Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.1/32
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1 Corso di Controllo Digitale Antitrasformate Zeta e calcolo della risposta Università degli Studi della Calabria Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica. Ing. Domenico Famularo Istituto per la Sistemistica e l Informatica Consiglio Nazionale delle Ricerche Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.1/32
2 Funzione di Trasferimento Sia assegnato un sistema lineare tempo-invariante a tempo discreto y(t) = h(t) u(t) La funzione di trasferimento del sistema è la Z-trasformata della risposta impulsiva del sistema H(z) := k=0 h(k) z k = Y (z) U(z) Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.2/32
3 Poli e Zeri di una Funzione di Trasferimento La funzione di trasferimento H(z) di un sistema lineare tempo-invariante a tempo discreto è una funzione razionale in z a coefficienti reali H(z) = N(z) D(z) dove N(z) ed U(z) sono polinomi. Si definiscono zeri della funzione di trasferimento le radici del numeratore N(z). Si definiscono poli della funzione dei trasferimento le radici del denominatore D(z). Siano ora z 1,..., z m gli zeri di H(z) e p 1,..., p n i poli di H(z) H(z) = (z z 1) (z z 2 )... (z z m ) (z p 1 ) (z p 2 )... (z p n ) Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.3/32
4 Funzione di Trasferimento descritta attraverso i ritardi Sia assegnata la funzione di trasferimento H(z) di un sistema lineare tempo-invariante a tempo discreto e siano z 1,..., z m gli zeri di H(z) e p 1,..., p n i poli di H(z) H(z) = (z z 1) (z z 2 )... (z z m ) (z p 1 ) (z p 2 )... (z p n ) è significativo rappresentare la funzione di trasferimento H(z) utilizzando la variabile z 1 (ritardo unitario) H(z) = z (n m) (1 z 1 z 1 ) (1 z 2 z 1 )... (1 z m z 1 ) (1 p 1 z 1 ) (1 p 2 z 1 )... (1 p n z 1 ) Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.4/32
5 Modello ARMA a ritardi e Funzione di Trasferimento Assegnato un modello ARMA a ritardi y(t) + n a i y(t i) = m b j u(t j) i=1 j=0 vogliamo calcolare la funzione di trasferimento H(z). H(z) = b 0 + b 1 z 1 + b 2 z b m z m 1 + a 1 z 1 + a 2 z a n z n Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.5/32
6 Modello ARMA ad anticipi e Funzione di Trasferimento Assegnato un modello ARMA ad anticipi y(t + n) + n a i y(t + n i) = m b j u(t + m j) i=1 j=0 vogliamo calcolare la funzione di trasferimento H(z). H(z) = b 0 z m + b 1 z m 1 + b 2 z m b m z n + a 1 z n 1 + a 2 z n a n Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.6/32
7 Antitrasformata Zeta e Risposta Impulsiva - Poli Semplici Il problema del calcolo della risposta impulsiva a partire dalla conoscenza della funzione di trasferimento di un sistema H(z) = (z z 1) (z z 2 )... (z z m ) (z p 1 ) (z p 2 )... (z p n ), (p 1 p 2 p n 0) consiste nella determinazione dell antitrasformata zeta di H(z) h(t) = Z 1 (H(z)) utilizzando l espansione in fratti semplici di H(z) H(z) = α 0 + α 1 z z p 1 + α 2 z z p α n z z p n in tal modo h(t) = α 0 δ(t) + α 1 p t 1 + α 2 p t α n p t n Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.7/32
8 Espansione in fratti semplici - Calcolo dei coefficienti I coefficienti α i, i = 0, 1, 2,..., n, nell espansione in fratti semplici di H(z) H(z) = α 0 + α 1 z + α 2 z p 1 z z p α n z z p n si ricavano utilizzando le seguenti formule α 0 = lim z 0 H(z), α i = lim z pi z p i z H(z), i = 1,..., n Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.8/32
9 Antitrasformata Zeta - Polo multiplo nell origine Supponiamo ora che la funzione di trasferimento abbia un polo con molteplicità r nell origine H(z) = (z z 1) (z z 2 )... (z z m ) z r (z p 1 )... (z p n1 ) r + n 1 m In tal caso possiamo scrivere H(z) come, (p 1 p 2 p n1 ) H(z) = z r (z z 1) (z z 2 )... (z z m ) (z p 1 )... (z p n1 ). Due situazioni possono aver luogo, n 1 m oppure n 1 < m. Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.9/32
10 Polo multiplo nell origine - Caso n 1 m In tal caso, sfruttando il teorema del ritardo finito, avremo che H(z) = z r (z z 1) (z z 2 )... (z z m ) (z p 1 )... (z p n1 ) = z r H 1 (z) e quindi h(t) = h 1 (t r) dove h 1 (t) è l antitrasformata Zeta di H 1 (z) che possiamo calcolare con l espansione in fratti semplici precedentemente descritta. Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.10/32
11 Polo multiplo nell origine - Caso n 1 < m In tal caso, H(z) = z r (z z 1) (z z 2 )... (z z m ) (z p 1 )... (z p n1 ) = z r H 1 (z) e H 1 (z) non è causale. Bisogna effettuare una divisione polinomiale fra numeratore e denominatore di H 1 (z) e si otterrà ( ) H(z) = z r γ 0 z m n 1 + γ 1 z m n γ m n1 + H 1 (z) Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.11/32
12 Polo multiplo nell origine - Caso n 1 < m In tal caso, H(z) = z r (z z 1) (z z 2 )... (z z m ) (z p 1 )... (z p n1 ) = z r H 1 (z) e H 1 (z) non è causale. Bisogna effettuare una divisione polinomiale fra numeratore e denominatore di H 1 (z) e si otterrà H(z) = γ 0 z (r m+n 1) + γ 1 z (r m+n 1+1) + +γ m n1 z r + z r H 1 (z) Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.11/32
13 Polo multiplo nell origine - Caso n 1 < m In tal caso, H(z) = z r (z z 1) (z z 2 )... (z z m ) (z p 1 )... (z p n1 ) = z r H 1 (z) e H 1 (z) non è causale. Bisogna effettuare una divisione polinomiale fra numeratore e denominatore di H 1 (z) e si otterrà H(z) = γ 0 z (r m+n 1) + γ 1 z (r m+n 1+1) + +γ m n1 z r + z r H 1 (z) e l antitrasformata zeta è pari a h(t) = γ 0 δ(t (r m + n 1 )) + γ 1 δ(t (r m + n 1 1)) γ m n1 z r δ(t r) + h 1 (t r) h 1 (t) è l antitrasformata zeta di H 1 (z) che è una funzione di trasferimento causale e si calcola con l espansione in fratti semplici. Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.11/32
14 Risposta al gradino unitario La risposta di un sistema lineare tempo-invariante a tempo discreto, nel dominio delle Z-trasformate è pari a Y (z) = H(z) U(z) dove H(z) è la funzione di trasferimento. Nel caso in cui l ingresso sia un gradino di ampiezza unitaria, indichiamo con s(t) la risposta al gradino unitario ed S(z) la sua Z-trasformata e quindi Y (z) = S(z) = H(z) z z 1 Per calcolare s(t) basta applicare il metodo dell antitrasformata zeta precedentemente descritto alla funzione di variabile complessa S(z). Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.12/32
15 Risposta al gradino unitario e risposta impulsiva Siano h(t) ed s(t) la risposta impulsiva e la risposta al gradino unitario di un sistema lineare tempo-invariante a tempo discreto causale. In tal caso valgono sempre le seguenti relazioni s(t) = t l=0 h(l) h(t) = s(t) s(t 1) Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.13/32
16 Guadagno in continua o guadagno statico Si definisce Guadagno in continua di un sistema lineare tempo-invariante il limite, quando esso esiste s := lim t s(t) Sfruttando il teorema del valore finale, si avrà che s = lim z 1 (1 z 1 ) S(z) = lim z 1 z 1 z S(z) ora, poichè S(z) = H(z) z z 1 s = lim z 1 z 1 z H(z) z z 1 = lim z 1 H(z) Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.14/32
17 Risposta a regime per u(t) = exp(j ω t) Consideriamo ora un sistema tempo-invariante a tempo discreto causale. La relazione ingresso/uscita è data dalla somma di convoluzione e supponiamo che l ingresso sia l esponenziale complesso u(t) = exp(j ω t), con ω fissato. Avremo y(t) = t k=0 h(k) u(t k) = t k=0 h(k) exp(j ω (t k)) Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.15/32
18 Risposta a regime per u(t) = exp(j ω t) Consideriamo ora un sistema tempo-invariante a tempo discreto causale. La relazione ingresso/uscita è data dalla somma di convoluzione e supponiamo che l ingresso sia l esponenziale complesso u(t) = exp(j ω t), con ω fissato. Avremo y(t) = t k=0 h(k) u(t k) = t k=0 h(k) exp( j ω k) exp(j ω t) Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.15/32
19 Risposta a regime per u(t) = exp(j ω t) Consideriamo ora un sistema tempo-invariante a tempo discreto causale. La relazione ingresso/uscita è data dalla somma di convoluzione e supponiamo che l ingresso sia l esponenziale complesso u(t) = exp(j ω t), con ω fissato. Avremo y(t) = t k=0 h(k) exp( j ω k) exp(j ω t) Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.15/32
20 Risposta a regime per u(t) = exp(j ω t) Consideriamo ora un sistema tempo-invariante a tempo discreto causale. La relazione ingresso/uscita è data dalla somma di convoluzione e supponiamo che l ingresso sia l esponenziale complesso u(t) = exp(j ω t), con ω fissato. Avremo y(t) = h(k) exp( j ω k) exp(j ω t) h(k) exp( j ω k) exp(j ω t) k=0 k=t+1 La prima parte del secondo membro è la risposta forzata a regime, la seconda parte è la risposta transitoria nel senso che, se il sistema è stabile, tale risposta si estingue quando t. Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.15/32
21 Risposta a regime per u(t) = exp(j ω t) Consideriamo ora un sistema tempo-invariante a tempo discreto causale. La relazione ingresso/uscita è data dalla somma di convoluzione e supponiamo che l ingresso sia l esponenziale complesso u(t) = exp(j ω t), con ω fissato. Avremo y(t) = h(k) exp( j ω k) exp(j ω t) h(k) exp( j ω k) exp(j ω t) k=0 k=t+1 La prima parte del secondo membro è la risposta forzata a regime, la seconda parte è la risposta transitoria nel senso che, se il sistema è stabile, tale risposta si estingue quando t. Se indichiamo con y p (t) la parte a regime della risposta forzata avremo che y p (t) = ( ) h(k) exp( j ω k) exp(j ω t) k=0 Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.15/32
22 Risposta a regime per u(t) = exp(j ω t) Consideriamo ora un sistema tempo-invariante a tempo discreto causale. La relazione ingresso/uscita è data dalla somma di convoluzione e supponiamo che l ingresso sia l esponenziale complesso u(t) = exp(j ω t), con ω fissato. Avremo y(t) = h(k) exp( j ω k) exp(j ω t) h(k) exp( j ω k) exp(j ω t) k=0 k=t+1 La prima parte del secondo membro è la risposta forzata a regime, la seconda parte è la risposta transitoria nel senso che, se il sistema è stabile, tale risposta si estingue quando t. Se indichiamo con y p (t) la parte a regime della risposta forzata avremo che y p (t) = ( ) h(k) exp( j ω k) exp(j ω t) = H(z) z=exp(j ω) exp(j ω t) k=0 Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.15/32
23 Risposta a regime per u(t) = sin(ω t) Consideriamo ora la successione sinusoidale periodica u(t) = sin(ω t), dalle formule di Eulero sappiamo che sin(ω t) = exp(j ω t) exp( j ω t) 2 j La risposta a regime y p (t) per un sistema lineare tempo-invariante a tempo discreto sarà pari, in base al principio di sovrapposizione degli effetti a y p (t) = y p 1 (t) y p2 (t) 2 j y p1 (t) = H (exp(j ω)) exp(j ω t) y p2 (t) = H (exp( j ω)) exp( j ω t) Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.16/32
24 Risposta a regime per u(t) = sin(ω t) Consideriamo ora la successione sinusoidale periodica u(t) = sin(ω t), dalle formule di Eulero sappiamo che sin(ω t) = exp(j ω t) exp( j ω t) 2 j La risposta a regime y p (t) per un sistema lineare tempo-invariante a tempo discreto sarà pari, in base al principio di sovrapposizione degli effetti a y p (t) = y p 1 (t) y p2 (t) 2 j y p1 (t) = H (exp(j ω)) exp (j H (exp(j ω))) exp(j ω t) y p2 (t) = H (exp(j ω)) exp ( j H (exp(j ω))) exp( j ω t) Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.16/32
25 Risposta a regime per u(t) = sin(ω t) Consideriamo ora la successione sinusoidale periodica u(t) = sin(ω t), dalle formule di Eulero sappiamo che sin(ω t) = exp(j ω t) exp( j ω t) 2 j La risposta a regime y p (t) per un sistema lineare tempo-invariante a tempo discreto sarà pari, in base al principio di sovrapposizione degli effetti a y p1 (t) = H (exp(j ω)) exp (j (ω t + H (exp(j ω)))) y p2 (t) = H (exp(j ω)) exp ( j (ω t + H (exp(j ω)))) e la parte permanente y p (t) sarà H (exp(j ω)) exp (j (ω t + H (exp(j ω)))) exp ( j (ω t + H (exp(j ω)))) 2 j Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.16/32
26 Risposta a regime per u(t) = sin(ω t) Consideriamo ora la successione sinusoidale periodica u(t) = sin(ω t), dalle formule di Eulero sappiamo che sin(ω t) = exp(j ω t) exp( j ω t) 2 j La risposta a regime y p (t) per un sistema lineare tempo-invariante a tempo discreto sarà pari, in base al principio di sovrapposizione degli effetti a y p1 (t) = H (exp(j ω)) exp (j (ω t + H (exp(j ω)))) y p2 (t) = H (exp(j ω)) exp ( j (ω t + H (exp(j ω)))) e la parte permanente y p (t) sarà y p (t) = H (exp(j ω)) sin (ω t + H (exp(j ω))) Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.16/32
27 Risposta a regime per u(t) = cos(ω t) Consideriamo ora la successione sinusoidale periodica u(t) = cos(ω t), dalle formule di Eulero sappiamo che cos(ω t) = exp(j ω t) + exp( j ω t) 2 La risposta a regime y p (t) per un sistema lineare tempo-invariante a tempo discreto sarà pari, in base al principio di sovrapposizione degli effetti a y p (t) = y p 1 (t) + y p2 (t) 2 y p1 (t) = H (exp(j ω)) exp(j ω t) y p2 (t) = H (exp( j ω)) exp( j ω t) Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.17/32
28 Risposta a regime per u(t) = cos(ω t) Consideriamo ora la successione sinusoidale periodica u(t) = cos(ω t), dalle formule di Eulero sappiamo che cos(ω t) = exp(j ω t) + exp( j ω t) 2 La risposta a regime y p (t) per un sistema lineare tempo-invariante a tempo discreto sarà pari, in base al principio di sovrapposizione degli effetti a y p (t) = y p 1 (t) + y p2 (t) 2 y p1 (t) = H (exp(j ω)) exp (j H (exp(j ω))) exp(j ω t) y p2 (t) = H (exp(j ω)) exp ( j H (exp(j ω))) exp( j ω t) Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.17/32
29 Risposta a regime per u(t) = cos(ω t) Consideriamo ora la successione sinusoidale periodica u(t) = cos(ω t), dalle formule di Eulero sappiamo che cos(ω t) = exp(j ω t) + exp( j ω t) 2 La risposta a regime y p (t) per un sistema lineare tempo-invariante a tempo discreto sarà pari, in base al principio di sovrapposizione degli effetti a y p1 (t) = H (exp(j ω)) exp (j (ω t + H (exp(j ω)))) y p2 (t) = H (exp(j ω)) exp ( j (ω t + H (exp(j ω)))) e la parte permanente y p (t) sarà H (exp(j ω)) exp (j (ω t + H (exp(j ω)))) + exp ( j (ω t + H (exp(j ω)))) 2 Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.17/32
30 Risposta a regime per u(t) = cos(ω t) Consideriamo ora la successione sinusoidale periodica u(t) = cos(ω t), dalle formule di Eulero sappiamo che cos(ω t) = exp(j ω t) + exp( j ω t) 2 La risposta a regime y p (t) per un sistema lineare tempo-invariante a tempo discreto sarà pari, in base al principio di sovrapposizione degli effetti a y p1 (t) = H (exp(j ω)) exp (j (ω t + H (exp(j ω)))) y p2 (t) = H (exp(j ω)) exp ( j (ω t + H (exp(j ω)))) e la parte permanente y p (t) sarà y p (t) = H (exp(j ω)) cos (ω t + H (exp(j ω))) Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.17/32
31 Risposta armonica Si definisce risposta armonica di un sistema lineare tempo-invariante a tempo discreto la funzione di trasferimento H(z) valutata sul cerchio unitario z = exp(j ω). H (exp(j ω)) e serve alla determinazione della parte permanente della risposta forzata ad un segnale periodico di pulsazione ω. Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.18/32
32 Antitrasformata Zeta - Polo doppio Supponiamo ora che la funzione di trasferimento abbia un polo con molteplicità 2 in z = p 1 0 H(z) = (z z 1) (z z 2 )... (z z m ) (z p 1 ) 2, (p 1 p 2 p n1 0)... (z p n 1 ) In tal caso l espansione in fratti semplici funziona in questo modo H(z) = α 0 +α 1,1 z z p 1 +α 1,2 p 1 z (z p 1 ) 2 +α 2 z z p 2 + +α n 1 z z p n 1 e l antitrasformata zeta è pari a h(t) = α 0 δ(t) + α 1,1 p t 1 + α 1,2 t p t 1 + α 2 p t α n 1 p t n 1 Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.19/32
33 Polo doppio - Determinazione dei coefficienti H(z) = α 0 +α 1,1 z z p 1 +α 1,2 p 1 z (z p 1 ) 2 +α 2 z z p 2 + +α n 1 z z p n 1 α 0 = H(0), z p i α i = lim H(z), i 1 z pi z (z p 1 ) 2 α 1,2 = lim z p 1 p 1 z α 1,1 = lim z p 1 p 1 d d z H(z) ( (z p1 ) 2 p 1 z ) H(z) Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.20/32
34 Antitrasformata Zeta - Polo multiplo Supponiamo ora che la funzione di trasferimento abbia un polo con molteplicità r in z = p 1 0 H(z) = (z z 1) (z z 2 )... (z z m ) (z p 1 ) r, (p 1 p 2 p n1 0)... (z p n r ) In tal caso l espansione in fratti semplici funziona in questo modo H(z) = α 0 + r i=1 α 1,i p i 1 1 z (z p 1 ) i + α 2 z z p α n r z z p n r e l antitrasformata zeta è pari a h(t) = α 0 δ(t) + α 1,1 p t 1 + r 1 α 1,l+1 1 l! l 1 (t k) p t 1 + α 2 p t l=1 k=0 + α n r p t n r Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.21/32
35 Polo multiplo - Determinazione dei coefficienti H(z) = α 0 + r i=1 α 1,i p i 1 1 z (z p 1 ) i + α 2 z z p α n r z z p n r α 0 = H(0), z p i α i = lim H(z), i 1 z pi z 1 d r j ( (z p1 ) r ) α 1,j = lim z p 1 (r j)! d z r j (p 1 ) j 1 z H(z) j = 1,..., r Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.22/32
36 BIBO Stabilità - Risposta Impulsiva Un sistema lineare tempo-invariante a tempo discreto causale è BIBO stabile (stabile) se e solo se la risposta impulsiva h(t) è convergente a zero. Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.23/32
37 BIBO Stabilità - Funzione di Trasferimento Un sistema lineare tempo-invariante a tempo discreto causale è BIBO stabile (stabile) se e solo se i poli della funzione di trasferimento p 1, p 2,..., p n sono tali che H(z) = (z z 1) (z z 2 )... (z z m ) (z p 1 ) (z p 2 )... (z p n ) p i < 1, i = 1, 2,..., n. Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.24/32
38 Criteri di stabilità - 1 Consideriamo una funzione di trasferimento di un sistema LTI-TD H(z) = N(z) D(z) una modo per determinare se la f.d.t. è stabile, senza calcolare i poli p i, i = 1,..., n è quello di sfruttare il criterio di Routh. Consideriamo il denominatore di H(z), D(z) = z n + a 1 z n 1 + a 2 z n a n e consideriamo la trasformazione e la sua inversa z = 1 + s 1 s, s = z 1 z + 1 Questa trasformazione mappa il cerchio unitario nel piano z sul semipiano sinistro nel piano s. Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.25/32
39 Criteri di stabilità - 2 R(s) < 0 I(z) z < 1 z = 1+s 1 s I(s) R(z) R(s) s = z 1 z+1 Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.26/32
40 Criteri di stabilità - 3 Se valutiamo D(z) z= 1+s 1 s = D (s) avremo che, se ẑ è una radice di D(z) e ŝ è la sua immagine secondo la trasformazione di coordinate, le seguenti relazioni sono verificate. 1. ẑ < 1 R(ŝ) < 0 2. ẑ = 1 R(ŝ) = 0 3. ẑ > 1 R(ŝ) > 0 È quindi sufficiente applicare il criterio di Routh sul numeratore di D (s) per analizzare la posizione delle radici di D(z) rispetto al cerchio unitario. Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.27/32
41 Tabella di Jury Il criterio di Jury consente di determinare, lavorando direttamente sul polinomio D(z) = a 0 z n + a 1 z n 1 + a 2 z n a n, a 0 > 0 se, o meno, tutte le radici si trovano all interno del cerchio unitario. A tal pro, è necessario costruire la Tabella di Jury che, se n è il grado di un polinomio, presenta 2 n 3 righe. Le prime due righe sono le seguenti: 1 a n a n 1 a n 2... a 2 a 1 a 0 2 a 0 a 1 a 2... a n 2 a n 1 a n Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.28/32
42 Tabella di Jury Il criterio di Jury consente di determinare, lavorando direttamente sul polinomio D(z) = a 0 z n + a 1 z n 1 + a 2 z n a n, a 0 > 0 se, o meno, tutte le radici si trovano all interno del cerchio unitario. A tal pro, è necessario costruire la Tabella di Jury che, se n è il grado di un polinomio, presenta 2 n 3 righe. Al passo successivo alla tabella viene aggiunta una coppia di righe con n elementi 1 a n a n 1 a n 2... a 2 a 1 a 0 2 a 0 a 1 a 2... a n 2 a n 1 a n 3 b n 1 b n 2 b n 3... b 1 b 0 4 b 0 b 1 b 2... b n 2 b n 1 Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.28/32
43 Tabella di Jury Il criterio di Jury consente di determinare, lavorando direttamente sul polinomio D(z) = a 0 z n + a 1 z n 1 + a 2 z n a n, a 0 > 0 se, o meno, tutte le radici si trovano all interno del cerchio unitario. A tal pro, è necessario costruire la Tabella di Jury che, se n è il grado di un polinomio, presenta 2 n 3 righe. Al passo successivo alla tabella viene aggiunta una coppia di righe con n elementi 1 a n a n 1 a n 2... a 2 a 1 a 0 2 a 0 a 1 a 2... a n 2 a n 1 a n 3 b n 1 b n 2 b n 3... b 1 b 0 4 b 0 b 1 b 2... b n 2 b n 1 b k = a n a n k 1 a 0 a k+1 k = 0, 1,..., n 1 Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.28/32
44 Completamento della Tabella di Jury 1 a n a n 1 a n 2... a 2 a 1 a 0 2 a 0 a 1 a 2... a n 2 a n 1 a n 3 b n 1 b n 2 b n 3... b 1 b 0 4 b 0 b 1 b 2... b n 2 b n 1 5 c n 2 c n 3 c n 4... c 0 6 c 0 c 1 c 2... c n 2 Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.29/32
45 Completamento della Tabella di Jury 1 a n a n 1 a n 2... a 2 a 1 a 0 2 a 0 a 1 a 2... a n 2 a n 1 a n 3 b n 1 b n 2 b n 3... b 1 b 0 4 b 0 b 1 b 2... b n 2 b n 1 5 c n 2 c n 3 c n 4... c 0 6 c 0 c 1 c 2... c n 2 c k = k = 0, 1,..., n 2 b n 1 b n k 2 b 0 b k+1 Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.29/32
46 Completamento della Tabella di Jury 1 a n a n 1 a n 2... a 2 a 1 a 0 2 a 0 a 1 a 2... a n 2 a n 1 a n 3 b n 1 b n 2 b n 3... b 1 b 0 4 b 0 b 1 b 2... b n 2 b n 1 5 c n 2 c n 3 c n 4... c 0 6 c 0 c 1 c 2... c n n 5 p 3 p 2 p 1 p 0 2 n 4 p 0 p 1 p 2 p 3 2 n 3 q 2 q 1 q 0 Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.29/32
47 Completamento della Tabella di Jury 1 a n a n 1 a n 2... a 2 a 1 a 0 2 a 0 a 1 a 2... a n 2 a n 1 a n 3 b n 1 b n 2 b n 3... b 1 b 0 4 b 0 b 1 b 2... b n 2 b n 1 5 c n 2 c n 3 c n 4... c 0 6 c 0 c 1 c 2... c n n 5 p 3 p 2 p 1 p 0 2 n 4 p 0 p 1 p 2 p 3 2 n 3 q 2 q 1 q 0 q k = p 3 p 0 p 2 k p k k = 0, 1, 2 Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.29/32
48 Condizioni di Jury Il polinomio D(z) ha tutte le radici all interno del cerchio unitario se e solo se sono contemporaneamente verificate le seguenti condizioni 1. a n < a 0 ; 2. D(1) > 0; 3. D( 1) > 0 se n è pari, D( 1) < 0 se n è dispari; 4. bn 1 > b0, c n 2 > c 0,. p 3 > p 0, q 2 > q 0. Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.30/32
49 Condizioni di Jury per un polinomio di secondo grado Nel caso di un polinomio di secondo grado D(z) = z 2 + a 1 z + a 2 non è necessario calcolare la tabella di Jury che è ridotta ad una sola riga (2 n-3=1) e le condizioni si riducono a 1. a n < 1; 2. D(1) = 1 + a 1 + a 2 > 0; 3. D( 1) = 1 a 1 + a 2 > 0 (n = 2, pari); Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.31/32
50 Regione di stabilità per un polinomio di secondo grado a 2 1 a 1-1 Corso di Controllo DigitaleAntitrasformate Zeta e calcolo della risposta p.32/32
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