Costruzioni in zona sismica

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1 Costruzioni in zona sismica Lezione 7 Sistemi a più gradi di libertà

2 Il problema dinamico viene formulato con riferimento a strutture con un numero finito di gradi di libertà. Consideriamo le masse concentrate nei nodi o ai piani della struttura (masse concentrate). Questo implica un numero limitato di gradi di libertà dinamici.

3 Equazioni del moto Caso 1 telaio shear-type a due piani Il telaio è soggetto a forze esterne dinamiche: p 1 (t), p 2 (t) Trascuriamo la deformazione assiali di travi e colonne e consideriamo le travi rigide flessionalmente Le masse sono assunte concentrate a livello di piano

4 Equations of motion. Caso 1: telaio shear type a due piani I gradi di libertà del sistema (cioè il numero di spostamenti indipendenti richiesti per definire la posizione deformata di tutte le masse rispetto alla configurazione indeformata) sono due: u 1,u 2.

5 Equazioni del moto Caso 1 telaio shear type a due piani Equazioni del moto utilizzando la seconda legge di Newton. p ( t) f f m u m u f f p ( t) j Dj Sj j j dove j=1, 2 j j Dj Sj j

6 Equazioni del moto Caso 1 telaio shear type a due piani Equazioni del moto utilizzando la seconda legge di Newton m1 u1 fd1 fs1 p1( t) m2 u2 fd 2 fs 2 p2( t)

7 Equazioni del moto Caso 1 telaio shear type a due piani Equazioni del moto utilizzando la seconda legge di Newton In forma matriciale m1 0 u1 fd1 fs1 p1( t) 0 m u f f p ( t) 2 2 D 2 S 2 2

8 Equazioni del moto Caso 1 telaio shear type a due piani in forma matriciale compatta mu+f +f =p(t) D S

9 Equazioni del moto Caso 1 telaio shear type a due piani mu+f +f =p(t) D S m1 0 0 m 2 1 (mass matrix) u u f D 1 2 f D 2 f S 1 f S 2 p1 ( t ) p2( t )

10 Equazioni del moto Caso 1 telaio shear type a due piani Equazioni del moto Forze elastiche Assumendo un comportamento lineare del laio, f s introducendo la rigidezza laterale di piano k j. dipende dagli spostamenti u Infatti, il taglio V j ad ogni piano risulta: V k ( u u ) k j j j j 1 j j dove j è lo spostamento relativo.

11 Equazioni del moto Caso 1 telaio shear type a due piani Equazioni del moto Forze elastiche Sulla base di queste considerazioni segue: a b f S f f f S 1 ku 1 1 k2( u1 u2) 1 S 1 S 1 f S 2 S f k ( u u ) Il taglio ha segno opposto In forma matriciale: f S 1 k1 k2 k2 u1 f k k u S f s ku Matrice di rigidezza del sistema

12 Equazioni del moto Caso 1 telaio shear type a due piani Equazioni del moto Forze di smorzamento Le forze di smorzamento sono funzione della velocità In altre parole, i coefficienti di smorzamento di piano c j sono relativi al taglio di piano V j dovuti agli effetti della velocità associata alla deformazione di piano: j V c ( u u ) c j j j j 1 j j f cu c ( u u ) D f c ( u u ) D

13 Equazioni del moto Caso 1 telaio shear type a due piani Forze di smorzamento In forma matriciale f D 1 c1 c2 c2 u 1 f c c u D f D cu Matrice di smorzamento del sistema

14 Equazioni del moto Caso 1 telaio shear type a due piani In accordo alla definizione di forza elastica e di forza di smorzamento, le equazioni del moto assumono la seguente forma: mu cu ku pt ( ) Sono due equazioni differenziali ordinarie negli spostamenti u 1 (t), u 2 (t) del sistema soggetto alle forze esterne. In aggiunta le due equazioni sono accoppiate.

15 Equazioni del moto Caso 1 telaio shear type a due piani Le equazioni del moto possono essere dedotte anche utilizzando il principio di D Alambert s, introducendo le forze d inerzia f I,1,f I,2 e derivando le altre componenti sulla base delle stesse assunzioni. mu cu ku pt ( )

16 Equazioni del moto Le equazioni del moto possono essere derivate anche con riferimento alla classica schematizzazione utilizzando semplici equilibri.. mu 1 1 cu 1 c2( u 2 u 1) ku 1 1 k2( u2 u1) p1( t) mu 2 2 c2( u 2 u 1) k2( u2 u1) p2( t)

17 Equazioni del moto Esempio Scrivere le equazioni del moto del telaio shear type in figura trascurando la deformazione assiale.

18 Equazioni del moto massa rigidezza

19 Equazioni del moto Equazioni governanti

20 Approccio generale per sistemi lineari Il sistema può essere idealizzato come combinazione di tre elementi separati: 1) Componente rigidezza 2) Componente smorzamento 3) Componente massa

21 Approccio generale per sistemi lineari 1-discretizzazione Una struttura può essere idealizzata come un assemblaggio di elementi interconnessi nei nodi. Gli spostamenti dei nodi sono i gradi di libertà Le forze esterne applicate dinamicamente proprio nei nodi I momenti esterni sono nulli in molti casi pratici

22 Approccio generale per sistemi lineari 2-FORZE ELASTICHE Queste forze sono correlate alla componente di rigidezza con gli spostamenti.

23 Approccio generale per sistemi lineari 2-FORZE ELASTICHE I coefficienti di rigidezza Kij sono derivati applicando uj=1 e tenendo fermi gli altri nodi La forza relativa al grado di libertà i sarà pari a:

24 Approccio generale per sistemi lineari 2-FORZE ELASTICHE L insieme delle N equazioni può essere scritto in forma matriciale: O nella forma compatta:

25 Approccio generale per sistemi lineari 3-FORZE DI SMORZAMENTO I coefficienti di smorzamento cij possono essere determinati imponendo una velocità unitaria lungo il grado di libertà j ponendo pari a zero le altre velocità

26 Approccio generale per sistemi lineari 3-forze di smorzamento Il set di N equazioni può essere scritto in forma matriciale: o in forma compatta:

27 Approccio generale per sistemi lineari 4-forze d inerzia I coefficienti relativi alle masse mij possono essere determinati imponendo un accelerazione unitaria lungo il grado di libertà j e annullando le altre accelerazioni

28 Approccio generale per sistemi lineari 4-forze d inerzia Il set di N equazioni può essere scritta in forma matriciale: O in forma compatta:

29 Approccio generale per sistemi lineari 4-forze d inerzia Nella realtà la massa è diffusa negli elementi, ma può essere idealizzata come masse concentrate nei nodi di una struttura discretizzata.

30 Approccio generale per sistemi lineari 4-forze d inerzia L inerzia rotazionale ha un influenza trascurabile sulla dinamica in molte applicazioni pratiche. Le masse concentrate nei nodi sono associate con tutti I gradi di libertà traslazionali del nodo.

31 Approccio generale per sistemi lineari Equazioni del moto Tenendo conto delle forze associate agli spostamenti, velocità ed accelerazioni, si possono derivare le equazioni del moto: Il sistema di N equazioni differenziali ordinarie per ricavare gli spostamenti u(t) indotti dalle forze p(t). I termini fuori diagonale sono noti ed accoppiati. L accoppiamento dipende dalla scelta dei gradi di libertà.

32 esempio Scrivere le equazioni del moto del telaio riportato in figura

33 Il sistema ha sei gradi di libertà: spostamenti laterali e rotazioni. Il vettore degli spostamenti è:

34 La matrice delle masse è la seguente:

35 La matrice di rigidezza risulta :

36 Il vettore delle forze applicate risulta:

37 Le equazioni del moto sono:

38 CONDENSAZIONE STATICA Questo metodo è utilizzato per eliminare quei gradi di libertà ai quali corrisponde massa nulla. Trascurando le deformazioni assiali: 8 gradi di libertà

39 CONDENSAZIONE STATICA I gradi di libertà rotazionali possono essere eliminati dall analisi dinamica in quanto non ci sono forze esterne duali ai gradi di libertà rotazionali

40 CONDENSAZIONE STATICA Le equazioni del moto nel caso di assenza di smorzamento possono essere scritte partizionando le matrici: dove u 0 indica I gradi di libertà con massa nulla e u t i gradi di libertà rimanenti.

41 CONDENSAZIONE STATICA Le due equazioni che ne derivano sono: Poichè non ci sono forze esterne associatecon u 0, può essere ricavata la seguente relazione tra u 0 e u t : Sostituendo questo risultato si ottiene:

42 CONDENSAZIONE STATICA Matrice di rigidezza condensata Appaiono solo i gradi di libertà dinamici.

43 Scrivere le equazioni del moto utilizzando la condensazione statica.

44 Vettore degli spostamenti partizionato:

45 Matrice di rigidezza:

46 E la matrice di rigidezza condensata:

47 Matrice delle masse e vettore delle forze partizionati:

48 Equazioni del moto:

49 Moto alla base ug è lo spostamento del suolo u t j è lo spostamento totale della massa j uj è lo spostamento relativo rispetto al suolo

50 Moto alla base Possono essere scritte come vettore: dove 1 è un vettore unitario di ordine N.

51 Moto alla base L equazione di equilibrio dinamico è: Solo gli spostamenti relativi u producono forze elastiche e di smorzamento, mentre le forze di inerzia sono relative all accelerazione totale

52 Moto alla base di conseguenza: N equazioni differenziali di secondo ordine. La matrice di rigidezza è ottenuta dalla condensazione

53 Moto alla base Il moto alla base può essere trasformato in forze:

54 Moto alla base Derivare le equazioni del moto della struttura in figura (trascurare le deformazioni assiali) EI b m 2 EI c EI= m 1 EI c EI c EI c