Elementi di Teoria dei Sistemi. Definizione di sistema dinamico. Cosa significa Dinamico? Sistema dinamico a tempo continuo

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1 Parte 2, 1 Parte 2, 2 Elementi di Teoria dei Sistemi Definizione di sistema dinamico Parte 2, 3 Sistema dinamico a tempo continuo Cosa significa Dinamico? Parte 2, 4? e` univocamente determinata? Ingresso Uscita Se la risposta e` no Sistema dinamico 1

2 Parte 2, 5 Parte 2, 6 Sistema dinamico a tempo discreto Cosa significa Dinamico?? Ingresso Uscita Se la risposta è no è univocamente determinata? Sistema dinamico La medesima definizione applicata ai sistemi dinamici a tempo continuo Esempio 1) Parte 2, 7 Esempio 3) Parte 2, 8 Non dinamico Esempio 2) Dinamico Dinamico 2

3 Esempio 4) Parte 2, 9 Esempio 5) Parte 2, 10 Le spese nell anno k sono proporzionali al reddito nell anno k Non dinamico Esempio 6) Dinamico Le scorte di magazzino del prossimo mese sono proporzionali alle scorte attuali, alla quantità prodotta e venduta nel mese attuale Dinamico Parte 2, 11 Variabili di stato Parte 2, 12 Variabili da conoscere in per determinare Sistemi dinamici a tempo continuo Analisi e proprietà a partire da Ordine del sistema (variabili di stato) (vettore di stato) 3

4 Parte 2, 13 Parte 2, 14 Attenzione! Non tutti i sistemi dinamici a tempo continuo ammettono una rappresentazione in equazioni di stato! Quelli che la ammettono si dicono sistemi a dimensione finita, oppure sistemi a parametri concentrati. Esempio di sistema a parametri distribuiti Diffusione del calore lungo un corpo omogeneo: consideriamo una barra di materiale omogeneo, di lunghezza l, posta inizialmente a temperatura costante T 0 ed isolata come in figura Esistono casi in cui lo stato al tempo t è costituito da una funzione di una o più variabili [non da un numero finito n di scalari!]. In tal caso si parla di sistemi a dimensione infinita, oppure a parametri distribuiti. Supponiamo poi che all istante iniziale l estremo della barra sia portato e mantenuto a temperatura costante T 1 ( T 0 ) Parte 2, 15 Parte 2, 16 L equazione a una dimensione che descrive l evoluzione della temperatura T(z, t) della barra, lungo la coordinata longitudinale della barra z all istante t èdel tipo: Sistemi dinamici a tempo continuo dove k è la diffusività, c è il calore specifico, ρ è la massa volumica, K è la conduttività termica (equazione di Fourier o di trasmissione del calore nel caso monodimensionale). Se si considera T(z,t) come un vettore di cui la variabile z è l indice, risulta evidente che lo spazio degli stati ha dimensione infinita non numerabile: questa è una tipica caratteristica dei sistemi descritti da equazioni differenziali alle derivate parziali. Eq. di stato Trasf. d uscita 4

5 Parte 2, 17 Parte 2, 18 Usando la notazione vettoriale: Alcune importanti definizioni: - Sistema strettamente proprio se non dipende da - Sistema tempo-invariante (o stazionario) se non dipendono da e per brevita` notazionale scriveremo spesso - Sistema lineare se - Sistema monovariabile (SISO) se sono funzioni lineari in (1 ingresso, 1 uscita) - Sistema multivariabile (MIMO) se e/o (piu` ingressi e/o piu`uscite) Sistemi dinamici a tempo continuo Parte 2, 19 Esempio 1) Parte 2, 20 Non dinamico stato ingresso uscita Non e` necessaria l introduzione di variabili di stato 5

6 Esempio 2) dall elettrotecnica Parte 2, 21 Esempio 2bis) Parte 2, 22 dall elettrotecnica -Primo ordine -SISO -Stazionario -Primo ordine -SISO -Stazionario -Str. proprio -Lineare - Non str. proprio -Lineare Esempio 3) Parte 2, 23 Esempio 4) dalla fisica Parte 2, 24 dalla fisica Ponendo poi -Primo ordine -SISO -Stazionario -Str. proprio -Lineare -Secondoordine -SISO -Stazionario -Str. proprio -Lineare e 6

7 Esempio 5) dalla fisica Parte 2, 25 Rappresentazione di stato Parte 2, 26 Ponendo poi e -Secondoordine -SISO -Stazionario -Str. proprio -Non lineare stato ingresso uscita Scelta delle variabili di stato Parte 2, 27 Un criterio ingegneristico Variabili di stato Grandezze associate ad accumuli di energie, massa, ecc. Parte 2, 28 - Criteri? - La scelta e` univoca? - L ordine e` fissato? - Elettrotecnica - Meccanica Tensioni sui condensatori Correnti negli induttori Posizione Velocita` - Termodinamica Temperatura Entalpia 7

8 Un criterio matematico Parte 2, 29 Esempio Parte 2, 30 Supponiamo di aver ricavato dalla fisica o dall elettrotecnica, o un eq. Differenziale di ordine Si abbia l eq. differenziale di ordine 3 Ponendo Ponendo e e Parte 2, 31 Parte 2, 32 Rappresentazioni di stato equivalenti Movimento dello stato e dell uscita Movimento dello stato Movimento dell uscita 8

9 Parte 2, 33 Parte 2, 34 Calcolo del Movimento Due passi: Osservazione importante: a) Integrazione eq. di stato Per sistemi stazionari e` lecito assumere senza ledere la generalita` b) Sostituzione di nella trasformazione d uscita Esempio Parte 2, 35 a) Integrazione eq. di stato: Parte 2, 36 b) Sostituzione di nella trasformazione d uscita: 9

10 con le trasf. di Laplace: Parte 2, 37 Equilibrio (sistemi stazionari) Parte 2, 38 - Stato di equilibrio movimento costante di con - Gli stati di equilibrio si trovano tutti al variare di - Uscita di equilibrio movimento costante di con Parte 2, 39 Parte 2, 40 Calcolo dell equilibrio Esempio 1) - Risolvere l equazione algebrica - Sostituire nella trasformazione d uscita 10

11 Esempio 2) Parte 2, 41 Esempio 3) Ponendo Parte 2, 42 e Parte 2, 43 Parte 2, 44 Sistemi dinamici a tempo continuo Sistemi lineari stazionari SISO Sistemi dinamici -lineari -stazionari Combinazioni lineari di variabili di stato e del controllo 11

12 Parte 2, 45 Parte 2, 46 Sistemi lineari stazionari SISO Equilibrio (sistemi lineari stazionari) Parte 2, 47 Parte 2, 48 Equilibrio (sistemi lineari stazionari) Equilibrio (sistemi lineari stazionari) Guadagno statico 12

13 Parte 2, 49 Parte 2, 50 Movimento (caso scalare - ) Cenno di dimostrazione: Si segue la procedura seguente: si verifica che l espressione soddisfa l equazione differenziale. In caso affermativo, il teo. di esist. ed unicita`ci permette di concludere la dimostrazione. OK! Ricordiamo: Quindi: OK! con le trasf. di Laplace: Parte 2, 51 Movimento (caso generale - ) Parte 2, 52 usando la proprieta` e la trasformata notevole dove si definisce l esponenziale di matrice 13

14 Parte 2, 53 Parte 2, 54 Formule di Lagrange Formule di Lagrange Movimento libero: dipende da linearmente Movimento forzato: dipende da linearmente Movimento libero: dipende da linearmente Movimento forzato: dipende da linearmente Parte 2, 55 Parte 2, 56 Principio di sovrapp. degli effetti Sistemi lineari stazionari MIMO Nota: la proprieta` vale anche per sistemi non stazionari purche` lineari Le formule valide nel caso SISO si applicano con ovvi cambiamenti 14

15 Parte 2, 57 Parte 2, 58 Rappresentazioni di stato equivalenti Esercizio a casa Dati: Mostrare che: - se il guadagno statico non cambia - se il movimento non cambia Notazione: Parte 2, 59 Parte 2, 60 Linearizzazione Pendenza retta tangente = Definiamo gli scostamenti rispetto all equilibrio: Idea di base: Pendenza retta tangente = 15

16 Parte 2, 61 Parte 2, 62 dove evidentemente: Vediamo la trasformazione d uscita: Parte 2, 63 Parte 2, 64 dove: Sistema linearizzato: 16

17 Esempio Ponendo Parte 2, 65 Quindi: Parte 2, 66 e Poi (tutte queste quantita` non dipendono dallo stato di eq.): Parte 2, 67 Parte 2, 68 Sistemi dinamici a tempo discreto Analisi e proprietà 17

18 Parte 2, 69 Parte 2, 70 Variabili di stato Variabili da conoscere in per determinare Analogamente al caso dei sistemi dinamici a tempo continuo Sistemi dinamici a tempo discreto a partire da Ordine del sistema (variabili di stato) (vettore di stato) Equazioni di stato Trasformazione d uscita Parte 2, 71 Parte 2, 72 Usando la notazione vettoriale: Definizioni: - Sistema strettamente proprio se non dipende da Analogamente al caso dei sistemi dinamici a tempo continuo - Sistema tempo-invariante (o stazionario) se non dipendono da e per brevità di notazione scriveremo a volte - Sistema lineare se - Sistema monovariabile (SISO) se sono funzioni lineari in (1 ingresso, 1 uscita) - Sistema multivariabile (MIMO) se e/o (più ingressi e/o più uscite) 18

19 Parte 2, 73 Parte 2, 74 Sistemi dinamici a tempo discreto Esempio 5) Le spese nell anno k sono proporzionali al reddito nell anno k Non dinamico stato ingresso uscita Non è necessaria l introduzione di variabili di stato Parte 2, 75 Parte 2, 76 Esempio 6) Rappresentazione di stato Le scorte di magazzino del prossimo mese sono proporzionali alle scorte attuali, alla quantità prodotta e venduta nel mese attuale -Primo ordine -MIMO -Stazionario -Str. proprio -Lineare stato ingresso uscita 19

20 Parte 2, 77 Un criterio ingegneristico Parte 2, 78 Scelta delle variabili di stato - Criteri? - La scelta è univoca? Variabili di stato Grandezze associate ad accumuli di - L ordine è fissato? Cfr. le considerazioni fatte per le variabili di stato dei sistemi dinamici a tempo continuo Cfr. le considerazioni fatte per le variabili di stato dei sistemi dinamici a tempo continuo Un criterio matematico Supponiamo di aver ricavato un eq. alle differenze di ordine Parte 2, 79 Utilizzando le variabili di stato appena definite è possibile scrivere Parte 2, 80 Associamo ai valori passati della successione incognita le variabili di stato (n per la precisione) nel modo seguente 20

21 Esempio Si abbia l eq. alle differenze di ordine 3 Parte 2, 81 Proviamo a risolvere l eq. alle differenze a partire dall istante k=0, con condizioni iniziali Parte 2, 82 Ponendo e e come segnale {u(k)} utilizziamo un gradino unitario (sempre applicato a partire dall istante k=0). La sequenza {w(k)} allora è Parte 2, 83 Parte 2, 84 Proviamo a risolvere in modo ricorsivo l eq. alle differenze utilizzando le equazioni di stato con condizioni iniziali Per come abbiamo definito le variabili di stato, i valori all istante k=0 di x 1, x 2 e x 3 coincidono con i valori w(-1), w(-2), w(-3) della sequenza {w(k)}. 21

22 Parte 2, 85 Parte 2, 86 Rappresentazioni di stato equivalenti Movimento dello stato e dell uscita Movimento dello stato Movimento dell uscita Parte 2, 87 Parte 2, 88 Calcolo del Movimento Due passi: Osservazione importante: a) soluzione eq. di stato Per sistemi stazionari è lecito assumere b) Sostituzione di nella trasformazione d uscita senza ledere la generalità 22

23 Esempio Vogliamo determinare il movimento dello stato per il sistema Parte 2, 89 Parte 2, 90 supponendo che Utilizzo la Z-Trasformata! Il movimento dell uscita coincide con quello dello stato. Parte 2, 91 Parte 2, 92 Equilibrio (sistemi stazionari) Calcolo dell equilibrio - Risolvere l equazione algebrica - Stato di equilibrio movimento costante di con -Sostituire nella trasformazione d uscita - Gli stati di equilibrio si trovano tutti al variare di - Uscita di equilibrio movimento costante di con 23

24 Esempio 6) Parte 2, 93 Consideriamo ancora il sistema lineare MIMO Esempio 7) Consideriamo il sistema SISO non lineare Parte 2, 94 Se succede che: allora In particolare Parte 2, 95 Parte 2, 96 Analogamente al caso dei sistemi dinamici a tempo continuo Sistemi dinamici a tempo discreto Sistemi lineari stazionari SISO Sistemi dinamici a tempo discreto che ammettono equazioni di stato Sistemi dinamici -lineari -stazionari Combinazioni lineari di variabili di stato e del controllo 24

25 Parte 2, 97 Parte 2, 98 Sistemi lineari stazionari SISO Equilibrio (sistemi lineari stazionari) Parte 2, 99 Parte 2, 100 Equilibrio (sistemi lineari stazionari) Equilibrio (sistemi lineari stazionari) Guadagno statico 25

26 Parte 2, 101 Parte 2, 102 Movimento (caso scalare - ) Cenno di dimostrazione: Per semplice sostituzione, partendo da Ricordiamo: Quindi: con le Z-trasformate: Parte 2, 103 Z-Trasformata di un vettore Parte 2, 104 usando la proprietà e la trasformata notevole 26

27 Parte 2, 105 Parte 2, 106 Movimento (caso generale - ) Movimento dello stato Lo si confronti con l analogo risultato per i sistemi dinamici lineari tempo-invarianti a tempo continuo Movimento libero: dipende da linearmente Movimento forzato: dipende da linearmente Parte 2, 107 Parte 2, 108 Movimento dell uscita Principio di sovrapp. degli effetti Movimento libero: dipende da linearmente Movimento forzato: dipende da linearmente Nota: la proprietà vale anche per sistemi non stazionari purché lineari. 27

28 Parte 2, 109 Parte 2, 110 Sistemi lineari stazionari MIMO Rappresentazioni di stato equivalenti Le formule valide nel caso SISO si applicano con ovvi cambiamenti. Notazione: Parte 2, 111 Parte 2, 112 Esercizio per casa Linearizzazione Considerare due descrizioni in equazioni di stato equivalenti per un sistema dinamico lineare a tempo discreto Idea di base: vogliamo studiare il comportamento di un sistema dinamico a tempo discreto, non lineare, nell intorno di una condizione d equilibrio, descritta da Mostrare che: - se il guadagno statico non cambia - se il movimento non cambia 28

29 Parte 2, 113 Parte 2, 114 Definiamo gli scostamenti rispetto all equilibrio: dove evidentemente: Parte 2, 115 Parte 2, 116 Vediamo la trasformazione d uscita: dove: 29

30 Sistema linearizzato: Parte 2, 117 Esempio Consideriamo ancora il sistema SISO non lineare Parte 2, 118 Determiniamo le espressioni dei sistemi linearizzati in corrispondenza dell ingresso e degli stato d equilibrio considerati. Quindi: Parte 2, 119 Parte 2,

31 Poi (tutte queste quantità non dipendono dallo stato di eq.): Parte 2,