F1

30 Estrazione di più fattori Dunque saranno ortogonali F 2 rf 2 Gialla E le proiezioni saranno le correlazioni tra fattori e variabili (come per il caso di un fattore) rf 2 Blue F1

31 Soluzione fattoriale La soluzione fattoriale si compone di: La matrice di correlazione tra fattori e variabili La varianza spiegate da ogni fattore x z F12 R x z x z v z Correlazioni Varianze

32 Soluzione fattoriale La soluzione fattoriale rappresentata geometricamente può essere vista anche in una matrice numerica Saturazioni = correlazioni Fattori variabili Matrice di componenti a v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 Componente Metodo estrazione: analisi componenti principali. a. 2 componenti estratti

33 Soluzione Fattoriale La soluzione fattoriale si compone di: Componente La matrice di correlazione tra fattori e variabili La varianza spiegate da ogni fattore Autovalori iniziali Varianza totale spiegata Totale % di varianza % cumulata Totale % di varianza % cumulata Metodo di estrazione: Analisi componenti principali. Pesi dei fattori non ruotati v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 Matrice di componenti a Componente Metodo estrazione: analisi componenti prin a. 2 componenti estratti

34 Terminologia La soluzione fattoriale si compone di: La matrice di correlazione tra fattori e variabili Matrice di componenti a Le correlazioni tra fattori e variabili si chiamano PESI FATTORIALI o SATURAZIONI FATTORIALI v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 Componente Metodo estrazione: analisi componenti prin a. 2 componenti estratti

35 Terminologia La soluzione fattoriale si compone di: La varianza spiegate da ogni fattore Componente Autovalori iniziali Varianza totale spiegata Totale % di varianza % cumulata Totale % di varianza % cumulata Metodo di estrazione: Analisi componenti principali. Le varianze spiegate dai fattori si chiaman AUTOVALORI Pesi dei fattori non ruotati Il perché lo trovate sul libro di testo

36 Relazioni tra le informazioni SATURAZIONI FATTORIALI Autovalori v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 Matrice di componenti a Componente Metodo estrazione: analisi componenti principali. a. 2 componenti estratti Componente Autovalori iniziali Varianza totale spiegata Totale % di varianza % cumulata Totale % di varianza Metodo di estrazione: Analisi componenti principali. La somma dei quadrati in colonna equivale alla varianza spiegata dal fattore corrispettivo Pesi dei fattori no

37 Comunalità SATURAZIONI FATTORIALI Matrice di componenti a v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 Componente Metodo estrazione: analisi componenti principali. a. 2 componenti estratti La somma dei quadrati in riga equivale alla varianza dell item spiegata da tutti i fattori estratti Tale quantità e denominata comunalità

38 Comunalità SATURAZIONI FATTORIALI v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 Matrice di componenti a Componente Metodo estrazione: analisi componenti principali. a. 2 componenti estratti I due fattori estratti spiegano il 21% della varianza dell item La comunalità indica quanto un item partecipa alla costruzione dei fattori

39 Esempio (provvisorio) La ricerca è volta a studiare le caratteristiche di personalità che possono associarsi a comportamenti pericolosi di adolescenti maschi. I costrutti di personalità misurati sono: il sensation seeking, la propensione al rischio, la mancanza di controllo. La tendenza ad attuare comportamenti pericolosi è misurata mediante un indice di frequenza di alcuni comportamenti indicatori (uso di droghe, partecipazione a gang, uso di armi, etc). Il fine della ricerca è di stabilire se le variabili di personalità possono essere dei predittori della tendenza ad attuare comportamenti pericolosi. Descrizione dei dati I tre costrutti di personalità sono stati misurati con 4 item ciasuno. Sensation seeking con gli item ss1, ss2, ss3 e ss4. Etc. etc. (da vedersi successivamente)

40 Esempio (provvisorio) Intendiamo vedere se possiamo estrarre un fattore comune agli item di sensation seeking e vedere se tale fattore spiega bene la variabilità degli items

41 Dunque (provvisorio) L Analisi Fattoriale (e varianti) si propone di estrarre un numero limitato di fattori al fine di rappresentare al meglio la variabilità di tale set A tale scopo estrae una serie di fattori fra loro ortogonali al fine di massimizzare la correlazione fra variabili osservate La soluzione fattoriale è l'insieme di questi fattori, descritti dalle loro varianze (autovalori / numero item), le saturazioni fattoriali e la comunalitò degli item

42 Un possibile modello Tratto latente Sesation Seeking ss1 ss2 ss3 ss4 Variabili osservate, misurate sui soggetti

43 Risposte standardizzate agli item (la standardizzazione è ininfluente) Dunque (provvisorio)

44 SPSS

45 Seleziono le variabili che voglio analizzare Dunque (provvisorio)

46 Dunque (provvisorio) Chiedo di estrarre un fattore (poi vedremo altri metodi per decidere quanti fattori estrarre)

47 Il primo fattore estratto (quello che ci interessa) spiega il 65% della varianza degli item Soluzione fattoriale

48 Soluzione fattoriale Gli item sono ben correlati con il fattore, dunque possiamo utilizzare il fattore come variabile rappresentativa degli item

49 Dunque (provvisorio) L Analisi Fattoriale (e varianti) si propone di estrarre un numero limitato di fattori al fine di rappresentare al meglio la variabilità di tale set A tale scopo estrae una serie di fattori fra loro ortogonali al fine di massimizzare la correlazione fra variabili osservate La soluzione fattoriale è l'insieme di questi fattori, descritti dalle loro varianze (autovalori / numero item), le saturazioni fattoriali e la comunalitò degli item

50 Fine Fine della Lezione XVI