Analisi della varianza a una via

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1 Analisi della varianza a una via Statistica descrittiva e Analisi multivariata Prof. Giulio Vidotto PSY-NET: Corso di laurea online in Discipline della ricerca psicologico-sociale

2 SOMMARIO Modelli statistici Rapporti tra ANOVA e test t ANOVA: a cosa serve ANOVA: come si calcola

3 MODELLO STATISTICO Descrive il meccanismo causale che si ipotizza abbia prodotto determinati dati osservati, dove per meccanismo causale si intende un insieme strutturato di relazioni tra variabili (Corbetta, 1992). Y f(x) Y e X possono avere differente natura. Abbiamo visto il caso in cui Y è continua e X è categorica con due categorie.

4 MODELLO STATISTICO Esempio: si vuole studiare l efficacia di una terapia farmacologica nella cura dell insonnia. Y f(x) Numero medio di ore dormite per notte Tempo (Pre-trattamento vs. Post-trattamento)

5 MODELLO STATISTICO Il test t ci può dire se c è una differenza tra Pre e Post. Se si, allora potremo dire che il farmaco ha avuto effetto, perché i valori in Y variano al variare dei valori in X (al passaggio da Pre a Post si osserva un aumento delle ore dormite). Attraverso il nostro modello saremo quindi in grado di predire il comportamento della variabile risposta.

6 MODELLO STATISTICO Questa tipologia di modelli è molto semplice. Spesso i modelli statistici sono più complessi, e cercano di spiegare le variazioni di una variabile dipendente attraverso più variabili indipendenti di diversa natura. La stessa variabile dipendente più essere misurata su scala diversa da quella continua (es. proporzioni, frequenze, ecc.); alcuni modelli arrivano anche a considerare più variabili dipendenti e più variabili indipendenti contemporaneamente, possono comprendere variabili moderatrici e così via.

7 L ANALISI DELLA VARIANZA Per ora continueremo a lavorare con il semplice modello Y dipende da X, dove Y è una variabile continua e X è una variabile categorica. Aggiungeremo però una complicazione: X può presentarsi con più due categorie. L analisi della varianza (ANOVA) è la tecnica che permette di stabilire se sussistano differenze fra le medie (calcolate su una variabile dipendente) di tre o più gruppi. In questa logica, il t-test altro non è che un caso particolare di ANOVA.

8 L ANALISI DELLA VARIANZA In questi casi, la variabile indipendente viene denominata fattore. Un fattore è una variabile categorica che più assumere due o più modalità (livelli); quindi, anche nel caso del t-test la variabile indipendente è un fattore. Nell esempio visto precedentemente, il Tempo è un fattore a due livelli, e questi livelli sono Pre-test e Post-test. Non ci sono limiti al numero di livelli di un fattore, se non quelli dettati dalle esigenze della ricerca.

9 L ANALISI DELLA VARIANZA Data una variabile dipendente distribuita normalmente e data una variabile indipendente di tipo fattore, l ANOVA è la tecnica statistica che permette di rispondere alla domanda: Fra le medie calcolate a partire dalla variabile dipendente per ogni livello del fattore, ce n è almeno una statisticamente differente dalle altre?

10 L ANALISI DELLA VARIANZA Attenzione: almeno una. Il che significa che potrebbero esserci più medie che differiscono fra loro, e soprattutto non è dato sapere quali siano le medie che differiscono. Per sopperire a questa lacuna sono state affinate delle tecniche come quella dei contrasti pianificati o dei confronti multipli Post- Hoc. Tuttavia, in questa sede non affronteremo questi argomenti ma ci limiteremo al calcolo del ANOVA.

11 L ANALISI DELLA VARIANZA A seconda del numero di fattori compresi nel modello, il disegno di analisi della varianza viene chiamato a una via, a due vie, a tre vie, ecc. Es., analisi della varianza a due vie: Y dipende dalla somma degli effetti di una variabile X 1 e una variabile X 2. Y f(x 1,X 2 ) In questa sede ci occuperemo solo dell analisi della varianza a una via.

12 TIPOLOGIE DI FATTORI Le variabili di tipo fattore vengono classificate a seconda dell indipendenza o della dipendenza delle osservazioni fra i livelli. Possiamo così avere fattori comunemente chiamati between subjects (tra i soggetti) e within subjects (entro i soggetti). La differenza è la stessa che passa tra i gruppi come sono considerati nel t-test per campioni indipendenti e nel t-test per campioni dipendenti.

13 FATTORI BETWEEN Un fattore between subjects è una variabile i cui livelli raggruppano delle osservazioni provenienti da unità statistiche differenti. Un esempio può essere il "sesso", fattore a due livelli ("maschio" e "femmina"): se un soggetto appartiene al gruppo "maschi" non potrà, per ovvi motivi, far parte anche del gruppo "femmine", e viceversa.

14 FATTORI BETWEEN Allo stesso modo, se una volta campionati dei soggetti, ad alcuni viene somministrata una terapia A, ad altri viene somministrata una terapia diversa, B, e ad altri ancora viene somministrata una terapia C, i tre livelli del fattore terapia (A, B e C) raggrupperanno osservazioni provenienti da soggetti diversi, per cui anche questo fattore sarà di tipo between.

15 FATTORI WITHIN Un fattore within subjects è una variabile i cui livelli raggruppano delle osservazioni provenienti dalle stesse unità statistiche. Per es., il fattore Tempo visto precedentemente è whithin, perché tutti i soggetti affrontano entrambe le condizioni (Posttrattamento e pre-trattamento).

16 TIPOLOGIE DI FATTORI Noi vedremo solo il caso dell analisi della varianza a un fattore between. I casi che includono fattori within sono lasciati per ulteriori approfondimenti.

17 ESEMPIO Una ricerca di mercato vuole indagare quale, fra due nuove marche di pasta (marca A e marca B), abbia più probabilità di competere col marchio leader (L) del settore. Un campione di 18 consumatori è stato quindi intervistato.

18 ESEMPIO A ciascun intervistato è stata fatta assaggiare una delle tre marche di pasta e gli è stato chiesto di esprimere una valutazione. A 6 intervistati è stato chiesto di valutare la marca A, a 6 intervistati la marca B e ad altri 6 la marca L. Per α 0.05, verificare se ci siano differenze nei giudizi degli intervistati fra le tre marche di pasta.

19 ESEMPIO Y A 20 B 14 L Y j

20 ESEMPIO Variabile dipendente: Variabile indipendente: valutazione su scala numerica di ogni intervistato marca di pasta valutata. È una variabile categorica (fattore) a tre livelli: Marca A, Marca B, Marca L. L applicazione del test ANOVA permette di rispondere alla domanda: Fra le valutazioni medie di ogni marca, ce n è almeno una che differisce statisticamente dalle altre?

21 PROCEDIMENTO L idea che sta alla base dell analisi della varianza è che la variabilità totale della Variabile Indipendente Y può essere scissa in due componenti:

22 PROCEDIMENTO 1 2 La variabilità generata dal fatto che Y è stata registrata nella condizione A piuttosto che B oppure L. Si suppone infatti che le tre marche portino a valutazioni diverse, quindi il giudizio (Y) varierà a seconda della condizione ( marca assaggiata) in cui è stato espresso. Questo tipo di variabilità è detta varianza spiegata dal fattore. La variabilità che non si può spiegare, dovuta a fonti fuori dal controllo di chi effettua la ricerca. Questo tipo di variabilità è detta varianza non spiegata, oppure errore o residuo.

23 PROCEDIMENTO SS Totale SS Fattore + SS Errore In termini pratici, la tecnica dell ANOVA prevede di quantificare le due componenti SS Fattore e SS Errore e di metterle a rapporto, ponendo al numeratore la varianza spiegata dal fattore e al denominatore il residuo. La distribuzione che regola questo rapporto è la F di Fisher. Da qui, si potrà decidere se accettare H 0 ( le medie sono tutte uguali) o rifiutare H 0 ( c è almeno una media diversa dalle altre). N.B.: SS sta per Sum of Squares (Somma dei Quadrati)

24 SS Totale Dati N soggetti e un fattore a K livelli, indichiamo con il pedice i i soggetti e con il pedice j i livelli del fattore. La devianza totale (SS Totale ) è data dalla somma di tutti gli scarti dalla media generale delle osservazioni Y, ogni scarto elevato al quadrato. SS Totale K N j j 1 i 1 ( Y ij Y 2 )

25 SS Fattore Dati N soggetti e un fattore a K livelli, indichiamo con il pedice i i soggetti e con il pedice j i livelli del fattore. La devianza spiegata dal fattore (SS Fattore ), anche detta varianza tra i gruppi, è data dalla somma degli scarti dalla media generale delle medie di ogni gruppo, ogni scarto elevato al quadrato, moltiplicato per il numero di osservazioni registrate per ogni gruppo (N j ). SS Fattore K j 1 N j ( Y j Y 2 )

26 SS Errore Dati N soggetti e un fattore a K livelli, indichiamo con il pedice i i soggetti e con il pedice j i livelli del fattore. La devianza residua (SS Errore ), anche detta varianza entro i gruppi, è data dalla somma degli scarti dalla media di ogni gruppo delle osservazioni Y, ogni scarto elevato al quadrato. SS Errore K N j j 1 i 1 ( Y ij Y j 2 )

27 Formulazione delle ipotesi: ESEMPIO H H 0 1 : µ 1 : i, µ 2 j µ µ i µ 3 j Calcolo delle tre devianze

28 SS Totale A B L Somma

29 SS Totale A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B L ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Somma SS Totale N i K ( Y Y j ij 1 1 )

30 SS Fattore SS Fattore ) ( ) ( ) (17 6 ) ( Fattore K j j j Fattore SS Y Y N SS Medie L B A Y

31 SS Errore A Y i Y j (-2) (-2) 2 4 (-1) i 1 22

32 B SS Errore Y i Y j (-2.67) i

33 L SS Errore Y i Y j (-6) i 1

34 SS Errore SS Errore N K j j 1 i 1 ( Y ij Y j ) 2 SS Errore 2 A + 2 B + 2 L

35 Formulazione delle ipotesi: ESEMPIO H H 0 1 : µ 1 : i, µ 2 j µ µ i µ 3 j Calcolo delle tre devianze SS SS SS Totale Fattore Errore Notare che:

36 ESEMPIO Gradi di libertà: g.d.l. (Totali) N g.d.l. (Fattore) K g.d.l. (Residuo) N - K Calcolo delle medie dei quadrati (Mean of Squares): MS MS MS Totale Fattore Errore SS g. d. l. Totale SS g. d. l. SS g. d. l. Totale Fattore Fattore Errore Errore

37 ESEMPIO Calcolo del valore F F calc MS MS Fattore Errore A questo punto è necessario confrontare il valore calcolato con il valore critico, da ricercare nelle tavole della F. g.d.l. (numeratore) 2 g.d.l. (denominatore) 15

38 ESEMPIO Per α 0.05, si ricava F crit Poiché F calc > F crit, rigetto H 0 : almeno un gruppo di intervistati ha espresso dei giudizi mediamente diversi da quelli espressi dagli altri gruppi.