Capitolo Trasformata di Laplace

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1 Capitolo Trasformata di Laplace. Segnali lo studio dei sistemi. Trasformata di Laplace.3 Antitrasformata di Laplace.4 Antitrasformata di Laplace: metodo delle frazioni parziali

2 . SEGNALI PER LO STUDIO DEI SISTEMI Vengono presi in esame i principali segnali utilizzati nell ambito dello studio dei sistemi: GRADINO Il Gradino unitario è definito nel seguente modo u(t) 0 t < 0 t > 0 Se il gradino è di ampiezza E u(t) 0 E t < 0 t > 0 IMPULSO UNITARIO L impulso unitario δ(t) o delta di Dirac è definito come: 0 δ ( t) 0 t < 0 t 0 t > 0 L impulso unitario può essere considerato come limite ε 0 dell impulso rettangolare di area unitaria, di ampiezza ε ed altezza /ε Prof. Francesco Di Sabatino - Dispense di Sistemi Elettronici Automatici I-

3 RAMPA UNITARIA La rampa unitaria r(t) è ottenibile dall integrazione del gradino unitario ed è definita come: r(t) 0 t t < 0 t 0 PARABOLA UNITARIA La parabola unitaria p(t) è ottenibile dall integrazione della rampa unitaria ed è definita come: p(t) 0 t < 0 t t 0 SEGNALE ESPONENZIALE Questo segnale è definito come: p(t) 0 at e t < 0 t 0 con a>0 il segnale esponenziale è crescente, con a<0 decrescente. Prof. Francesco Di Sabatino - Dispense di Sistemi Elettronici Automatici I-3

4 SEGNALE SINUSOIDALE Il segnale sinusoidale è cosi definito: 0 e( t ) E M sen( ωt ϕ ) t < 0 t 0 dove: E M è l ampiezza della sinusoide, ω è la pulsazione in rad/sec, T è il iodo in sec. ϕ è la fase iniziale o La pulsazione ω è legata alla frequenza dalla relazione ω πf π T o Il valore efficace è E eff E M ; o il valore medio è nullo E m 0. Prof. Francesco Di Sabatino - Dispense di Sistemi Elettronici Automatici I-4

5 . Trasformata di Laplace Trasformata di Laplace: generalità Si constata che data una rete elettrica, noto il segnale d ingresso e(t), ottenere l uscita u(t), bisogna risolvere una equazione differenziale che è in genere di non facile soluzione. La trasformata di Laplace è un oatore matematico che consente di semplificare lo studio di un sistema. Questo studio avviene nel dominio complesso; successivamente si torna nel dominio del tempo attraverso l oatore inverso:antitrasformata di Laplace. fig. In fig. è illustrato il procedimento lo studio dei sistemi utilizzando la trasformata di Laplace. I principali vantaggi che si ottengono con l introduzione della T.d.L. sono: o Le equazioni differenziali sono tramutate in equazioni algebriche; o Nota l uscita nel dominio di s U(s) antitrasformando si può risalire alla u(t); o il sistema può essere rappresentato mediante la sua funzione di trasferimento f.d.t. (f.d.t.u(s)/e(s) rapporto tra la trasformata di Laplace del segnale d uscita e quello d ingresso). Dalla f.d.t. si traggono informazioni sulla risposta in frequenza del sistema, sulla stabilità, ecc.; Prof. Francesco Di Sabatino - Dispense di Sistemi Elettronici Automatici I-5

6 Trasformata di Laplace: definizione La T.d.L è un oatore matematico che mette di convertire una funzione del tempo f(t) in una funzione di variabile complessa F(s). oatore di Laplace F(s) L [f(t)] dove s è la nuova variabile indipendente complessa (s a jb) Definizione della T.d.L. F(s) e st f (t)dt 0 La T.d.L è detta unilaterale ché la f(t) è definita solo t 0 Prof. Francesco Di Sabatino - Dispense di Sistemi Elettronici Automatici I-6

7 Esempio di calcolo: T.d.L del gradino di tensione unitario u(t) 0 t < 0 t > 0 La L-trasformata del gradino unitario è ( s L [ u t) ] Dimostrazione: st st L [u(t)] e dt e dt 0 0 st e 0 s e s e s s s0 0 s s Prof. Francesco Di Sabatino - Dispense di Sistemi Elettronici Automatici I-7

8 Le proprietà della T.d.L. Teorema della moltiplicazione una costante L [k f(t)] k L[f(t)] Teorema della somma L[f (t) ± f (t)] L[f (t)] ± L[f (t)] Teorema della derivata df ( t ) L s F( s ) dt La trasformata del prodotto di una costante una funzione è uguale al prodotto della costante la trasformata della funzione La somma di due funzioni nel dominio del tempo corrisponde alla somma delle trasformate nel dominio complesso La T.d.L della derivata di una funzione f(t) è uguale al prodotto della T.d.L. della funzione la variabile complessa Da notare: df(t) Se le condizioni iniziali non sono nulle, cioè la f(t0) 0, allora: L s F(s) f(0) dt df (t) dt Per estensione la derivata seconda è la seguente L s F(s) s f(0) f' ( 0) Teorema dell integrale F( s) ( s L [ f t) dt] La T.d.L. dell integrale di una funzione f(t) è uguale alla T.d.L della funzione divisa la variabile s Teorema del valore iniziale f(0) lim f(t) lim s F(s) t 0 s Teorema del valore finale f( ) lim f(t) lim s F(s) t s 0 Questo teorema consente di determinare il valore assunto dalla f(t) all istante t0, conoscendo la T.d.L. di f(t) cioè la F(s), senza ricorrere all oazione di antitrasformazione. Questo teorema consente di determinare il valore assunto dalla f(t) a regime (cioè t tendente ad infinito), conoscendo la T.d.L. di f(t) cioè la F(s), senza ricorrere all oazione di antitrasformazione. Prof. Francesco Di Sabatino - Dispense di Sistemi Elettronici Automatici I-8

9 Antitrasformata di Laplace Antitrasformata di Laplace: generalità Oatore matematico che mette di convertire una funzione di variabile complessa F(s) in una funzione del tempo f(t) Simbolicamente si scrive f(t) L [F(s)] (oazione inversa della T.d.L) Nella teoria dei sistemi viene usata determinare l uscita u(t) di un sistema, quando è nota la sua U(s). Il calcolo diretto della antitrasformata di Laplace non è di facile soluzione, in quanto bisogna risolvere in campo complesso un integrale, tanto si fa uso delle tabelle delle T.d.L. al contrario. TdL di alcune funzioni ricorrenti rigo f(t) F(s) L f(t) 7 at e s a 9 at ( e ) a s(s a) Prof. Francesco Di Sabatino - Dispense di Sistemi Elettronici Automatici I-9

10 Antitrasformata di Laplace: uso delle tabelle Se la F(s) non è uguale a quella tabulata, si cerca di renderla simile oando qualche modifica (raccogliendo a fattor comune, moltiplicando numeratore e denominatore una stessa costante, ecc.). Esempio 5 F ( s) s 3 la funzione è direttamente antitrasformabile f(t) L 5 s 3 5 L - s 3 5 e 3t Esempio 0 F( s) s dividendo numeratore e denominatore si riporta la F(s) nella forma simile a quella tabulata F ( s) consegue: 0 s 5 s f ( t ) 5 e t Prof. Francesco Di Sabatino - Dispense di Sistemi Elettronici Automatici I-0

11 .4 Antitrasformata di Laplace: metodo delle frazioni parziali Nel caso che la F(s) in esame non compaia nella tabella e non sia possibile trasformarla in una forma simile tabulata, se la F(s) è espressa come rapporto di polinomi si ricorre al metodo delle frazioni parziali. F( s ) N( s ) D( s ) ams b s n m n a b m m s n n s as a b s b 0 0 [7] caso: antitrasformata di una funzione con poli reali e distinti Se i poli della F(s) sono p, p,, p n ( reali e distinti) la [7] possiamo scriverla nel seguente nodo: F(s) c s p c s p cn s pn [8] Antitrasformando facendo uso della tabella delle TdL si ha: rigo f(t) 7 at e F(s) s a p t p t f(t) ce ce. c pnt n e [9] I residui c, c,., c n si possono calcolare: a) uguagliando i due numeratori della [8] b) mediante la formula ck lim ( s pk ) F( s ) s p k Prof. Francesco Di Sabatino - Dispense di Sistemi Elettronici Automatici I-

12 Esercizi: - Antitrasformata di una funzione con poli reali e distinti Esercizio - Antitrasformare la seguente funzione 0 F ( s) i poli sono p s ( s 6s 8) 0 ; p - ; p 3-4 tanto: F ( s) 0 s( s )( s 4) Scrivendo F(s) in frazioni parziali si ha: A B C F ( s ) s s s 4 I residui A, B, C si possono calcolare nel seguente modo: A s s(s )(s 4) (0 )(0 4) 4 s 0 0 B (s ) s(s )(s 4) 0 B (s 4) s(s )(s 4) quindi: 5 / 4 F ( s) s 5 / s 5 / 4 s 4 s s 4 0 ( )( 4) 0 ( 4)( 4 ) Antitrasformando si ottiene: f(t) L [F(s)] L 5 / 4 5 / 5 / 4 s L s L s 4 f(t) 5 5 t 5 4t 4 e e 4 Prof. Francesco Di Sabatino - Dispense di Sistemi Elettronici Automatici I-

13 caso: antitrasformata di una funzione con poli complessi coniugati Supponiamo di avere una F(s) con due poli complessi coniugati p e p N(s) F(s) p -a jb : p -a - jb (s p)(s p ) F(s) A B (s a jb) (s a jb) Si calcolano i residui A e B utilizzando le relazioni già viste. [ A (s p) F(s) s ] p il calcolo di B può essere evitato in quanto è il complesso coniugato di A Si mette la F(s) nella seguente forma F(s) A A B B (s a jb) (s a jb) Si antitrasforma facendo uso della tabella delle TdL f(t) F(s) at ke cos(bt θ) k θ k θ s a jb s a jb dove k A B ; θ A f(t) k e -a t cos(b t θ) La f(t) a volte può essere semplificata facendo uso delle seguenti relazioni cos(α 90 ) -senα ; cos( α - 90 ) senα Prof. Francesco Di Sabatino - Dispense di Sistemi Elettronici Automatici I-3

14 Esercizi - Antitrasformata di una funzione con poli complessi coniugati Esercizio - Antitrasformare la seguente funzione (pag 7 Analisi dei Sistemi vol Ed. Thecna G.Licata) Facendo uso della tabella delle TdL f(t) F(s) at ke cos(bt θ) k θ k θ s a jb s a jb f (t),06e t cos(t 0,4) Prof. Francesco Di Sabatino - Dispense di Sistemi Elettronici Automatici I-4

15 Esercizio 3 - Antitrasformare la seguente funzione F(s) s(s 80 6s 8) Soluzione Troviamo i poli s(s 6s8)0 p0 ; p -3 j3 p3-3 - j F(s) (s p)(s p)(s p3) s(s 3 j3)(s 3 j3) Troviamo i residui A, B e C 80 [ ] p s 0 s(s 6s 8) s 0 A (s p) F(s) s A s B C s 3 j3 s 3 j3 80 B [(s p) F(s) ] s p (s 3 j3) s(s 3 - j3)(s 3 j3) s 3 j s(s 3 3j) s 3 3j ( 3 3j)( 3 3j 3 3j) ( 3 3j) 6j 0 0( j) 0 0j -5 j5 j ( j)( j) 5 B 5 ; B arctg 35 3π/ j C -5 - J5 (complesso coniugato di B) 5 C B 5 ; C arctg -35-3π/4 5 Mettiamo la funzione nella seguente forma 0 5 3π / 4 5 3π / 4 F(s) s s 3 j3 s 3 j3 Antitrasformiamo la F(s) facendo uso della tabella delle TdL Prof. Francesco Di Sabatino - Dispense di Sistemi Elettronici Automatici I-5

16 5 3π / 4 5 3π / 4 f(t) 0 L s L s 3 j3 s 3 j3 ke at f(t) f (t) 0 0 cos(bt θ) f(t) 0 4, e e 3t 3t F(s) s k θ k θ s a jb s a jb 3t cos(3t 3π / 4) 0 4, e sen(3t π / 4) sen(3t 0,785) La funzione ha un andamento oscillatorio smorzato; presenta un massimo (overshoot). Calcolo del valore finale f( ) lim f(t) lim 3t 0 4, e sen(3t 0,785) 0 t t Il valore finale poteva essere trovato con il teorema del valore finale in quanto i poli della F(s) hanno parte reale negativa. 80 f( ) lim s F(s) lim s 0 s 0 s 0 s(s 6s 8) Si ricorda che cos(α 90 ) -senα Prof. Francesco Di Sabatino - Dispense di Sistemi Elettronici Automatici I-6

17 3 caso: poli multipli Supponiamo di avere una funzione che presenti un polo doppio p e un polo semplice p N(s) F(s) (s p ) (s p ) La F(s) scomposta in frazioni parziali la possiamo scrivere come: A A B F ( s ) [] (s p ) (s p ) (s p ) Antitrasformando usando le tabelle si ha: p t p t p t f(t) Ate A e Be I residui A e B si possono calcolare nel modo già visto s p F(s) e ( s p ) F(s) [( ) ] [ ] A s p B s p mentre Il residuo A si può calcolare - con il metodo del confronto (uguagliando i due numeratori della [] ) d - oppure A [(s p) F() s ] s p ds Prof. Francesco Di Sabatino - Dispense di Sistemi Elettronici Automatici I-7

18 Esercizi - Antitrasformata di una funzione con poli multipli s Es. Antitrasformare la seguente funzione F ( s) ( s 3) ( s ) I poli sono: p -3 (doppio); p - (semplice) La F(s) scomposta in frazioni parziali la possiamo scrivere come: A F(s) (s 3) A B (s 3) (s ) Antitrasformando si ha: f(t) Ate 3t A 3t e Be t Calcolo dei residui A, B A (s 3) F(s) (s 3) s (s 3) (s ) s B (s ) s F(s) (s ) (s 3) (s ) s ( 3) 4 Calcolo del residuo A d (s ) d (s ) A (s 3) ds (s 3) (s ) ds (s ) s 3 ( s ) ( s ) ( s ) s 3 3 s 3 ( 3 ) ( 3 ) 4 oppure con il metodo del confronto uguagliando i numeratori s / A /4 (s 3) (s ) (s 3) (s 3) (s ) s ( s ) A( s 3)( s ) ( s 3) 4 s A 3A 3A A 4 3 3A 4 Sostituendo i valori trovati si ha: f(t) te 3t e 4 3t e 4 t Prof. Francesco Di Sabatino - Dispense di Sistemi Elettronici Automatici I-8