SISTEMI DIGITALI DI CONTROLLO

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1 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. /32 SISTEMI DIGITALI DI CONTROLLO PROGETTO DI SISTEMI A TEMPO DI RISPOSTA FINITO Prof. Alessandro De Luca DIS, Università di Roma La Sapienza [email protected] Lucidi tratti dal libro A. Isidori: Sistemi di Controllo, Vol. I Capitolo VII: Sistemi di controllo numerico Paragrafi VII.4 (fine) e VII.6

2 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 2/32 Progetto di sistemi a tempo di risposta finito Sommario Caratterizzazione dei sistemi discreti a tempo di risposta finito Progetto con tempo di risposta finito (deadbeat) e minimo - caso elementare (cancellazione totale) - caso di poli instabili e/o zeri a fase non minima Condizioni di risposta piatta per ingressi a gradino Progetto con risposta piatta in tempo finito e minimo - caso di possibili poli instabili Nota Rispetto all analoga trattazione del libro di testo, le principali differenze sono presentazione dai casi più semplici a quelli generali (e non viceversa) riferimento diretto alla funzione di trasferimento di errore condizioni esplicite di risposta piatta retroazione eventualmente non unitaria notazione leggermente diversa, uso esclusivo di polinomi con potenze positive di z

3 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 3/32 Notazioni Si farà riferimento al seguente sistema di controllo digitale per un processo continuo P(z) v(t) v(k) u(k) u(t) y(t) y(k) C(z) ZOH P(s) T T T con y d (t) = K d v(t) Funzioni di trasferimento discrete di interesse K d P(z) = Z[H 0 (s)p(s)] G(z) = P(z)C(z) (catena diretta) F(z) = K d P(z)C(z) (anello) W(z) = Y (z) V (z) = G(z) + F(z) = K dg(z) K d + G(z) (anello chiuso) E(z) = Y d (z) Y (z) = (K d W(z))Y (z) W e (z) = E(z) V (z) = K 2 d K d + G(z) (errore)

4 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 4/32 Tempo di risposta finito Per un sistema W(z) asintoticamente stabile, la risposta transitoria ad un gradino discreto unitario può convergere al valore di regime, con errore costante (sistemi di tipo 0) o nullo (sistemi di tipo h ), in tempo finito: indice l : k l, e(k) = e 0 Si ha allora necessariamente E(z) = e(k)z k = k=0 = N(z) z l + e 0 l k=0 e(k)z k + l e 0 z k = (e(k) e 0 )z k + k=l k=0 z z = (z )N(z) + e 0z l (z )z l = W e (z) z z e 0 z k k=0 W e (z) = (z )N(z) + e 0z l z l dove N(z) è al massimo di grado (l ) Pertanto le condizioni necessarie e sufficienti affinchè ciò avvenga sono W e (z) ha tutti i poli in z = 0 W e (z) ha almeno uno zero in z = se il sistema è di tipo h (a regime e 0 = 0)

5 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 5/32 Tempo di risposta finito 2 Tale proprietà si estende alla risposta ad una rampa unitaria (campionata) v(t) = t V (z) = Tz (z ) 2 Ripetendo i passaggi per un sistema asintoticamente stabile di tipo h E(z) =... = N(z) z l + e z z = W Tz e(z) (z ) 2 ( (z )N(z) + e z l) (z ) W e (z) = T z l con e costante (sistemi di tipo ) o nullo (sistemi di tipo h 2) Le condizioni sono allora W e (z) ha tutti i poli in z = 0 e uno zero in z = (sistema di tipo ) W e (z) ha tutti i poli in z = 0 e almeno due zeri in z = (tipo h 2, con e = 0)... e così via. Nel seguito considereremo però solo ingressi a gradino.

6 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 6/32 Progetto con tempo di risposta finito In risposta ad un ingresso a gradino, desiderando un errore a regime nullo in tempo finito (pari a lt ) deve dunque aversi W e (z) = K d + F(z) = K d(z )Q(z) z l ( ) con Q(z) polinomio monico di grado l Tre domande:. qual è il valore minimo ammissibile per l? 2. qual è l espressione di una C(z) realizzabile? 3. problemi di cancellazione poli-zeri dannosi alla stabilità interna? Ci riferiremo ad un processo P(z) con numeratore e denominatore coprimi, per garantire la risolubilità di una certa equazione polinomiale, e con eccesso poli-zero n m, per evitare problemi di loop algebrici nel controllo digitale

7 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 7/32 Progetto con tempo di risposta finito 2 Dalla relazione ( ) sulla funzione di trasferimento di errore ad anello chiuso si ha F(z) = K d P(z)C(z) = K d W e (z) W e (z) C(z) = K d P(z) z l (z )Q(z) (z )Q(z) = K d K d(z )Q(z) z l K d (z )Q(z) z l = zl (z )Q(z) (z )Q(z) La scelta (unica!) di un polinomio monico Q(z) di grado (l )che minimizza il grado del numeratore di C(z) è Q(z) = z l + z l z + z l (z )Q(z) = z l (z l ) =!! Pertanto, in ragione dell inversione del processo P(s) contenuta nell espressione della C(z), per la realizzabilità del controllore si ha l min = n m

8 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 8/32 Progetto con tempo di risposta finito 3 Se il processo P(s) è stabile asintoticamente e a fase minima (caso elementare: tutti i poli e zeri sono interni al cerchio unitario e quindi cancellabili), il controllore è quindi C(z) = K d P(z) z n m e si raggiunge il minimo tempo di risposta finito. Risulta infatti W(z) = K dp(z)c(z) K d + P(z)C(z) = K d + Kd z n m K d z n m = K d Y (z) = zn m V (z) ed essendo V (z) = Y d (z)/k d Y (z) = z n m Y d(z) y(k) = y d (k (n m)) (equazione alle differenze) Si noti infine che il fattore (z n m ) a denominatore della C(z) ha sempre almeno una radice in z = ( azione integrale sempre presente in G(z), sia che il processo abbia sia che non abbia già un integratore)

9 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 9/32 Esempio di progetto con tempo di risposta finito Si consideri il processo P(s) = Si ha s(s + ) con ZOH, campionamento T = s e K d =. P(z) = z z z = (z ) (z )(z ) 0.37(z ) (z )(z 0.37) e nel progetto si utilizzerà l approssimazione alla seconda cifra decimale. A parte l azione integrale, il polo e lo zero di P(z) sono interni al cerchio unitario

10 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 0/32 Esempio di progetto con tempo di risposta finito cont Essendo n m = 2 =, il controllore è C(z) = K d P(z) z = 0.37 z 0.37 z W(z) = z I campioni digitali dell uscita convergono in un solo passo T = s al valore y d =, ma sono presenti notevoli oscillazioni di inter-sampling su y(t) associate al fenomeno di ringing del comando u(t) a valle dello ZOH y samples over y continuous u samples with ZOH continuous time t continuous time t

11 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. /32 Progetto con tempo di risposta finito 4 Consideriamo ora la situazione più generale in cui il processo P(z) abbia poli instabili e/o zeri a fase non minima. Si definiscono N + P (z) e D+ P (z) i polinomi che forniscono, rispettivamente, gli zeri e i poli cancellabili del processo e N P (z) e D P (z) i restanti (con D P monico) P(z) = N+ P (z) D + P (z) N P (z) D P (z) grado(n P ) = m P = m grado(n + P ) grado(d P ) = n P = n grado(d + P ) Il controllore modificato per il deadbeat ha la forma C(z) = K d z D + P (z) N + P (z) N C (z) D C (z) con D C monico dove l azione integrale è introdotta solo se non è già presente nel processo. Per la realizzabilità di C(z) deve sussistere la seguente relazione tra i gradi dei polinomi incogniti N C (z) e D C (z) grado(d C ) grado(n C ) + grado(d + P ) grado(n+ P ) ( )

12 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 2/32 Progetto con tempo di risposta finito 5 Dalle F = K d PC = z N P D P N C D C W = K df + F = K d N P N C W e = K d W = K d (z )D P D C + N P N C ( den(w) N P N C den(w) = K dn P N C den(w) ) la condizione di progetto con tempo di risposta finito si riscrive solo come (den(w e ) = den(w) =) (z )D P (z)d C(z) + N P (z)n C(z) = z l ( ) per un l opportuno. Infatti se la ( ) è soddisfatta, allora anche num(w e ) = K d ( den(w) N P N C) = Kd (z )D P D C ha necessariamente uno zero in z = (o nel processo, D P, o dal fattore al denominatore della C(z))

13 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 3/32 Progetto con tempo di risposta finito 6 Studiamo la risolubilità della equazione di progetto ( ) (le incognite sono in rosso) (z )D P (z)d C(z) + N P (z)n C(z) = z l Poichè D P e N P sono coprimi (dovunque si trovi il fattore (z ))a, dalla teoria generale delle equazioni diofantine (anche dette di Bezout se nella forma polinomiale) esisterà certamente una soluzione. Per stabilire il minimo valore di l, calcoliamo i gradi dei polinomi coinvolti (e il numero di coefficienti incogniti) deg(n C ) = r (da definirsi) r + coefficienti deg(n P ) = m P deg(d C ) = r + (n n P ) (m m P ) (dalla ( ) con il segno di uguaglianza) r + (n n P ) (m m P ) coefficienti (monico) deg(d P ) = n P deg((z )) = a si può esclude la presenza di uno zero del processo in z= perchè non permetterebbe di risolvere il problema di regolazione dell uscita ad un valore desiderato costante

14 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 4/32 Progetto con tempo di risposta finito 7 Ne segue deg((z )D P D C) = r + (n m) + m P > r + m P = deg(n P N C) e quindi necessariamente l = r + (n m) + m P. Poichè i termini di ordine massimo (uguale) a destra e sinistra dell equazione polinomiale di progetto hanno coefficiente unitario, il principio di identità tra polinomi si esplicita in r + (n m) + m P equazioni e 2r + (n m) + m P n P coefficienti incogniti di N C, D C Uguagliando tali numeri (ossia, quadrando il sistema per avere soluzione unica e grado l minimo) si ottiene r = n P (o r = n P, se non serve aggiungere l integratore) e l min = (n m) + n P + m P (o =..., senza integratore aggiunto) che generalizza la relazione trovata nel caso elementare. Il minimo tempo di risposta aumenta di un passo di campionamento T per ogni evento (polo o zero) non cancellato Si noti infine che la sintesi porta in questo caso a W(z) = K dn P N C(z), con z l min denominatore assegnato ma con numeratore non unitario e non prevedibile a priori (tranne per il grado totale che è pari a n P + m P )

15 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 5/32 Esempio di progetto generale con tempo di risposta finito Si consideri il processo discreto P(z) = z(z 0.5)(z2 + z + ) (z 3)(z 0.) 2 (z + 0.5) 2 n = 5, m = 4 Il fattore (z 2 + z + ) a numeratore ha radici in z = 0.5 ( ± j 3 ) esterne al cerchio unitario. Risulta dunque m P = 2 e n P =. Inoltre, P(z) non ha un azione integrale Il controllore deadbeat sarà quindi della forma C(z) = z (z 0.) 2 (z + 0.5) 2 N C (z) D C (z) z(z 0.5) con deg(n C ) = n P =, deg(d C ) = n (m m p ) = 2, l min = (n m) + n p + m p = 4. Posto allora D C (z) = z 2 + az + b N C (z) = cz + d l equazione di progetto è (z )(z 3)(z 2 + az + b) + (z 2 + z + )(cz + d) = z 4

16 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 6/32 Esempio di progetto generale con tempo di risposta finito cont Il sistema di quattro equazioni in quattro incognite è a b c d = che restituisce a =.053 b = c = d = Il controllore è quindi di ordine 5 e proprio C(z) = (z 0.)2 (z + 0.5) 2 (2.9487z 2.654) z(z )(z 0.5)(z z ) La funzione di trasferimento ingresso-uscita ad anello chiuso è W(z) = (z2 + z + )(2.9487z 2.654) z 4 = Y (z) V (z)

17 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 7/32 Problema della risposta piatta per ingressi a gradino Si vuole studiare sotto quali condizioni è possibile avere, in risposta ad un gradino campionato: errore nullo dei campioni in uscita a partire da un tempo finito (e minimo) risposta piatta a regime al di fuori degli istanti di campionamento errore definitivamente nullo dell uscita continua a partire da un istante finito (e minimo possibile) Si forniranno prima delle condizioni sufficienti (e alcune anche necessarie) per l esistenza di risposta piatta in un sistema di controllo digitale e poi un procedimento di sintesi del controllore, che garantisce anche il minimo tempo per il raggiungimento di tale soluzione, basato su tali condizioni (costruttive) Il problema ha senso solo in sistemi ibridi (controllo digitale di processi continui discretizzati)

18 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 8/32 Condizioni di risposta piatta per ingressi a gradino Teorema Con riferimento allo schema del lucido #3, se un istante di campionamento k tale che h k valgano le seguenti condizioni:. e(h) = 0 2. u(h) = cost = P K d con P = lim s 0 P(s) = lim z P(z) = { 0 se P(s) ha almeno un polo in s = 0 finito 0 se P(s) non ha poli in s = 0 allora, purchè si sia scelto il passo di campionamento T con una certa cautela, si avrà che l uscita y(t) del processo in risposta ad un gradino assume identicamente il valore desiderato K d per ogni t kt (risposta piatta) Prova (cenni) Nel caso di autovalori distinti (λ i λ j, i, j {,...,n}, i j) si esprime l uscita y(t) nell intervallo [kt, (k + )T) (usando l hp 2) e si impone l annullamento dell errore (hp ) in tutti gli istanti di campionamento t = ht, con h k; ne risulta un sistema di equazioni con matrice V nella forma di Vandermonde che ha soluzione y(t + kt) = K d per ogni t 0 se detv 0, il che accade per tutte le scelte di T tali che e λ it e λ jt i j

19 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 9/32 Condizioni di risposta piatta per ingressi a gradino 2 Le condizioni del Teorema si riscrivono come. e(h) = 0 h k E(z) = Q(z) z k 2. u(h) = P K d h k U(z) = P z K d z + S(z) z k con Q(z) e S(z) polinomi di grado k. Sia inoltre F(z) = K d P(z)C(z) = N F(z) D F (z) Teorema 2 Con riferimento allo schema del lucido #3, le condizioni. e 2. sono soddisfatte se e solo se A) N F (z) + D F (z) = z k B) D F (z) ha una radice in z = C) non ci sono cancellazioni di zeri di P(z) con poli di C(z)

20 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 20/32 Condizioni di risposta piatta per ingressi a gradino 3 Prova Dalla E(z) = W e (z) z z = K d + F(z) z z = K d N F (z) N F (z) + D F (z) z z = Q(z) z k segue immediatamente la necessità di A) e B). Per provare la necessità di C), si fattorizzino P(z) e C(z) come al solito P(z) = N+ P (z) D + P (z) N P (z) D P (z) C(z) = D+ P (z) N + P (z) N C (z) D C (z) con i rispettivi polinomi al num/den coprimi tra loro e dove N + P del processo cancellabili dal controllore. Segue (z) sono gli eventuali zeri F(z) = e quindi (dalla A) N P (z)n C(z) K d D P (z)d C(z) = N F(z) D F (z) (con N F e D F coprimi) N F (z) + D F (z) = N P (z)n C(z) + K d D P (z)d C(z) = z k

21 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 2/32 Condizioni di risposta piatta per ingressi a gradino 4 Per la trasformata del segnale di controllo si ha U(z) = = C(z) + F(z) z z = K d N C (z)d + P (z)d P (z) N C (z)d + P (z) D C (z)n + P (z) + N P (z)n C(z) K d D P (z)d C(z) K d D P (z)d C(z) + N P (z)n C(z) N + P (z) z z z z = K dn C (z)d + P (z)d P (z) z k N + P (z) z z = K dn C (z)d + P (z)d P (z) z k (z ) N + P (z) =P K d z z + S(z) z =... k z k (z ) da cui necessariamente N + P (z) = cost (grado 0) e non possono esserci cancellazioni degli zeri (anche se a fase minima!) del processo Per dimostrare la sufficienza delle A)-C), si ponga anzitutto N + P (z) = [hp C)]

22 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 22/32 Condizioni di risposta piatta per ingressi a gradino 5 Si ha allora per l espressione si U(z) il seguente sviluppo in frazioni parziali U(z) = K dn C (z)d + P (z)d P (z) z k (z ) = S(z) Az + zk z con un trucco tecnico per il residuo nel polo z = (si sviluppa U(z)/z anzichè solo U(z) per far comparire la trasformata del gradino) che si calcola come A = lim z (z ) U(z) z K d N C (z)d + P = lim (z)d P (z) z z k N P (z) N P (z) = lim z P(z) = lim z K d P(z) K d N C (z)n P (z) z k F(z) + F(z) = ( lim z = lim z P(z) K d P(z) ) K d N F (z) [dalla hp A)] N F (z) + D F (z) ) F(z) = P K d [dalla hp B)] + F(z) ( lim z da cui U(z) ha la struttura 2. richiesta c.v.d.

23 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 23/32 Progetto con risposta piatta per ingressi a gradino Le condizioni A) N F + D F = z k, B) D F ha una radice in z =, e C) nessuna cancellazione degli zeri di P si prestano bene a una sintesi costruttiva del controllore Consideriamo dapprima il caso in cui P(z) non abbia poli in z =. Sia allora P(z) = b n z n b z + b 0 D + P (z)(zr + a r z r a z + a 0 ) con grado(d + P ) + r = n dove D + P (z) contiene gli eventuali poli (stabili) di P(z) cancellabili senza problemi Il controllore ha la struttura propria C(z) = K d z D + P (z)(d sz s + d s z s d z + d 0 ) z m + c m z m c z + c 0 con grado(d + P ) + s = m + Dalle definizioni dei gradi dei polinomi segue che s + n = r + m + con m e s da definire mentre il numero dei coefficienti incogniti {c 0, c,...,c m, d 0, d,...,d s } è pari a m + s +

24 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 24/32 Progetto con risposta piatta per ingressi a gradino 2 Dalla D F + N F = z k si ha l equazione di progetto z k = (z )(z m + c m z m c 0 )(z r + a r z r a 0 ) + (b n z n b 0 )(d s z s + d s z s d 0 ) in cui il polinomio a destra è certamente di grado (m + r + ) con (m + s + ) coefficienti incogniti Per la risolubilità occorre allora che s r k = m + r + (= n + s) per cui il campione k a partire dal quale si può avere risposta piatta non può essere comunque inferiore al grado n del denominatore di P(z) Il valore minimo di k si ottiene per s = 0, il che implica k min = n e r = 0. Ciò accade quando l intero denominatore den(p) = D + P è cancellabile, ossia il processo P(z) è asintoticamente stabile. Il controllore diventa C(z) = K d d 0 D + P (z) (z )(z m + c m z m c z + c 0 ) ed è possibile determinarne i coefficienti incogniti in forma esplicita (m = n )

25 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 25/32 Progetto con risposta piatta per ingressi a gradino 3 Infatti in tal caso l equazione di progetto z n = (z )(z n + c n 2 z n c 0 ) + (b n z n b 0 )d 0 è equivalente, per il principio di identità dei polinomi, a un sistema di n equazioni in n incognite della forma b 0 d 0 c 0 = 0 b d 0 + c 0 c = 0 b 2 d 0 + c c 2 = 0. =.. b n 2 d 0 + c n 3 c n 2 = 0 b n d 0 + c n 2 = Sommando tutte le equazioni si ha (b n + b n b + b 0 ) d 0 = e poichè num(p()) = b n + b n b + b 0 0 cioè il processo non ha zeri in z = (in caso contrario, non sarebbe neanche possibile per la D F (z) avere un polo in z = ), il sistema è risolubile

26 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 26/32 Progetto con risposta piatta per ingressi a gradino 4 Si ha allora d 0 = b n + b n b + b 0 c 0 = b 0 d 0 c = c 0 + b d 0 = d 0 (b + b 0 ). c n 3 = c n 4 + b n 3 d 0 = d 0 (b n 3 + b n b + b 0 ) c n 2 = c n 3 + b n 2 d 0 = d 0 (b n 2 + b n b + b 0 ) Ovviamente nel caso in cui non si possano cancellare tutti i poli del processo, la soluzione va trovata numericamente caso per caso. Si applicano i risultati del caso generale di risposta in tempo finito, tenendo presente che per avere risposta piatta si ha sempre m P = m. La seguente tabella ricapitola le diverse situazioni: l min /k min deadbeat risposta piatta P : stabile, a fase minima n m n P : stabile, m P zeri a fase non minima (n m) + m P n P : a fase minima, n P poli instabili (n m) + n P n + n P P : n P poli instabili, m P zeri a fase non minima (n m) + n P + m P n + n P

27 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 27/32 Progetto con risposta piatta per ingressi a gradino 5 Rimane da trattare il caso in cui P(z) abbia un polo in z =, che però non presenta particolari differenze. Si ha allora P(z) = b n z n b z + b 0 (z )D + P (z)(zr + a r z r a z + a 0 ) con grado(d + P ) + r + = n e il controllore ha ancora la struttura propria C(z) = K d D + P (z)(d sz s + d s z s d z + d 0 ) z m + c m z m c z + c 0 con grado(d + P ) + s = m Poichè dalle definizioni dei gradi dei polinomi segue la stessa relazione di progetto del caso di P(z) senza azione integrale s + n = r + m + con m e s da definire il resto della trattazione procede in modo del tutto analogo

28 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 28/32 Esempio di progetto con risposta piatta Si riconsideri il processo P(s) dell esempio di progetto deadbeat P(z) 0.37(z ) (z )(z 0.37) T = s P = 0 in cui D + p (z) = (z 0.37) è cancellabile, ma per avere risposta piatta lo zero non si può più rimuovere (m P = ; b = 0.37, b 0 = )

29 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 29/32 Esempio di progetto con risposta piatta cont Il progetto (con k = (n m) + m P = + = 2) prevede C(z) = (z 0.37)d 0 z + c 0 (z )(z+c 0 )+0.37d 0 (z+0.72) = z 2 d 0 = c 0 = L uscita continua diviene piatta e assume il valore desiderato unitario (K d = ) a partire da 2T = 2 s, con u(h k) = y samples over y continuous u samples with ZOH continuous time t continuous time t

30 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 30/32 Secondo esempio di progetto con risposta piatta Si consideri il processo instabile P(s) = P(z) = s(s ) con ZOH, T = s e K d =. Si ha b z + b 0 (z )(z + a 0 ) = z + (z )(z 2.780) 0.72 z + (z )(z 2.72) = P (z) Nel progetto si utilizzeranno sia i valori con quattro cifre decimali (P(z)) che quelli approssimati alla seconda cifra (P (z)). A parte l azione integrale, nè polo (instabile) nè zero (risposta piatta, comunque a fase non minima) sono cancellabili (m P =, n P = )

31 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 3/32 Secondo esempio di progetto con risposta piatta 2 In questo caso r =, e quindi s =, m = k min = 3. Si pone C(z) = d z + d 0 z + c 0 (b z + b 0 )(d z + d 0 ) + (z )(z + a 0 )(z + c 0 ) = z 3 Il sistema da risolvere è 0 b a 0 b b 0 a 0 b 0 0 c 0 d 0 d = a 0 a 0 0 Sostituendo i valori numerici di P(z) e, rispettivamente, P (z) si ottiene C(z) = z z +.77 oppure C (z) = 3.6z 3.03 z +. La sensibilità ad arrotondamenti numerici è più elevata nei metodi di sintesi con prestazioni spinte (come il deadbeat e la risposta piatta) ed è anche accentuata dalle caratteristiche di instabilità del processo

32 Sistemi Digitali di Controllo A.A p. 32/32 Secondo esempio di progetto con risposta piatta 3 Risposta al gradino e uscita del controllore (a valle dello ZOH) con C(z) y samples over y continuous u samples with ZOH e con C (z) continuous time t continuous time t y samples over y continuous u samples with ZOH continuous time t continuous time t