Problemi di base di Elaborazione Numerica dei Segnali

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1 Universita' di Roma TRE Corso di laurea in Ingegneria Elettronica Corso di laurea in Ingegneria Informatica Universita' di Roma "La Sapienza" Corso di laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni Problemi di base di Elaborazione Numerica dei Segnali Gaetano Giunta,,0 0,8 j ω H(e ) 0,6 0,4 0, 0,0 ideale reale -0, -,0-0,5 0,0 ω / π 0,5,0 5 a edizione: aprile 00 pubblicazione disponibile su sito internet mediante download gratuito per scopi didattici non commerciali ( a edizione: sett. 99; a edizione: sett. 99; a edizione: feb. 994; 4 a edizione: feb. 999)

2 Indice pag. Parte I. Operazioni su sequenze.. Convoluzione. Teoria 6. Esempio grafico 7. Correlazione temporale. Teoria 9. Esempio grafico 0. Espansione. Teoria. Esercizio 4. Interpolazione 4. Teoria 5 4. Esercizio 8 5. Decimazione 5. Teoria 9 5. Esercizio 6. Uso della trasformata continua di Fourier 6. Teoria 6. Esercizio 7. Uso della trasformata discreta di Fourier 7. Teoria 5 7. Esercizio (filtraggio mediante sovrapposizione ed estrazione) 6 7. Esercizio (filtraggio mediante sovrapposizione e somma) 9

3 Parte II. La trasformata-z. 8. Equazioni lineari alle differenze 8. Richiamo teorico 8. Esempio 9. Alcune trasformate-z notevoli 9. Teoria 5 9. Esercizio (gradino unitario) 5 9. Esercizio (gradino unitario traslato) Esercizio (rettangolo unitario) Esercizio (rampa finita) Esercizio (esponenziale causale) Esercizio (esponenziale anticausale) Metodo dei residui 0. Teorema dei residui 4 0. Esercizio (poli distinti) Esercizio (poli multipli) Esercizio (sequenze di autocorrelazione) 49 Parte III. Filtri numerici.. Grafi di sistema. Premessa 5. Esercizio (realizzazione in forma canonica) 5. Esercizio (sistema a traliccio) 55. Filtri a fase minima. Teoria 57. Esercizio 58. Progetto mediante la trasformata inversa di Fourier. Teoria 60. Esercizio (filtro derivatore) 6. Esercizio (filtro di Hilbert) 6 4. Progetto mediante l'invarianza all'impulso 4. Teoria Esercizio (poli complessi coniugati) Esercizio (filtro di Butterworth) 68

4 5. Progetto mediante la trasformazione bilineare 5. Teoria 7 5. Esercizio (poli complessi coniugati) 7 5. Esercizio (filtro di Butterworth) Progetto mediante il campionamento in frequenza 6. Teoria Esercizio 8 Parte IV. Analisi statistica e stime spettrali. 7. Errori di quantizzazione 7. Teoria Esercizio Calcolo di momenti in sistemi non-lineari 8. Teoria 9 8. Esercizio (quadratore) 9 9. Progetto di filtri ai minimi quadrati 9. Teoria Esercizio Stima spettrale autoregressiva 0. Teoria L'algoritmo ricorsivo di Levinson-Durbin 0 0. Esercizio 04. Predizione lineare ottima. Teoria 06. Esercizio 09. Relazione tra matrici di autocorrelazione e coefficienti AR. Premessa. Teoria. Stima spettrale di Capon. Teoria. Esercizio 6 4. Stima spettrale di Pisarenko 4. Teoria 8 4. Esercizio 4

5 Parte V. Raccolta di esercizi riepilogativi. 5. Testi di esame di Elaborazione Numerica dei Segnali 5. Esercizio di marzo Esercizio del 7 marzo 99 (primo esonero) 4 5. Esercizio di aprile Esercizio del maggio 99 (secondo esonero) Esercizio del 5 giugno Esercizio del 5 giugno Esercizio di luglio Esercizio di settembre Esercizio del 0 ottobre Esercizio del 6 novembre Esercizio dell' gennaio Esercizio del 5 febbraio Esercizio del 6 marzo 99 (primo esonero) Esercizio del 5 aprile Esercizio del 8 maggio 99 (secondo esonero) Esercizio del maggio Esercizio del giugno Esercizio del o luglio Esercizio del luglio Esercizio del 4 settembre Esercizio del 5 ottobre Esercizio del novembre Esercizio dell' gennaio Esercizio del 5 gennaio Esercizio del 6 febbraio

6 Parte I. Operazioni su sequenze.. Convoluzione.. Teoria. L'operazione di convoluzione ricorre assai spesso nell'analisi dei segnali e sistemi a tempo discreto. Infatti, e' noto dalla teoria dei sistemi lineari che la sequenza in uscita ad un sistema lineare a tempo discreto invariante alla traslazione e' ottenibile come somma di convoluzione tra la sequenza di ingresso e la risposta impulsiva caratteristica del sistema stesso. In tal caso, i principi di stabilita' e fisica realizzabilita' dei sistemi reali vincolano le sequenze in gioco. Tuttavia, piu' in generale, si puo' definire la convoluzione fra due sequenze qualunque, ovvero senza particolari ipotesi di causalita' e/o stabilita'. Formalmente, dette x(k) e y(k) le sequenze da elaborare, che si estendono da k=0 a k=m e k=n, rispettivamente, e definita z(k) = x(k) y(k) la sequenza risultante dalla loro convoluzione, si puo' scrivere la seguente relazione: z(k) = x(k) y(k) = [ ] min N,k x(k i) y(i) = [ m] i= max0,k [ ] minm,k x(j) y(k j) (.) [ M] j= max0,k In generale, gli indici della sommatoria si estendono ai massimi valori possibili, cioe' laddove il risultato del prodotto fra le due sequenze opportunamente traslate e' diverso da zero. Ovvero, se supponiamo che x(k) e y(k) si estendano da M am edan an rispettivamente, nell'eq. (.) l'indice i e' compreso fra max [N,k-M ]emin [N, k-m ], mentre l'indice j va dal valore max [M,k-N ]emin [M,k-N ]. 6

7 Si noti inoltre che l'operatore di convoluzione gode della proprieta' commutativa e che la sequenza z(k) risultante dalla convoluzione si estende da M +N am +N.. Esempio grafico. L'operazione fra sequenze ben si presta ad un calcolo di tipo grafico. A tal fine si considerino le due sequenze di fig.., supposte per semplicita' causali. x(i) 0 M i y(i) 0 N i Fig... Le sequenze originarie x(i) e y(i). La procedura grafica di calcolo della convoluzione, illustrata nella fig.., e' la seguente. La freccia tratteggiata indica il verso di traslazione della prima sequenza dopo che e' stata invertita (verso destra per k positivi, verso sinistra se negativi). Le due sequenze, cosi' posizionate per ogni k, sono moltiplicate termine a termine; quindi, i risultati ottenuti sono sommati algebricamente (proprio come in un prodotto scalare tra due vettori). I valori cosi' ottenuti sono rappresentati graficamente in sequenza in funzione della traslazione k. Val la pena notare che invertire nel tempo i due segnali non cambia, per la proprieta' di commutativita', il risultato della convoluzione. 7

8 x(-i) -M 0 i k y(i) 0 N i 8 8 x(k) y(k) 7 0 M+N k Fig... Esempio di calcolo della convoluzione fra sequenze. 8

9 . Correlazione temporale.. Teoria. Anche l'operazione di correlazione temporale e' largamente usata nell'analisi ed elaborazione numerica dei segnali. Essa serve, intuitivamente, a valutare quanto due sequenze sono "simili". La sequenza di correlazione temporale e' matematicamente definita come: C = xy (k) x ( k) y(k) = = [ k] minm,n i= max0, x [ k] (i)y(i + k) = [ + ] minm k,n x [ ] j= maxk,0 (j k)y(j) (.) In generale, gli indici della sommatoria si estendono ai massimi valori possibili dei prodotti fra gli elementi delle due sequenze. In particolare, se le sequenze x(k) e y(k) si estendono da M am edan an, rispettivamente, l'indice i varia fra il valore max [M,N -k] ed il valore min [M,N -k], mentre l'indice j si estende dal valore max [M +k,n ]finoamin[m +k,n ]. Fra le proprieta' della correlazione temporale, si osservi che quella commutativa non sussiste. Infatti, se si scambiano fra loro le due sequenze, si ottiene una diversa (in generale) sequenza di correlazione. Ovviamente, quanto detto or ora non vale per la sequenza di autocorrelazione, ove le due sequenze in gioco coincidono. In questo caso, la sequenza di autocorrelazione risulta essere a simmetria coniugata (cioe' parte reale pari e parte immaginaria dispari). Cio' consente un piu' rapido calcolo del risultato (basta calcolare meta' sequenza di correlazione), nonche' un piu' agevole controllo di eventuali errori. 9

10 . Esempio grafico. Consideriamo le medesime sequenze x(i) e y(i) di fig... La procedura grafica di correlazione consiste nelle seguenti operazioni. Le due sequenze sono moltiplicate termine a termine e quindi i risultati sono sommati per ogni k come nel caso della convoluzione (vedi eq. (.)), salvo che la prima sequenza deve essere in questo caso coniugata, se complessa, (invece che invertita come accadeva con la convoluzione), prima di essere traslata di k passi nel verso della freccia tratteggiata. I campioni risultanti sono rappresentati nella Fig.. in funzione della variabile temporale k. x*(i) 0 M i k y(i) 0 N i 0

11 C xy (k) -M 0 N k Fig... Esempio di calcolo della correlazione temporale fra sequenze.