PROVA SCRITTA DI FONDAMENTI DI AUTOMATICA A.A. 2003/ luglio Soluzione

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1 PROVA SCRITTA DI FONDAMENTI DI AUTOMATICA A.A. 23/24 2 luglio 24

2 Esercizio In riferimento allo schema a blocchi in figura. s r y 2 s y K s2 Domanda.. Determinare una realizzazione in equazioni di stato del sistema complessivo x s t r y 2 x 2 s t 2 y t 3 K s2 x 3 Indicando le variabili di stato e i segnali come in figura, si ottengono le equazioni: ẋ = x r t = x ẋ 2 = y 2 t 2 = x 2 y 2 = r t 3 ẋ 3 = 2x 3 Kt 2 t 3 = x 3 y = t t 2

3 da cui la rappresentazione di stato seguente ẋ = x r ẋ 2 = x 3 r ẋ 3 = Kx 2 2x 3 y = x x 2 y 2 = x 3 r ovvero, in forma compatta: dove { ẋ = AxBr y = CxDr A = K 2 [ ] C = B = D = [ ]

4 Domanda.2. Calcolare le funzioni di trasferimento del sistema tra l ingresso r(t) e le uscite y (t) e y 2 (t). La matrice delle funzioni di trasferimento (in questo caso, essendo il sistema ad un solo ingresso, si tratta di un vettore colonna) si può calcolare applicando la F(s) = C(sI A) B D, ossia [ ] F y r (s) F(s) = Fr y2(s) = [ ] (s)(s 2 2sK) s 2 2sK (s)(s2) K(s) [ ] dove i termini contrassegnati con asterisco non sono stati calcolati, in quanto ininfluenti sul risultato. Si ottiene allora F y r (s) = 2s 2 5s2K (s)(s 2 2sK) K r (s) = (s 2 2sK) F y2 Domanda.3. Analizzare la stabilità del sistema complessivo al variare del parametro K R. Il polinomio caratteristico della matrice A è p(λ) = (λ)(λ 2 2λK). Il primo fattore ha per radice λ =. Il secondo fattore è un polinomio di secondo grado. Esso ha radici a parte reale negativa se e solo se tutti i suoi coefficienti sono concordi. Ne segue che si ha asintotica stabilità per K >. Per K = vi è una radice in λ = e quindi il sistema è stabile ma non asintoticamente, mentre è instabile per K <. Domanda.4. Si supponga che K =, che l ingresso sia r(t) = (t) 2 (t 4)(t 8) e che lo stato iniziale sia nullo. Determinare analiticamente la risposta y (t) a regime, ovvero a transitori esauriti. L ingresso considerato è la somma di tre scalini applicati a partire da istanti diversi (t =,t 2 = 4 e t 3 = 8) ed è tale che r(t) = 2 =, t 8.

5 Poiché il sistema, per K =, è asintoticamente stabile, l effetto degli ingressi precedenti l istante t 3 si estingue per t e quindi la risposta cercata è la risposta a regime del sistema ad un ingresso nullo ossia y =.

6 Esercizio 2 Si consideri il sistema non lineare descritto dalle equazioni di stato seguenti: ẋ = x ẋ 2 = x 3 ẋ 3 = sin(x 2 )u y(t) = [x ] 2 Domanda 2.. Determinare gli stati e le uscite di equilibrio in corrispondenza dell ingresso costante ū(t) =, t. Imponendo che, in corrispondenza dell ingresso costante assegnato, la derivata del vettore di stato sia nulla si ottengono le equazioni seguenti: = x = x 3 = sin(x 2 ) che ammettono infinite soluzioni della forma x = π 2 2kπ con k intero, che sono pertanto gli stati di equilibrio cercati. A ciascuno di essi corrisponde la medesima uscita di equilibrio ȳ = ( x ) 2 =.

7 Domanda 2.2. Determinare l espressione del sistema linearizzato in corrispondenza di tutti i punti di equilibrio calcolati nella risposta alla domanda 2. Assegnati x e ū, il sistema linearizzato è descritto dalle matrici seguenti [ ] fi A x,ū = = x j x,ū cosx 2 [ ] fi B x,ū = = u j x,ū [ ] gi C x,ū = = [ 2x ] x,ū x j x,ū [ ] gi D x,ū = = u j x,ū Sostituendo i valori opportuni e osservando che cosx =, x = π 2 2kπ e che x = per tutti i punti di equilibrio, si ottiene che tutti i sistemi linearizzati corrispondenti ai punti di equilibrio trovati sono descritti dalle matrici seguenti: A =, B = C = [ ], D = x,ū Domanda 2.3. Analizzare la stabilità di tutti i punti di equilibrio calcolati nella risposta alla domanda 2.. La matrice A è triangolare superiore destra, pertanto gli elementi della diagonale principale, ossia {,, } ne sono gli autovalori. Poiché vi è un autovalore a parte reale positiva, tutti i punti di equilibrio sono instabili.

8 Esercizio 3 Si consideri un sistema lineare tempo invariante di cui siano riportati i diagrammi di Bode asintotici ed effettivi nella figura seguente. 4 Diagramma di Bode Modulo 2 db 2 ( ) () (2) () pulsazione Diagramma di Bode Fase 5 gradi pulsazione

9 Domanda 3.. Si individui una possibile funzione di trasferimento la cui risposta in frequenza associata abbia le caratteristiche dei diagrammi in figura. Sulla base dei diagrammi asintotici si possono fare le seguenti osservazioni. Il primo tratto del diagramma del modulo ha pendenza e passa per gli db in corrispondenza di ω =.4, quindi vi è un termine del tipo µ s con µ =.4. La fase per ω tendente a zero è pari a 9 o e quindi µ >. Per ω = la fase si innalza di 8 o e il diagramma del modulo aumenta la pendenza di due unità. Questo fatto può essere spiegato dalla presenza di due zeri complessi coniugati a parte reale negativa, ossia dal fattore (s 2 2ξs). Dall analisi del diagramma effettivo, si deduce che lo smorzamento ξ è basso, per esempio ξ =.5. Perω = 2 la fase si abbatte di 9 o e la pendenza del modulo aumenta di una unità, segno della presenza di uno zero a parte reale positiva. Si ha allora il fattore (.5s) Infine, per ω = si osserva il comportamento corrispondente a due poli complessi coniugati a parte reale negativa e smorzamento basso. La pendenza infatti si abbatte di due unità e la fase di 8 o. Si può ritenere che sia presente il fattore ( s s) Una possibile funzione di trasferimento i cui diagrammi siano quelli richiesti è dunque F(s) =.4(s2 2.5s)(.5s) s( s s)

10 Esercizio 4 Con riferimento al sistema rappresentato dallo schema a blocchi in figura: d y e R (s) G (s) y ove G(s) = 5(s2) s 2 2s Domanda 4.. Utilizzando i diagrammi asintotici di Bode (si allega la carta logaritmica nella pagina seguente), si progetti un regolatore R(s) in modo che siano soddisfatte le seguenti specifiche di progetto: e( ) = per y = A (t), d(t) = B (t), con A e B che possono assumere un qualunque valore finito tempo di assestamento T a sec. Osserviamo anzitutto che la G(s) può essere scritta nel modo seguente.5s G(s) = s 2 2. s, pertanto essa presenta un guadagno pari a, uno zero in corrispondenza della pulsazione ω = 2rad/s e due poli complessi coniugati in corrispondenza della pulsazione ω = rad/s. Il regolatore sia della forma R(s) = R (s)r 2 (s), dove R (s) è progettato per soddisfare la prima specifica (comportamento statico) e R 2 (s) è progettato per soddisfare anche la seconda specifica (comportamento dinamico). Affinché l errore a regime sia nullo per ingressi a scalino di qualsiasi ampiezza, è sufficiente introdurre nel regolatore una azione integrale, ossia R (s) = µ R s. Nella figura seguente è riportato in blu il diagramma di Bode asintotico della G(s)R (s) con µ R =. Per soddisfare la specifica sul tempo di assestamento, è sufficiente ottenere una pulsazione critica di anello aperto ω c = 5 T a = 5rad/s (naturalmente, anche la stabilità asintotica dovrà essere garantita). La maniera più semplice per fare ciò è quella di cancellare lo zero e i poli della G(s) ponendo R 2 (s) = s 2 2. s.5s e scegliere µ R in modo tale che la pulsazione critica sia quella voluta. Con la scelta di R 2 (s) appena effettuata, la funzione di trasferimento di anello aperto risulta L(s) = G(s)R (s)r 2 (s) = µ R s.

11 Affinché la pulsazione critica sia pari a 5rad/s deve essere L(5j) = µ R 5j =, da cui si ottiene µ R = 5. Il sistema in anello chiuso è asintoticamente stabile con margine di fase pari a ϕ m = 8 o arg( 5j ) = 9o. modulo asintotico [db] G(s)R (s) R(s) L(s) pulsazione [rad/s] fase asintotica [deg] 5 5 G(s)R (s) R(s) L(s) pulsazione [rad/s]

12 Domanda 4.2. Assumendo che d(t) =, t, valutare l errore a regime e( ) in corrispondenza di un ingresso a rampa y (t) = A t (t) La funzione di trasferimento fra l ingresso y o e l errore e è: F e y o(s) = L(s) = s s5. Pertanto, l errore in corrispondenza di un ingresso a rampa è esprimibile, in termini di trasformate, come segue E(s) = Fy e o(s)y o(s) = s A s5s 2 = A (s5)s. L errore a regime si può calcolare applicando il teorema del limite finale (che è applicabile in quanto la E(s) non presenta poli a parte reale positiva ed ha un solo polo a parte reale nulla): e( ) = lim s se(s) = A 5. Domanda 4.3. Sempre assumendo che d(t) =, t, valutare il massimo ritardo d anello ammissibile senza che venga inficiata la stabilità in anello chiuso, ovvero, sostituendo a G(s) la funzione di trasferimento G (s) = G(s) e st, si valuti il massimo ritardo T per cui non venga inficiata la stabilità in anello chiuso. Il ritardo massimo accettabile è T = π 8ω c ϕ m.34s.