Fondamenti di Controlli Automatici. 1 Temi d'esame. Politecnico di Torino CeTeM. Politecnico di Torino Pagina 1 di 25 Data ultima revisione 19/09/00

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1 etem Fondamenti di ontrolli Automatici Temi d'esame ATTENZONE: i temi d esame e gli esercizi proposti riguardano (per ora) solo la parte di analisi di sistemi di controllo; per quanto riguarda il progetto, si faccia riferimento agli esercizi proposti nelle schede FA9, FA, FA delle dispense disponibili presso Politeko (l elenco completo delle schede utilizzate è riportato all interno della descrizione del programma del tutorato). Politecnico di Torino Pagina di 5 Data ultima revisione 9/9/

2 etem Fondamenti di ontrolli Automatici Temi d'esame Temi d esame ed esercizi di preparazione all esame Tema Es. Sia dato il seguente sistema elettrico: u y, /4 /, Scrivere le equazioni del modello in variabili di stato. Es. Sia dato un sistema a tempo continuo, descritto in variabili di stato dalle seguenti matrici: A B D [ 5 5] [ 5] Discutere la stabilità interna (autovalori). alcolare la funzione di trasferimento fra ingresso e uscita, mettendone in evidenza zeri, poli e guadagno stazionario. alcolare quindi la risposta al gradino per condizioni iniziali nulle. Es. r - e u y G(s K s s Data G( s).5 tracciare i diagrammi di Bode di G(s), e dire per quali valori di K s s il sistema è asintoticamente stabile in catena chiusa. Politecnico di Torino Pagina di 5 Data ultima revisione 9/9/

3 etem Fondamenti di ontrolli Automatici Temi d'esame Es. 5 alcolare la risposta al gradino del sistema descritto dalle matrici A, B,, D date nell es., per condizioni iniziali nulle. Politecnico di Torino Pagina di 5 Data ultima revisione 9/9/

4 etem Fondamenti di ontrolli Automatici Temi d'esame Politecnico di Torino Pagina 4 di 5 Data ultima revisione 9/9/

5 Fondamenti di ontrolli Automatici Temi d'esame Politecnico di Torino Pagina 5 di 5 Data ultima revisione 9/9/ Politecnico di Torino etem Soluzione tema Es. Variabili di stato: e tensioni sui condensatori Vettore di stato: Dalle relazioni: u considerando come uscita, si ricavano le equazioni del modello in variabili di stato: Du y Bu A con D B A. Sostituendo i valori numerici indicati, si ottengono le matrici indicate nell esercizio. u

6 etem Fondamenti di ontrolli Automatici Temi d'esame Es. Gli autovalori della matrice A sono: λ - e λ -; essendo reali negativi, il sistema è asintoticamente stabile internamente. La funzione di trasferimento può essere calcolata come: - G( s ) ( s A) B D Si ottiene la funzione G(s) proposta nell es., avente uno zero in, un polo in ed uno in e guadagno stazionario nullo. Es. Diagrammi di Bode di G(s): Bode Diagrams From: U() - - Phase (deg); Magnitude (db) To: Y() Frequency (rad/sec) Politecnico di Torino Pagina 6 di 5 Data ultima revisione 9/9/

7 etem Fondamenti di ontrolli Automatici Temi d'esame Es. 4 La stabilità del sistema in catena chiusa al variare di K può essere valutata sia ricorrendo al criterio di Nyquist (dopo aver tracciato il diagramma di Nyquist di G(s)), sia applicando il criterio di outh al polinomio caratteristico ad anello chiuso, dato da: d( sk) (.5K) s ( K) s Poiché il polinomio è di secondo grado, affinché le sue radici siano tutte a parte reale negativa, è sufficiente imporre che tutti i coefficienti siano positivi; si ottiene così che il sistema in catena chiusa è asintoticamente stabile per K > - (naturalmente con K ). ome ulteriore esercizio, si consiglia di ritrovare tale risultato applicando il criterio di Nyquist. Es. 5 La risposta al gradino può essere calcolata agevolmente utilizzando la funzione di trasferimento calcolata precedentemente. icordando che la trasformata di Laplace della funzione gradino è data da, la trasformata s della risposta cercata è data da: y( s).5 s s. s Scomponendo y(s) in fratti semplici come antitrasformando si ottiene: 6 t t y( t) e e. ( s).5 s s y ed Politecnico di Torino Pagina 7 di 5 Data ultima revisione 9/9/

8 etem Fondamenti di ontrolli Automatici Temi d'esame Tema Es. Sia dato il seguente sistema elettrico: u y, /4 /,, / Scrivere le equazioni del modello in variabili di stato. Es. Sia dato un sistema a tempo continuo, descritto in variabili di stato dalle seguenti matrici: A 5 6 B 5 6 D [ 5 5 ] [ 5] Discutere la stabilità interna (autovalori). alcolare la funzione di trasferimento fra ingresso e uscita, mettendone in evidenza zeri, poli e guadagno stazionario. Es. r - e u y G(s K Politecnico di Torino Pagina 8 di 5 Data ultima revisione 9/9/

9 etem Fondamenti di ontrolli Automatici Temi d'esame s Data G( s) 5 rispondere alle seguenti domande: s( s s ). Tracciare i diagrammi di Bode di G(s). Discutere la stabilità in catena chiusa per K, rilevando i margini di stabilità di fase e di guadagno.. Dire per quali valori di K il sistema è asintoticamente stabile in catena chiusa. Politecnico di Torino Pagina 9 di 5 Data ultima revisione 9/9/

10 etem Fondamenti di ontrolli Automatici Temi d'esame Soluzione tema Es. u Variabili di stato:,, tensioni sui condensatori Vettore di stato: Dalle relazioni: u considerando come uscita, si ricavano le equazioni del modello in variabili di stato: con A Bu y Du Politecnico di Torino Pagina di 5 Data ultima revisione 9/9/

11 Fondamenti di ontrolli Automatici Temi d'esame Politecnico di Torino Pagina di 5 Data ultima revisione 9/9/ Politecnico di Torino etem D B A. Sostituendo i valori numerici indicati, si ottiene: [ ] [ ] D B A Es. Gli autovalori della matrice A data sono: -, -, -5. Essendo tutti reali negativi, il sistema è asintoticamente stabile internamente. La funzione di trasferimento può essere calcolata come: D B A s s - ) ( ) G( ottenendo così:.5 ) G( s s s s s avente uno zero in, un polo in ed uno in e guadagno stazionario nullo.

12 etem Fondamenti di ontrolli Automatici Temi d'esame Es. Diagrammi di Bode di G(s): Bode Diagrams 5 From: U() Phase (deg); Magnitude (db) To: Y() Frequency (rad/sec) Poiché il sistema è a stabilità regolare, è possibile dedurre l asintotica stabilità ad anello chiuso per K direttamente dai diagrammi di Bode, da cui si rilevano i seguenti valori per i margini di stabilità: margine di fase 5 o margine di guadagno 7 db Politecnico di Torino Pagina di 5 Data ultima revisione 9/9/

13 etem Fondamenti di ontrolli Automatici Temi d'esame La stabilità del sistema in catena chiusa al variare di K può essere valutata sia ricorrendo al criterio di Nyquist (dopo aver tracciato il diagramma di Nyquist di G(s)), sia applicando il criterio di outh al polinomio caratteristico ad anello chiuso, dato da: d( sk) s s ( 5K) s 5K ondizione necessaria affinché tutte le radici di tale polinomio siano a parte reale negativa è che i suoi coefficienti siano tutti concordi in segno (in questo caso positivi), da cui si ricava la condizione K >. Dalla tabella di outh: 5K - 45 K 5 K 5 K si ricava che la radici del polinomio d(s,k) sono tutte a parte reale negativa, e quindi il sistema in catena chiusa è asintoticamente stabile, per < K <.. (Si noti che, a conferma di quanto precedentemente trovato, il valore K appartiene all intervallo di stabilità). ome ulteriore esercizio, si consiglia di ritrovare tale risultato applicando il criterio di Nyquist. Politecnico di Torino Pagina di 5 Data ultima revisione 9/9/

14 etem Fondamenti di ontrolli Automatici Temi d'esame Tema Es. Dato il sistema in retroazione riportato in figura: -. s s( s ) verificare l asintotica stabilità del sistema in catena chiusa. alcolare quindi il margine di fase ed il margine di guadagno, dopo aver determinato la pulsazione di attraversamento. Es. Dato il sistema in retroazione riportato in figura: - K ( s )(s 5) dire per quali valori di K il sistema è asintoticamente stabile in catena chiusa. Politecnico di Torino Pagina 4 di 5 Data ultima revisione 9/9/

15 etem Fondamenti di ontrolli Automatici Temi d'esame Es. Sia dato un sistema a tempo continuo, descritto in variabili di stato dalle seguenti matrici: A B D [ ] [ ] Discutere la stabilità interna (autovalori), l osservabilità e la controllabilità. Determinare inoltre la funzione di trasferimento fra ingresso e uscita. Politecnico di Torino Pagina 5 di 5 Data ultima revisione 9/9/

16 etem Fondamenti di ontrolli Automatici Temi d'esame Soluzione tema Es. Si può facilmente verificare che il sistema in catena chiusa è descritto dalla seguente funzione di trasferimento: s s s avente due poli a parte reale negativa in 55 ± 85 (corrispondenti a ω n e ζ.55): tale sistema è pertanto asintoticamente stabile. Dai diagrammi di Bode della funzione ad anello aperto, sotto riportati: Bode Diagrams 4 From: U() Phase (deg); Magnitude (db) To: Y() Frequency (rad/sec) si possono leggere i valori richiesti, ovvero: pulsazione di attraversamento: ω t.78 rad/s margine di fase: 56 o Politecnico di Torino Pagina 6 di 5 Data ultima revisione 9/9/

17 etem Fondamenti di ontrolli Automatici Temi d'esame margine di guadagno: infinito Es. La stabilità del sistema in catena chiusa al variare di K può essere valutata sia ricorrendo al criterio di Nyquist (dopo aver tracciato il diagramma di Nyquist di G(s)), sia applicando il criterio di outh al polinomio caratteristico ad anello chiuso, dato da: d( sk) s 4 s K 5 Poiché il polinomio è di secondo grado, affinché le sue radici siano tutte a parte reale negativa, è sufficiente imporre che tutti i coefficienti siano di segno concorde (in questo caso positivi); si ottiene così che il sistema in catena chiusa è asintoticamente stabile per K > 5. ome ulteriore esercizio, si consiglia di ritrovare tale risultato applicando il criterio di Nyquist al diagramma di Nyquist della funzione in catena aperta sotto riportato:.8 Nyquist Diagrams From: U().6.4 maginary Ais To: Y() eal Ais Es. Politecnico di Torino Pagina 7 di 5 Data ultima revisione 9/9/

18 etem Fondamenti di ontrolli Automatici Temi d'esame Gli autovalori della matrice A data sono:, -.5.9i, i. Poiché uno solo di essi è nullo, mentre tutti gli altri sono a parte reale strettamente negativa, il sistema è semplicemenre stabile. La matrice di raggiungibilità del sistema è data da: Poiché la matrice ha rango, il sistema non è completamente raggiungibile; in particolare, il sottospazio di raggiungibilità ha dimensione. La matrice di osservabilità del sistema è data da: O Poiché la matrice O ha rango, il sistema non è completamente osservabile; in particolare il sottospazio di osservabilità ha dimensione. La funzione di trasferimento può essere calcolata come: - G ( s) ( s A) B D ottenendo così: G( s) s s s (Si noti l avvenuta cancellazione di una coppia zero-polo in s, corrispondente al modo non osservabile del sistema). Politecnico di Torino Pagina 8 di 5 Data ultima revisione 9/9/

19 etem Fondamenti di ontrolli Automatici Temi d'esame Altri esercizi isolvere i seguenti esercizi, facendo riferimento alla figura sotto riportata: r - e u y G(s K Es. A ( s ) Data G( s), rispondere alle seguenti domande: s. on l ausilio del criterio di outh, dire per quali valori di K il sistema è asintoticamente stabile in catena chiusa.. Tracciare i diagrammi di Bode e di Nyquist del sistema in catena aperta per K.5 e fare un analisi di stabilità del sistema in catena chiusa (se instabile, dire quanti sono i poli instabili; se stabile, dire quanto valgono i margini di stabilità di fase e di guadagno).. ipetere quanto richiesto al punto per K 5. Es. B Data G( s ) s 5, rispondere alle seguenti domande: s 7. Tracciare i diagrammi di Bode ed il diagramma di Nyquist di G(s).. Dire per quali valori di K il sistema in catena chiusa è asintoticamente stabile. Soluzione es. A. La stabilità del sistema in catena chiusa al variare di K può essere valutata applicando il criterio di outh al polinomio caratteristico ad anello chiuso, dato da: d( s K) s K s K s K Politecnico di Torino Pagina 9 di 5 Data ultima revisione 9/9/

20 etem Fondamenti di ontrolli Automatici Temi d'esame ondizione necessaria affinché tutte le radici di tale polinomio siano a parte reale negativa è che i suoi coefficienti siano tutti concordi in segno (in questo caso positivi), da cui si ricava la condizione K >. Dalla tabella di outh:.k.k.k -.K.K.K si ricava che la radici del polinomio d(s,k) sono tutte a parte reale negativa, e quindi il sistema in catena chiusa è asintoticamente stabile, per K > 5.. Dai diagrammi di Bode di.5 G(s) sotto riportati, si vede che per K.5 il sistema in catena chiusa è instabile (i margini di stabilità sono negativi): Bode Diagrams From: U() 5 Phase (deg); Magnitude (db) To: Y() Frequency (rad/sec) Politecnico di Torino Pagina di 5 Data ultima revisione 9/9/

21 etem Fondamenti di ontrolli Automatici Temi d'esame Applicando il criterio di Nyquist al diagramma di Nyquist di.5 G(s), si ricava inoltre che il numero di poli instabili è pari a due, poiché il diagramma della funzione compie due rotazioni orarie attorno al punto critico. Nyquist Diagrams From: U().5 maginary Ais To: Y() eal Ais l punto corrispondente a ω - deve essere raccordato al punto simmetrico, corrispondente a ω, con tre semicerchi all infinito, percorsi in senso orario. Politecnico di Torino Pagina di 5 Data ultima revisione 9/9/

22 etem Fondamenti di ontrolli Automatici Temi d'esame. Dai diagrammi di Bode di 5 G(s) sotto riportati, si vede che per K 5 il sistema in catena chiusa è asintoticamente stabile con margine di fase di 68 o. Bode Diagrams 5 From: U() Phase (deg); Magnitude (db) To: Y() Frequency (rad/sec) Politecnico di Torino Pagina di 5 Data ultima revisione 9/9/

23 etem Fondamenti di ontrolli Automatici Temi d'esame l guadagno può essere aumentato a piacimento, continuando a mantenere l asintotica stabilità del sistema, ma non può essere ridotto al di sotto di. (confermando così i risultati ottenuti dall analisi fatta con il criterio di outh). Tale risultato è ritrovabile anche dall applicazione del criterio di Nyquist al diagramma di Nyquist di 5G(s), sotto riportato (N.B. la rotazione antioraria attorno al punto è compensata dalla rotazione oraria determinata dai semicerchi all infinito): 5 Nyquist Diagrams From: U() 5 maginary Ais To: Y() eal Ais Politecnico di Torino Pagina di 5 Data ultima revisione 9/9/

24 etem Fondamenti di ontrolli Automatici Temi d'esame Soluzione es. B. Diagrammi di Bode di G(s): Bode Diagrams 4 From: U() Phase (deg); Magnitude (db) To: Y() 5 Frequency (rad/sec). Diagramma di Nyquist di G(s): Nyquist Diagrams From: U().5 maginary Ais To: Y() eal Ais La funzione G(s) data ha due poli reali, uno negativo (in 6.7) e l altro positivo (in 4.7). Applicando il criterio di Nyquist al diagramma sopra riportato, si ricava che: Politecnico di Torino Pagina 4 di 5 Data ultima revisione 9/9/

25 etem Fondamenti di ontrolli Automatici Temi d'esame per qualunque K >, il sistema in catena chiusa presenta un polo instabile (non c è nessuna rotazione anti-oraria della funzione a compensare il polo instabile già presente ad anello aperto); per K < -.64, il sistema in catena chiusa è asintoticamente stabile (il punto critico di Nyquist cade all interno della curva chiusa antioraria); per.64 < K <, il sistema in catena chiusa presenta un polo instabile (non c è nessuna rotazione anti-oraria della funzione a compensare il polo instabile già presente ad anello aperto). È possibile ritrovare l intervallo di valori di K per cui il sistema in catena chiusa è asintoticamente stabile, considerandone il polinomio caratteristico, dato da: d( sk) s s 7 5K Poiché il polinomio è di secondo grado, affinché le sue radici siano tutte a parte reale negativa, è sufficiente imporre che tutti i coefficienti siano di segno concorde (positivo, in questo caso); si ritrova così che il sistema in catena chiusa è asintoticamente stabile per K < Politecnico di Torino Pagina 5 di 5 Data ultima revisione 9/9/