1 - Matrice delle masse e delle rigidezze

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1 Cilc per tutti gli appunti (AUOMAZIONE RAAMENI ERMICI ACCIAIO SCIENZA delle COSRUZIONI ) per suggerimenti SEMPLICE ESEMPIO NUMERICO DEL MEODO DI ANALISI DINAMICA Si vuole qui chiarire con un semplice esempio numerico il metodo di calcolo accennato nel paragrafo.4 degli appunti riguardanti le AZIONI SISMICHE. Si seguono passo passo i punti indicati. - Matrice delle masse e delle rigidezze Supponiamo che la struttura sia costituita da tre orizzontanti. Sia stata effettuata l analisi dei carichi e sovraccarichi e il calcolo delle masse gravitazionali abbiano fornito i seguenti risultati: Orizzontamento Massa gravitazionale 5 Si supponga che le masse possano essere considerate concentrate ai piani; in tal modo si ottiene per esse la matrice diagonale: M I Si supponga di aver determinato la matrice delle rigidezze, ottenendo: (.) K (.) - Determinazione dei modi come autosoluzioni del determinante caratteristico Nel secondo punto del paragrafo.4 si è rilevato come nel sistema oscillante a n gradi di libertà, in assenza del forzante ( M u g ), e considerando nulli i coefficienti di smorzamento viscoso ( C ), per la determinazione delle oscillazione libere del sistema denominate modi, si ottenga l espressione matriciale: M u + K u Si è spiegato poi come, considerando le particolari oscillazioni ω possibili con cui le masse, sui diversi piani, possano vibrare con lo stesso periodo,come se fossero parti di una stessa verga elastica, si ottenga il seguente sistema omogeneo a n equazioni a n incognite: ω M + K Φ (.) Questo ponendo ω λ, dividendo ogni equazione per la propria massa, e indicando con I la matrice unitaria, si può impostare nella forma più conveniente: M K λ I Φ (.) L espressione (.) è un sistema omogeneo avente come incognite le componenti ( Φ, Φ,.., Φ i,., Φ n ) del vettore Φ. Esso ammette soluzioni solamente se il determinante dei coefficienti è nullo. Quindi occorre che risulti nullo il determinante della matrice moltiplicativa del vettore Φ

2 M K λ I (.) questo è il determinante caratteristico della matrice quadra n n M K, che, uguagliato a zero, determina l equazione caratteristica che fornisce le n soluzioni proprie λ, λ..., λ i,.. λ n, le cui radici quadre rappresentano le oscillazioni proprie (modi) del sistema oscillante. Consideriamo così la matrice fattore del vettore Φ K ω M ω 5 K ω M ω 5 Ponendo ω λ, dividendo ciascuna equazione della (.) uguagliata a zero per la rispettiva massa, si ottiene il sistema omogeneo nella forma (.), il cui determinante uguagliato a zero è: M 6 λ 7 K λ I 5 9 λ 48 (.4) 48 λ Si ottiene l equazione caratteristica: 6 λ 9 λ λ λ 7 5 λ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 6 λ ) da cui si ottiene l equazione di terzo grado: λ + 6 λ 476 λ (.5) l equazione ammette tre soluzioni proprie reali e distinte: alta si ha: λ λ λ 84,68 5,8 65,8 (.6) da cui si ricavano i modi di vibrare ω λ. Ordinandoli dalla frequenza più bassa alla più ω ω ω dalle pulsazioni si ottengono i periodi.69 s.7 s.54 s s (.7) π sostituendo le (.7) si ha: ω - Determinazione degli autovalori, componenti del autovettore Φ Il sistema omogeneo (.) ammette autovalori quando si sostituisce al parametro λ ognuna delle autosoluzioni λ ( λ, λ λ ) determinate, che rendono nullo il determinante dei, (.8)

3 coefficienti delle incognite. Queste sono le componenti Φ i del vettore Φ del modo -esimo di vibrazione (di pulsazione ω ), che costituiscono la distribuzione delle intensità relative del modo considerato su ciascun piano i-esomo. Così sostituendo al parametro λ il valore proprio λ si ottiene il sistema omogeneo a equazioni a incognite: Φ M K λ I Φ Φ Φ Esso ammette autovalori in quanto il valore di λ sostituito rende nullo il determinante dei coefficienti. Gli autovalori si ottengono fissando arbitrariamente il valore di una incognita, ad esempio Φ, e ricavando dalle - equazioni indipendenti le restanti incognite Φ, Φ Φ Φ + 7 notare: indice si riferisce al modo di vibrazione 5 Φ Φ 48 indice si riferisce al piano I valori ottenuti si normalizzano rispetto al valore massimo, dividendo per questo tutti i valori determinati; così il valore massimo ha il valore e una frazione di questo gli altri. Si ottiene: Φ, Φ. 58, Φ. 5 Lo stesso procedimento si esegue per determinare gli autovalori, componenti rispettivi del vettore Φ del secondo modo di vibrazione e Φ del terzo modo. Si ottiene:.6.55 Φ.58 (.).5 Φ. (.) 4 - Determinazione del fattore di partecipazione γ Φ (.).99 Le oscillazioni libere del sistema a n gradi di libertà sono quei particolari modi di vibrare con cui i vari orizzontammenti non oscillano indipendentemente l uno dall altro, ma contemporaneamente con un periodo bene definito, come se fossero elementi appartenenti ad una stessa verga elastica vincolata alla base. Esse costituiscono i modi principali del sistema. L importanza di esse è che, una qualunque deformazione, assunta per effetto della forzante, può essere descritta come combinazione lineare dei modi principali di vibrare. I modi principali non partecipano con la stessa intensità nella combinazione che determina la deformazione effettiva e le relative spinte. Il modo principale a più basa pulsazione (periodo più alto) ha un peso maggiore delle altre vibrazioni, la cui influenza diminuisce all aumentare della frequenza (al diminuire del periodo). Per questo si definisce un coefficiente di partecipazione modale γ che tiene conto dell influenza del modo -esimo, di pulsazione ω, alla determinazione effettiva dello spostamento e alla spinta sismica in una determinata direzione R. Il fattore di partecipazione modale γ è espresso dalla relazione: M M Φ R γ (4.) con ~ M Φ M Φ (4.) ove Φ è l autovettore relativo al modo -esimo di pulsazione ω, rappresentato dalla matrice colonna dei suoi componenti Φ, Φ,.., Φ,., Φ n relativi ai singoli piani;

4 4 Φ è la matrice trasposta di Φ composta dalla riga dei suoi componenti; M matrice diagonale delle masse; R è il vettore direzionale di influenza del terremoto. Nel caso che si supponga che il sisma agisca nella stessa direzione dei gradi di libertà, il vettore R è un vettore colonna composto da tutti. Il fattore di partecipazione modale γ si pone come termine moltiplicativo nelle formule di determinazione delle spinte sismiche sui piani, relative al modo -esimo di pulsazione ω 4. - Determinazione dell espressione M nei tre modi Dai valori delle componenti ottenute per i tre vettori Φ, Φ, Φ riportate in (.), (.), (.) si ricava per ogni modo il valore numerico di..- Primo modo autovettore Φ M M M.58.5 M ; (si noti che si ottiene come risultato uno scalare ) M Φ.58.5 M Secondo modo autovettore Φ.6. M M Φ M M 4..- erzo modo 74. autovettore Φ M M, M Φ M

5 5 Riassumendo: M M 74. M 4 (4.) 4. - Determinazione dell espressione Φ M R nei tre modi Il vettore R è rappresentato da una matrice colonna composto da tutti, considerando che il sisma agisca nella stessa direzione dei gradi di libertà. Per i tre modi si ha: 4..- Primo modo autovettore Φ M R.58.5 M R.58.5 M R Secondo modo autovettore Φ 4..- erzo modo M R.6. M R.6. M R autovettore Φ,55.99 M R M R M R 7. 5 Riassumendo: M R 78.5 M R. 75 M R 7. 5 (4.4) 5 Sostituendo le espressioni (4.) e (4.4) nella (4.) si ottengono i coefficiente di partecipazione nei tre modi: M R 78.5 M R.75 M R 7.5 γ. γ γ M M M

6 6 γ. γ. 44 γ. 5 (4.5) ~ 5 - Determinazione delle masse modali partecipanti M Come si è detto i modi di vibrazione non partecipano con la stessa efficacia alla deformazione o alla spinta sismica: il modo a minore frequenza ha maggiore influenza rispetto alle altre, interessando una più grande massa partecipante all oscillazione. Per determinare il contributo del modo all azione sismica complessiva ci si riferisce alla ~ massa partecipante M alla vibrazione di quel modo, o meglio alla sua % rispetto alla massa totale. La massa partecipante è data dalla espressione ~ ~ ( Φ M R ) M γ M oppure M (5.) Φ M Φ per i tre modi si sono già determinati i seguenti valori: 65.5 M J 74. γ Primo modo M ~ Secondo modo 5. - erzo modo 5%. M ~ 9.96 M ~ M ~ 4. M ~ M ~ 6.5 Massa totale partecipante: M ~ M ~ + M ~ + M ~ M ~ tot 4.76 Massa % partecipante dei tre modi: ~ M ~ % M ~M ( ) tot tot 9.96 M ~ % 8.87% M ~ %.46% (5.) M ~ % 5.66% 4.76 Esaminati i valori percentuali ottenuti per le masse partecipanti, nessuna di essi è inferiore al 6 - Determinazione delle pseudo-accelerazioni dei tre modi Volendo completare il semplice esercizio proposto, incentrato per sommi capi sul procedimento di calcolo modale, supponiamo di aver già determinato i parametri riguardanti la pericolosità sismica del sito, a in funzione delle coordinate geografiche e del periodo di g, C,

7 7 ritorno R riferito ad uno stato limite S.L.U; di avere già calcolati i tre periodi B, C, D che separano i quattro rami dello spettro in accelerazione, in funzione di C. Inoltre sia stato determinato fattore S, che tiene conto della categoria di sottosuolo (con il parametro S S ) e delle condizioni topografiche (con il parametro S ). Supponiamo inoltre, considerato il tipo di costruzione, di avere già determinato il fattore di struttura q. Per una più puntuale determinazione dei su citati parametri analizza l esercizio di Analisi lineare statica del file Semplice esercizio sull analisi lineare statica in preparazione. Siano rilevati i seguenti parametri: nella tabella dell allegato B, in corrispondenza del codice di identificazione ID si siano rilevati: g. 4 e l accelerazione espressa in : a g. L accelerazione del suolo in m / s è Siano: a g.5.4 S. 5.5 s B C.5 s m/s 9.8 a g..5 m / s D, s q 5.88 I periodi propri calcolati per i tre modi sono:.68 s.7 s.54 s Risulta: Primo modo C C < < D Sd( ) ag S q Secondo modo < B C.5 S d (.68) S d m s (6.) ( ) / < S ( ) a S erzo modo < B C d g q S d (.7) S d.7.5 m s (6.) ( ) / < S ( ) a S d g q S d (.54) S d.54.5 m s (6.) ( ) / 7 - Determinazione delle forze modali i Si vuole ora determinare, per ogni modo di vibrazione e su ogni orizontamento della struttura, la spinta sismica. Questa è una forza d inerzia (massa accelerazione), nella quale occorre

8 8 considerare l entità della componente di piano dell autovettore Φ e il coefficiente γ di partecipazione modale. La distribuzione della spinta sismica sui diversi piani si ottiene ponendo come termine moltiplicativo la componente di piano Φ i dell autovettore Φ del modo -esimo (l indice si riferisce al modo e i si riferisce al piano). L influenza del modo alla spinta sismica è ottenuta ponendo come termine moltiplicativo il coefficiente γ di partecipazione modale. L accelerazione è data dall ordinata dello spettro di progetto S d ( ) riferita al modo -esimo di periodo naturale. i M i Φ i γ Sd ( ) (7.) 5. - Primo modo.68 s M 5 Φ γ ( ) S d s m / Si ottiene: Spinta terzo piano Spinta secondo piano Spinta primo piano aglio alla base V tot 79.4 (7.) 5. - Secondo modo.7 s M.6 Φ.. 44 γ ( ) S d s.7.5 m / Si ottiene: Spinta terzo piano Spinta secondo piano Spinta primo piano aglio alla base V tot 7. (7.) 5. - erzo modo.54 s M,55 Φ γ ( ) S d s.54.5 m / Si ottiene:

9 9 Spinta terzo piano Spinta secondo piano.5. 5 Spinta primo piano aglio alla base V tot 7.77 (7.4) Spinte sismiche di piano Piani Modi di vibrazione Modo Modo Modo piano piano piano aglio alla base Combinazione degli effetti relativi ai singoli modi Si consideri, come esempio di combinazione degli effetti, il valore progettuale da assumere per il taglio V alla base a cui contribuiscono i singoli modi. Si rammenta che nel DM 8 (punto 7...) per la combinazione degli effetti relativi ai singoli modi è utilizzata una combinazione quadratica completa C.Q.C (Complete Quadratic Combination) degli effetti relativi a ciascun modo, indicata dalla espressione: dove: i E E i m ρ i m m E ρ i Ei E (8.) i indice del modo i-esimo; indice del modo -esimo; effetto relativo al modo i-esimo; effetto relativo al modo -esimo; numero di modi significativi presi in considerazione; coefficiente di correlazione tra il modo i-esimo e il modo -esimo, calcolato con l espressione: / 8ξ i ρ i + + 4ξ (8.) ( ) ( ) i [ ] i i i è il rapporto tra l inverso dei periodi di ciascuna coppia i- di modi: il rapporto tra la pulsazione del modo i-esimo e il modo -esimo. i i ; ossia è Nel caso i esame gli effetti da combinare, ciascuno a meno del fattore, sono i tre tagli: V 79.4 V 7. V Con la combinazione quadratica completa C.Q.C, il taglio da porre a progetto è fornito dalla espressione :

10 Modi V ρ ivi i (8.) ξ. 5 si ottiene: ecc. vedere tabella si calcolano i parametri ρ i. Così per esempio:. ρ ( ) (.9758) Periodo s [ ] aglio alla base i.. ecc. vedere tabella Modo ρ. Modo ρ.9746 Modo ρ ρ ρ..577 ρ ρ ρ.88. ρ. ρ i Sviluppando l espressione (8.) si ha: V ( ρ + ρ + ρ ) + ρ + ρ + ρ + ρ V ρ + ρ + ρ sostituendo i valori riportati in tabella si ottiene: + ρ + ρ + V 8.768