Corso di Controllo Digitale Equazioni alle Differenze e Z-trasformate a
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- Tommasa Zanetti
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1 Corso di Controllo Digitale Equazioni alle Differenze e Z-trasformate a Università degli Studi della Calabria Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica. Ing. Domenico Famularo a Proprietà Letteraria Riservata Istituto per la Sistemistica e l Informatica Consiglio Nazionale delle Ricerche Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.1/21
2 Equazioni alle differenze finite con ritardo Un altro modo per descrivere la relazione esistente fra ingresso e uscita in un sistema dinamico è quello di utilizzare le equazioni alle differenze finite. Un equazione alle differenze finite con ritardo esprime una relazione fra l uscita ed i suoi ritardi di ordine n, con l ingresso ed i suoi ritardi di ordine m f r (y t, y t 1, y t 2,..., y t n ) = g r (u t, u t 1, u t 2,..., u t m ) Non sono necessarie condizioni iniziali per la determinazione della soluzione. Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.2/21
3 Equazioni alle differenze finite con anticipo Un equazione alle differenze finite con anticipo esprime una relazione fra l uscita ed i suoi anticipi di ordine n, con l ingresso ed i suoi anticipi di ordine m f a (y t+n, y t+n 1, y t+n 2,..., y t ) = g a (u t+m, u t+m 1, u t+m 2,..., u t ) l ordine dell anticipo dell uscita (n in questo caso) determina l ordine dell equazione alle differenze. In questo tipo di formulazione è necessario conoscere le condizioni iniziali y 0, y 1, y 2,..., y n 1 onde poter calcolare la soluzione. Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.3/21
4 Ritardo vs. Anticipo Ritardo f r (y t, y t 1, y t 2,..., y t n ) = g r (u t, u t 1, u t 2,..., u t m ) Anticipo f a (y t+n, y t+n 1, y t+n 2,..., y t ) = g a (u t+m, u t+m 1, u t+m 2,..., u t ) 1. Nella formulazione con i ritardi l istante attuale é t; Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.4/21
5 Ritardo vs. Anticipo Ritardo f r (y t, y t 1, y t 2,..., y t n ) = g r (u t, u t 1, u t 2,..., u t m ) Anticipo f a (y t+n, y t+n 1, y t+n 2,..., y t ) = g a (u t+m, u t+m 1, u t+m 2,..., u t ) 1. Nella formulazione con i ritardi l istante attuale é t; 2. Nella formulazione con gli anticipi l istante attuale é t + n; Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.4/21
6 Ordine di un equazione alle differenze con ritardo Si definisce ordine di un equazione alle differenze con ritardo il valore più grande fra il massimo ritardo dell uscita (n) ed il massimo ritardo degli ingressi (m). Ordine := max(n, m) Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.5/21
7 Equazioni alle differenze lineari a coefficienti costanti Nel caso di sistemi lineari tempo-invarianti l equazione alle differenze assume la seguente forma a coefficienti costanti Ritardo α 0 y t + α 1 y t α n y t n = β 0 u t + β 1 u t β m u t m Anticipo α 0 y t+n + α 1 y t+n α n y t = β 0 u t+m + β 1 u t+m β m u t I coefficienti α i, β i, i = 0,..., n sono costanti al variare del tempo (Tempo-Invarianza). In generale si suppone che α 0 0 e, in entrami i casi, possiamo dividere primo e secondo membro per α 0. Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.6/21
8 Equazioni alle differenze lineari a coefficienti costanti Nel caso di sistemi lineari tempo-invarianti l equazione alle differenze assume la seguente forma a coefficienti costanti Ritardo y t + α 1 α 0 y t α 1 α 0 y t n = β 0 α 0 u t + β 1 α 0 u t β m α 0 u t m Anticipo y t+n + α 1 α 0 y t+n α n α 0 y t = β 0 α 0 u t+m + β 1 α 0 u t+m β m α 0 u t Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.6/21
9 Equazioni alle differenze lineari a coefficienti costanti Nel caso di sistemi lineari tempo-invarianti l equazione alle differenze assume la seguente forma a coefficienti costanti Ritardo y t + n i=1 α i α 0 y t i = m j=0 β j α 0 u t j Anticipo y t+n + n i=1 α i α 0 y t+n i = m j=0 β j α 0 u t+m j Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.6/21
10 Equazioni alle differenze lineari a coefficienti costanti Nel caso di sistemi lineari tempo-invarianti l equazione alle differenze assume la seguente forma a coefficienti costanti Ritardo y t + n a i y t i = m b j u t j i=1 j=0 Anticipo y t+n + n a i y t+n i = m b j u t+m j i=1 j=0 se indichiamo con a i := α i α 0, i = 1,..., n b i := β i α 0, i = 0,..., m Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.6/21
11 Equazioni alle differenze lineari a coefficienti costanti Nel caso di sistemi lineari tempo-invarianti l equazione alle differenze assume la seguente forma a coefficienti costanti Ritardo n y t = a i y t i + i=1 m j=0 b j u t j Anticipo n y t+n = a i y t+n i + i=1 m j=0 b j u t+m j Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.6/21
12 Equazioni alle differenze lineari a coefficienti costanti Nel caso di sistemi lineari tempo-invarianti l equazione alle differenze assume la seguente forma a coefficienti costanti Ritardo n y t = a i y t i + i=1 m j=0 b j u t j Anticipo n y t+n = a i y t+n i + i=1 m j=0 b j u t+m j 1. il primo addendo del secondo membro ( n i=1 a i y t i o n i=1 a i y t+n i ) viene chiamato parte autoregressiva dell equazione alle differenze (AR) Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.6/21
13 Equazioni alle differenze lineari a coefficienti costanti Nel caso di sistemi lineari tempo-invarianti l equazione alle differenze assume la seguente forma a coefficienti costanti Ritardo n y t = a i y t i + i=1 m j=0 b j u t j Anticipo n y t+n = a i y t+n i + i=1 m j=0 b j u t+m j 1. il primo addendo del secondo membro ( n i=1 a i y t i o n i=1 a i y t+n i ) viene chiamato parte autoregressiva dell equazione alle differenze (AR) 2. il secondo addendo del secondo membro ( m j=0 b j u t j o m j=0 b j u t+m j ) viene chiamato parte a media mobile dell equazione alle differenze (MA) Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.6/21
14 Equazioni alle differenze lineari a coefficienti costanti Nel caso di sistemi lineari tempo-invarianti l equazione alle differenze assume la seguente forma a coefficienti costanti Ritardo n y t = a i y t i + i=1 m j=0 b j u t j Anticipo n y t+n = a i y t+n i + i=1 m j=0 b j u t+m j 1. il primo addendo del secondo membro ( n i=1 a i y t i o n i=1 a i y t+n i ) viene chiamato parte autoregressiva dell equazione alle differenze (AR) 2. il secondo addendo del secondo membro ( m j=0 b j u t j o m j=0 b j u t+m j ) viene chiamato parte a media mobile dell equazione alle differenze (MA) 3. Un equazione alle differenze è anche chiamata modello ingresso-uscita ARMA Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.6/21
15 Un Esempio Assegnata la seguente equazione lineare alle differenze con ritardo del primo ordine y(t) a y(t 1) = u(t), a IR vogliamo determinarne la soluzione quando l ingresso u(t) è l impulso discreto unitario δ(t). In altre parole, vogliamo determinare la risposta impulsiva di un sistema a tempo discreto lineare tempo-invariante retto dalla precedente equazione alle differenze. Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.7/21
16 Un Esempio y(t) = a y(t 1) + δ(t) Tempo u(t) y(t) Operazione y( 1) = 0 Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.7/21
17 Un Esempio y(t) = a y(t 1) + δ(t) Tempo u(t) y(t) Operazione y( 1) = y(0) = a y( 1) + δ(0) = a Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.7/21
18 Un Esempio y(t) = a y(t 1) + δ(t) Tempo u(t) y(t) Operazione y( 1) = y(0) = a y( 1) + δ(0) = a a y(1) = a y(0) + δ(1) = a Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.7/21
19 Un Esempio y(t) = a y(t 1) + δ(t) Tempo u(t) y(t) Operazione y( 1) = y(0) = a y( 1) + δ(0) = a a y(1) = a y(0) + δ(1) = a a 2 y(2) = a y(1) + δ(2) = a a + 0 Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.7/21
20 Un Esempio y(t) = a y(t 1) + δ(t) Tempo u(t) y(t) Operazione y( 1) = y(0) = a y( 1) + δ(0) = a a y(1) = a y(0) + δ(1) = a a 2 y(2) = a y(1) + δ(2) = a a a 3 y(3) = a y(2) + δ(3) = a a Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.7/21
21 Un Esempio y(t) = a y(t 1) + δ(t) Tempo u(t) y(t) Operazione y( 1) = y(0) = a y( 1) + δ(0) = a a y(1) = a y(0) + δ(1) = a a 2 y(2) = a y(1) + δ(2) = a a a 3 y(3) = a y(2) + δ(3) = a a a 4 y(4) = a y(3) + δ(4) = a a Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.7/21
22 Un Esempio y(t) = a y(t 1) + δ(t) Tempo u(t) y(t) Operazione y( 1) = y(0) = a y( 1) + δ(0) = a a y(1) = a y(0) + δ(1) = a a 2 y(2) = a y(1) + δ(2) = a a a 3 y(3) = a y(2) + δ(3) = a a a 4 y(4) = a y(3) + δ(4) = a a a 5 y(5) = a y(4) + δ(5) = a a Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.7/21
23 Un Esempio y(t) = a y(t 1) + δ(t) Tempo u(t) y(t) Operazione y( 1) = y(0) = a y( 1) + δ(0) = a a y(1) = a y(0) + δ(1) = a a 2 y(2) = a y(1) + δ(2) = a a a 3 y(3) = a y(2) + δ(3) = a a a 4 y(4) = a y(3) + δ(4) = a a a 5 y(5) = a y(4) + δ(5) = a a a 6 y(5) = a y(4) + δ(5) = a a Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.7/21
24 Un Esempio - Conclusioni 1. La risposta impulsiva dell equazione alle differenze y(t) a y(t 1) = u(t) è pari alla successione esponenziale h(t) = a t, t 0 Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.8/21
25 Un Esempio - Conclusioni 1. La risposta impulsiva dell equazione alle differenze y(t) a y(t 1) = u(t) è pari alla successione esponenziale h(t) = a t, t 0 2. Se 1 < a < 1 la risposta impulsiva è convergente; Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.8/21
26 Un Esempio - Conclusioni 1. La risposta impulsiva dell equazione alle differenze y(t) a y(t 1) = u(t) è pari alla successione esponenziale h(t) = a t, t 0 2. Se 1 < a < 1 la risposta impulsiva è convergente; 3. Se a > 1 oppure a < 1 la risposta impulsiva è divergente; Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.8/21
27 Un Esempio - Conclusioni 1. La risposta impulsiva dell equazione alle differenze y(t) a y(t 1) = u(t) è pari alla successione esponenziale h(t) = a t, t 0 2. Se 1 < a < 1 la risposta impulsiva è convergente; 3. Se a > 1 oppure a < 1 la risposta impulsiva è divergente; 4. Se a = 1, h(t) = δ 1 (t); Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.8/21
28 Un Esempio - Conclusioni 1. La risposta impulsiva dell equazione alle differenze y(t) a y(t 1) = u(t) è pari alla successione esponenziale h(t) = a t, t 0 2. Se 1 < a < 1 la risposta impulsiva è convergente; 3. Se a > 1 oppure a < 1 la risposta impulsiva è divergente; 4. Se a = 1, h(t) = δ 1 (t); 5. Se a = 1, h(t) = ( 1) t, t 0; Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.8/21
29 Caso a = 1 Quando a = 1, l equazione alle differenze y(t) y(t 1) = u(t) rappresenta un metodologia ricorsiva attraverso la quale noi possiamo rappresentare il sommatore. Il seguente schema a blocchi rappresenta un implementazione della precedente equazione alle differenze u(t) y(t) + y(t 1) 1 y(t 1) z 1 Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.9/21
30 Caso a = 1 Quando a = 1, l equazione alle differenze y(t) y(t 1) = u(t) rappresenta un metodologia ricorsiva attraverso la quale noi possiamo rappresentare il sommatore. Il seguente schema a blocchi rappresenta un implementazione della precedente equazione alle differenze u(t) y(t) + 1 z 1 y(t 1) y(t 1) Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.9/21
31 Un Esempio - Utilizzo dell anticipo Esaminiamo ora il problema della determinazione della soluzione impulsiva (u(t) = δ(t)) della seguente eq. alle differenze y(t + 1) a y(t) = u(t) In questo caso, per poter determinare la soluzione, è necessario assegnare le condizioni iniziali e quindi, poichè l eq. è del primo ordine, è necessario conoscere y(0). Supponiamo che y(0) = 0 e determiniamo la risposta impulsiva. Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.10/21
32 Un Esempio - Utilizzo dell anticipo y(t + 1) = a y(t) + δ(t) Tempo u(t) y(t) Operazione y( 1) = 0 Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.10/21
33 Un Esempio - Utilizzo dell anticipo y(t + 1) = a y(t) + δ(t) Tempo u(t) y(t) Operazione y( 1) = y(0) = 0 (Assegnata) Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.10/21
34 Un Esempio - Utilizzo dell anticipo y(t + 1) = a y(t) + δ(t) Tempo u(t) y(t) Operazione y( 1) = y(0) = 0 (Assegnata) y(1) = a y(0) + δ(0) = a Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.10/21
35 Un Esempio - Utilizzo dell anticipo y(t + 1) = a y(t) + δ(t) Tempo u(t) y(t) Operazione y( 1) = y(0) = 0 (Assegnata) y(1) = a y(0) + δ(0) = a a y(2) = a y(1) + δ(1) = a Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.10/21
36 Un Esempio - Utilizzo dell anticipo y(t + 1) = a y(t) + δ(t) Tempo u(t) y(t) Operazione y( 1) = y(0) = 0 (Assegnata) y(1) = a y(0) + δ(0) = a a y(2) = a y(1) + δ(1) = a a 2 y(3) = a y(2) + δ(2) = a a + 0 Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.10/21
37 Un Esempio - Utilizzo dell anticipo y(t + 1) = a y(t) + δ(t) Tempo u(t) y(t) Operazione y( 1) = y(0) = 0 (Assegnata) y(1) = a y(0) + δ(0) = a a y(2) = a y(1) + δ(1) = a a 2 y(3) = a y(2) + δ(2) = a a a 3 y(4) = a y(3) + δ(3) = a a Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.10/21
38 Un Esempio - Utilizzo dell anticipo y(t + 1) = a y(t) + δ(t) Tempo u(t) y(t) Operazione y( 1) = y(0) = 0 (Assegnata) y(1) = a y(0) + δ(0) = a a y(2) = a y(1) + δ(1) = a a 2 y(3) = a y(2) + δ(2) = a a a 3 y(4) = a y(3) + δ(3) = a a a 4 y(5) = a y(4) + δ(4) = a a Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.10/21
39 Un Esempio - Utilizzo dell anticipo y(t + 1) = a y(t) + δ(t) Tempo u(t) y(t) Operazione y( 1) = y(0) = 0 (Assegnata) y(1) = a y(0) + δ(0) = a a y(2) = a y(1) + δ(1) = a a 2 y(3) = a y(2) + δ(2) = a a a 3 y(4) = a y(3) + δ(3) = a a a 4 y(5) = a y(4) + δ(4) = a a a 5 y(5) = a y(4) + δ(5) = a a Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.10/21
40 Un Esempio - Utilizzo dell anticipo La soluzione impulsiva dell equazione alle differenze y(t + 1) a y(t) = u(t), y(0) = 0 è h(t) = 0 t 0 a t 1 t 1 Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.10/21
41 Causalità ed Equazioni alle Differenze Un equazione alle differenze lineare a coefficienti costanti che utilizza i ritardi n y t = a i y t i + i=1 m j=0 b j u t j identifica sempre un sistema lineare tempo-invariante causale poichè l uscita attuale y t è legata ai valori passati dell uscita y t i, i = 1,..., n (primo addendo del secondo membro) ed ai valori passati ed attuale u t j, j = 0,..., m dell ingresso (secondo addendo del secondo membro). Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.11/21
42 Causalità ed Equazioni alle Differenze Un equazione alle differenze lineare a coefficienti costanti che utilizza gli anticipi n y t+n = a i y t+n i + i=1 m j=0 b j u t+m j identifica un sistema lineare tempo-invariante causale solamente quando l ordine degli anticipi dell uscita n è superiore o uguale all ordine degli anticipi dell ingresso m. Per cui il vincolo n m è condizione necessaria e sufficiente per la causalità di un sistema dinamico che genera un equazione alle differenze con anticipi. Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.11/21
43 Ordine di un equazione alle differenze con anticipo Nel caso in cui la condizione di causalità sia verificata (n m), si definisce ordine di un equazione alle differenze con anticipo, il massimo anticipo dell uscita (n). Ordine := n Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.12/21
44 La Trasformata Zeta La Trasformata Zeta, o Z-Trasformata, è un operatore che associa ad una successione u(t) = {u(0), u(1), u(2),..., }, una serie di potenze (serie formale) nella variabile complessa z U(z) = Z(u(t)) := k=0 u(k) z k In generale, si è soliti associare al termine "Trasformata Zeta" di una successione la funzione di variabile complessa U(z) ottenuta dalla serie di potenze. La Trasformata Zeta riveste, per i sistemi a tempo discreto, lo stesso ruolo che la Trasformata di Laplace riveste per i sistemi a tempo continuo. Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.13/21
45 Convergenza della Trasformata Zeta La regione convergenza della Z-Trasformata, cioè l insieme di tutti quei valori di z per i quali la serie di potenze k=0 u(k) z k := U(z) converge, dipende dal modulo di z, z. Infatti, per z fissato, U(z) è un numero complesso il cui valore è finito se e solo se il suo modulo U(z) è finito, U(z) < e quindi U(z) k=0 u(k) z k < Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.14/21
46 Raggio di convergenza Si definisce Raggio di convergenza R di una Trasformata Zeta U(z) il più piccolo valore del modulo di z, z per il quale U(z) := k=0 u(k) z k converge. Ricapitolando, R è quel valore tale che, se z > R, allora U(z) esiste. Si noti che la disuguaglianza che lega z ad R è stretta (> e non ).Quando z = R, U(z) potrebbe anche non esistere, dipende dal tipo di successione u(t) della quale si calcola la Trasformata Zeta. Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.15/21
47 Z-Trasformata dell impulso Calcoliamo la Z-Trasformata di δ(t) applicando la definizione. Innanzitutto, dalla definizione di impulso, abbiamo che δ(t) = {1, 0, 0,... }, quindi Z(δ(t)) = concludendo, avremo che δ(k)z k = z z k=0 Z(δ(t)) = 1 e che tale trasformata esiste per ogni valore di z. Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.16/21
48 Z-Trasformata di una successione di durata finita Definiamo una successione di durata o lunghezza N (finita) come quella successione che è diversa dalla successione identicamente nulla (u(t) = 0, t) per un numero finito N di campioni. Una successione di durata finita N ha la seguente espressione u(t) = {u(0), u(1),..., u(n), 0, 0, 0,... } Per calcolarne la Z-Trasformata applichiamo la definizione e avremo che Z(u(t)) = N k=0 u(k) z k Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.17/21
49 Z-Trasformata di una successione di durata finita Definiamo una successione di durata o lunghezza N (finita) come quella successione che è diversa dalla successione identicamente nulla (u(t) = 0, t) per un numero finito N di campioni. Una successione di durata finita N ha la seguente espressione u(t) = {u(0), u(1),..., u(n), 0, 0, 0,... } Per calcolarne la Z-Trasformata applichiamo la definizione e avremo che Z(u(t)) = u(0) + u(1) z 1 + u(2) z 2 + u(3) z u(n) z N Si noti che, essendo la serie diventata una somma finita, la Z-trasformata di una successione di durata finita esiste sempre e quindi la regione di convergenza è tutto il piano complesso IC. Una successione di durata finita è chiama successione deadbeat. Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.17/21
50 Calcolo della Z-Trasformata di α t - 1 Assegnata la successione esponenziale α t, vogliamo calcolarne la Z-Trasformata e determinarne il raggio di convergenza. Applicando la definizione abbiamo Z(α t ) := k=0 α k z k Il secondo membro può essere scritto come lim (1 ) + α z 1 + α 2 z α N z N N Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.18/21
51 Calcolo della Z-Trasformata di α t - 1 Assegnata la successione esponenziale α t, vogliamo calcolarne la Z-Trasformata e determinarne il raggio di convergenza. Applicando la definizione abbiamo Z(α t ) := k=0 α k z k Il secondo membro può essere scritto come lim (1 ) + α z 1 + α 2 z α N z N N moltiplicando e dividendo per (1 α z 1 ) l argomento del limite è pari a (1 + α z 1 + α 2 z α N z N ) 1 α z 1 1 α z 1 Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.18/21
52 Calcolo della Z-Trasformata di α t - 1 Assegnata la successione esponenziale α t, vogliamo calcolarne la Z-Trasformata e determinarne il raggio di convergenza. Applicando la definizione abbiamo Z(α t ) := k=0 α k z k Il secondo membro può essere scritto come lim (1 ) + α z 1 + α 2 z α N z N N moltiplicando e dividendo per (1 α z 1 ) l argomento del limite è pari a ( 1 α z 1 + α z 1 α 2 z 2 + α 2 z α N z N α N+1 z (N+1)) 1 α z 1 Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.18/21
53 Calcolo della Z-Trasformata di α t - 1 Assegnata la successione esponenziale α t, vogliamo calcolarne la Z-Trasformata e determinarne il raggio di convergenza. Applicando la definizione abbiamo Z(α t ) := k=0 α k z k Il secondo membro può essere scritto come lim (1 ) + α z 1 + α 2 z α N z N N moltiplicando e dividendo per (1 α z 1 ) l argomento del limite è pari a ( 1 α N+1 z (N+1)) 1 α z 1 Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.18/21
54 Calcolo della Z-Trasformata di α t - 1 Assegnata la successione esponenziale α t, vogliamo calcolarne la Z-Trasformata e determinarne il raggio di convergenza. Applicando la definizione abbiamo Z(α t ) := k=0 α k z k Il secondo membro può essere scritto come lim (1 ) + α z 1 + α 2 z α N z N N moltiplicando e dividendo per (1 α z 1 ) ed eseguendo le semplificazioni abbiamo che ( 1 α N+1 z (N+1)) Z(α t ) = lim N 1 α z 1 Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.18/21
55 Calcolo della Z-Trasformata di α t - 2 Esaminando l espressione di Z(α t ) lim N ( 1 α N+1 z (N+1)) 1 α z 1 abbiamo due situazioni che possono verificarsi sul modulo di z 1. α z 1 < 1, o, che è lo stesso z > α e allora Z(α t ) = lim N ( 1 α N+1 z (N+1)) 1 α z 1 Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.19/21
56 Calcolo della Z-Trasformata di α t - 2 Esaminando l espressione di Z(α t ) lim N ( 1 α N+1 z (N+1)) 1 α z 1 abbiamo due situazioni che possono verificarsi sul modulo di z 1. α z 1 < 1, o, che è lo stesso z > α e allora Z(α t ) = ( ) 1 lim N αn+1 z (N+1) 1 α z 1 Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.19/21
57 Calcolo della Z-Trasformata di α t - 2 Esaminando l espressione di Z(α t ) lim N ( 1 α N+1 z (N+1)) 1 α z 1 abbiamo due situazioni che possono verificarsi sul modulo di z 1. α z 1 < 1, o, che è lo stesso z > α e allora Z(α t ) = 1 1 α z 1 Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.19/21
58 Calcolo della Z-Trasformata di α t - 2 Esaminando l espressione di Z(α t ) lim N ( 1 α N+1 z (N+1)) 1 α z 1 abbiamo due situazioni che possono verificarsi sul modulo di z 1. α z 1 < 1, o, che è lo stesso z > α e allora 2. Z(α t ) = 1 1 α z 1 α z 1 1, o, che è lo stesso z α e allora Z(α t ) non converge Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.19/21
59 Calcolo della Z-Trasformata di α t - 2 Esaminando l espressione di Z(α t ) lim N ( 1 α N+1 z (N+1)) 1 α z 1 abbiamo due situazioni che possono verificarsi sul modulo di z 1. α z 1 < 1, o, che è lo stesso z > α e allora 2. Z(α t ) = 1 1 α z 1 α z 1 1, o, che è lo stesso z α e allora Z(α t ) non converge Ricapitolando, quando z α, la Z-trasformata di α t è pari a 1, α è il raggio di convergenza 1 α z 1 Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.19/21
60 Calcolo della Z-Trasformata di α t - 2 Esaminando l espressione di Z(α t ) lim N ( 1 α N+1 z (N+1)) 1 α z 1 abbiamo due situazioni che possono verificarsi sul modulo di z 1. α z 1 < 1, o, che è lo stesso z > α 1 e allora 2. Z(α t ) = 1 1 α z 1 α z 1 1, o, che è lo stesso z α 1 e allora Z(α t ) non converge Ricapitolando, quando z α 1, la Z-trasformata di α t è pari a z z α, α 1 è il raggio di convergenza Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.19/21
61 Z-Trasformata del gradino unitario Per calcolare la Z-Trasformata di δ 1 (t) basta considerare la Z-Trasformata di α t quando α = 1 e quindi Z(δ 1 (t)) = 1 1 z = z 1 z 1 e α = 1 = 1 è il raggio di convergenza. Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.20/21
62 Z-Trasformata di ( 1) t Per calcolare la Z-Trasformata di ( 1) t = {1, 1, 1, 1,... } basta considerare la Z-Trasformata di α t quando α = 1 e quindi Z(( 1) t ) = z = z 1 z + 1 e α = 1 = 1 è il raggio di convergenza. Corso di Controllo DigitaleEquazioni alle Differenze e Z-trasformate a p.21/21
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