Corso di Teoria dei Sistemi N. Raccolta di esercizi svolti tratti da temi d esame

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1 Politecnico di Torino - Consorzio Nettuno Michele Taragna Corso di Teoria dei Sistemi - 955N Raccolta di esercizi svolti tratti da temi d esame Diploma Universitario a Distanza in Ingegneria Informatica Polo Tecnologico di Torino Edizione. - Novembre Riproduzione totale o parziale vietata senza il consenso scritto dell autore

2 Tema d esame # Sia data la seguente rappresentazione in variabili di stato di un sistema dinamico non lineare, a tempo continuo: ẋ (t) x (t) ẋ (t) g K u (t) m x (t) β m x (t) y (t) H x (t) dove m Kg, K 4 Nm A, g ms, H 5 Vm, β 4 Nsm. Con riferimento a tale sistema, ed assumendo x (t) t:. calcolare gli stati e l uscita di equilibrio per u (t) u Apert ;. studiare la stabilità locale degli stati di equilibrio determinati al punto precedente. Soluzione. All equilibrio, si ha che: e quindi: da cui x (t) x costante ẋ (t) dx dt x (t) x costante ẋ (t) dx dt dx dt x dx dt g K u m x x K u x ± m g Poiché si ipotizza x (t) t, si ottiene: x β m x g K u m x K m g u K u.63 m m g x ms y H x 3.63 V. Per quanto concerne lo studio della stabilità locale dello stato di equilibrio x precedentemente determinato, occorre innanzi tutto linearizzare il sistema dinamico non lineare assegnato: ẋ (t) x (t) f (x, u) ẋ (t) g K u (t) m x (t) β m x (t) f (x, u)

3 ottenendo in particolare come matrice di stato A del sistema linearizzato: A f x xx uu K u β m x 3 m u m g 3 β K m 36.3 Si procede quindi al calcolo degli autovalori di A: λ det (λi A) 36.3 λ + λ +λ 36.3 { λ λ 67.6 Poiché risulta Re (λ (A)) >, lo stato di equilibrio x del sistema non lineare è instabile.

4 Tema d esame #. Con riferimento ai due sistemi sotto schematizzati, determinare le funzioni di trasferimento V C (s)/i (s) e V (s)/f (s) e dimostrare che hanno identica struttura.. Della seguente funzione di trasferimento G (s), tracciare i diagrammi di Bode e il diagramma di Nyquist: s G (s) s + s + Soluzione. Si consideri dapprima il sistema elettrico. Le equazioni costitutive dei componenti reattivi sono: i c (t) C dv c (t) dt v L (t) L di L (t) dt l equazione alla maglia individuata da R - L - C risulta essere: e l equazione al nodo èparia: v C (t) R i L (t)+v L (t) i (t) i L (t)+i C (t) Passando alle trasformate di Laplace, e ricordando che le funzioni di trasferimento sono definite per condizioni iniziali nulle, si ricava: e quindi I C (s) s C V C (s) V L (s) s L I L (s) V C (s) R I L (s)+v L (s) I (s) I L (s)+i C (s) V C (s) R I L (s)+v L (s)r I L (s)+s L I L (s)(r + s L) I L (s) (R + s L) I (s) I C (s)(r + s L) I (s) s C V C (s) (R + s L) I (s) s C (R + s L) V C (s) 3

5 per cui la funzione di trasferimento desiderata vale: V C (s) I (s) Si consideri ora il sistema meccanico. traslazione di massa M è: L s + R C L s + C R s + L equazione del moto del corpo in Mẍ (t) M v (t) f (t) β ẋ (t) ẋ (t) f (t) β v (t) ẋ (t) mentre per il punto materiale presente fra lo smorzatore β elamollak si ha: ẍ (t) β ẋ (t) ẋ (t) k x (t) β ẋ (t) v (t) k x (t) Passando alle trasformate di Laplace, e ricordando che le funzioni di trasferimento sono definite per condizioni iniziali nulle, si ricava: M s V (s) F (s) β V (s) s X (s) β s X (s) V (s) k X (s) X (s) e quindi: M s + β k V (s) F (s) β s + k per cui la funzione di trasferimento desiderata vale: V (s) F (s) β s + k M β s + M k s + β k k s + β β β s + k V (s) M k s + M β s + Si può pertanto osservare che le funzioni di trasferimento V C (s)/i(s) e V (s)/f (s) hanno la medesima struttura. Questo risultato può essere altresì visto in un più ampio contesto: si parla infatti di analogia elettromeccanica fra sistemi elettrici e meccanici, in quanto ad un qualsiasi sistema elettrico R-L-C può essere fatto corrispondere un opportuno sistema meccanico massa-molla-smorzatore i cui elementi hanno i seguenti valori numerici: M C k L β R. In forma fattorizzata di Bode, la funzione di trasferimento può essere scritta come: G(jω) jω (jω) + jω + jω (jω) + jω + 4 jω (jω) + jω + jω + jω ( jω + )

6 e presenta uno zero reale nel semipiano destro ed una coppia di poli complessi coniugati nel semipiano sinistro. Il punto di rottura dello zero reale si trova in ω rad/s; la pulsazione naturale della coppia di poli complessi coniugati si trova in ω n rad/s ed il coefficiente di smorzamento vale ζ.5; il guadagno di Bode vale k e quindi il suo modulo in db vale k db db. Il diagramma asintotico dei moduli, non essendovi poli nell origine, proviene da ω orizzontale con ordinata pari al guadagno di Bode espresso in db, e, dato che l eccedenza poli-zeri èparia,perω la pendenza èdi db / dec. Il diagramma asintotico delle fasi, non essendovi poli nell origine, proviene da ω con valore pari a ; poiché inoltre lo zero reale nel semipiano destro ha lo stesso diagramma di fase di un polo reale nel semipiano sinistro, per ω la fase tende al valore di 7. Se il tracciamento del diagramma asintotico dei moduli non presenta difficoltà, nel tracciamento del diagramma esatto dei moduli si deve tener conto che, in corrispondenza alla pulsazione naturale della coppia di poli complessi coniugati, si devono apportare delle correzioni che sono funzioni del valore di ζ. Poiché in questo caso ζ è inferiore al coefficiente di smorzamento critico, si presenta il fenomeno della risonanza. In particolare, il picco di risonanza vale in questo caso M r e la frequenza di risonanza vale ζ.5. db ζ ω r ω n ζ rad/s 5

7 3 Diagrammi di Bode di G(s)*( s)/(s +s+) Magnitude (db) Frequency (rad/sec) 5 Phase (deg) Frequency (rad/sec) Diagramma di Nyquist di G(s)*( s)/(s +s+) Linea continua: pulsazioni positive; linea a tratti: pulsazioni negative 4 Imaginary Axis To: Y() Real Axis 6

8 Tema d esame #3 Sia data la seguente rappresentazione in variabili di stato di un sistema dinamico lineare, a tempo continuo: dove A 5 6 Con riferimento a tale sistema: ẋ (t) A x (t)+b u (t) y (t) C x (t)+d u (t), B, C, D. studiare le proprietà di raggiungibilità ed osservabilità;. calcolare la funzione di trasferimento G (s) Y (s)/u (s); 3. calcolare la risposta dello stato x (t) all ingresso u (t) t t, assumendo come condizione iniziale x (t ) ; 4. calcolare la risposta dell uscita y (t) all ingresso u (t) t, assumendo condizioni iniziali nulle. Soluzione. Per quanto riguarda la proprietà di raggiungibilità: R B AB 6 ρ (R) e quindi il sistema è completamente raggiungibile. Per quanto riguarda la proprietà di osservabilità: C O CA ρ (O) e quindi il sistema non è completamente osservabile. L insieme degli stati inosservabili si ottiene dal nucleo della matrice di osservabilità O: I Ker(O) {x I : O x I } x I x I 5 per cui la matrice di trasformazione T vale: T x I x I T

9 La forma canonica di Kalman di osservabilità è quindi: dove A O TAT 6 5 ż (t) A O z (t)+b O u (t) y (t) C O z (t)+d u (t) z Tx, B O TB 5x + x 6 x 5x , C O CT 5 Lo stato x 5x non è pertanto osservabile. 6. Data la rappresentazione in variabili di stato del sistema, la corrispondente funzione di trasferimento G (s) èdatada: G (s) C (si A) B + D dove (si A) s s +6 5 s +6 s (s +6)+5 5 s s +6 (s +)(s +5) 5 s e quindi G (s) (s +)(s +5) s +6 5 s s (s +)(s +5) s +5 (s +)(s +5) s + + s (s +)(s +5) 3. Dato il sistema dinamico, utilizzando le trasformate di Laplace si ricava: X(s)(sI A) x (t)+(si A) BU(s)(sI A) x (t)+bu(s) dove: U (s) L{u (t)} L{ t} s 8

10 e quindi: x (t )+BU (s) + s Essendo stato ricavato al punto precedente che: (si A) s +6 (s +)(s +5) 5 s si ottiene: X (s) s +6 (s +)(s +5) 5 s (s +)(s +5) s 3 +5s + s (s +)(s +5) s 5s + s (s +)(s +5) s 3 +5s + s s 5s + s X (s) X (s) s s s s Per antitrasformare le componenti di X (s), occorre dapprima scomporle in fratti semplici: X (s) s3 +5s + s (s +)(s +5) R, + R, + R,3 s s s + + R,4 s +5 dove: R, d s 3 +5s + li m s s s X (s) lim s ds s +6s R, li ms s 3 +5s + X (s) lim s s s +6s +5 R,3 li m s 3 +5s + (s) lim 7 s s s (s +5) 3.5 e quindi: R,4 li m s 5 (s +5) X (s) lim s 5 s 3 +5s + s (s +). x (t) L {X (s)}.4+t +3.5e t.e 5t, t In maniera del tutto analoga, si ricava che: X (s) s 5s + s (s +)(s +5) R, + R, s s + + R,3 s +5 9

11 dove: e quindi: R, li m s s X (s) lim s s 5s + (s +)(s +5) R, li m s (s +) X (s) lim s R,3 li m s 5 (s +5) X (s) lim s 5 s 5s + s (s +5) s 5s + s (s +) x (t) L {X (s)} 3.5e t +.5e 5t, t Evoluzione dello stato 8 X (linea continua), X (linea tratto punto) Tempo (s) 4. Dato il sistema dinamico, utilizzando le trasformate di Laplace ed osservando che le condizioni iniziali sono nulle, si ha che: Y (s) C (si A) x (t )+ C (si A) B + D U (s) G (s) U (s) dove in questo caso: U (s) L{u (t)} L{ δ (t)} s

12 e quindi: con: per cui risulta che: Y (s) G (s) U (s) s + s s (s +) R s + R s + R li ms Y (s) lim s s s + R li m (s +) Y (s) lim s s y (t) e t, t s Evoluzione dell uscita Y Tempo (s)

13 Tema d esame #4 Si consideri il sistema dinamico risultante dall interconnessione dei due seguenti sottosistemi: la parte elettrica di un motore elettrico in corrente continua comandato in armatura, descritto dalla seguente equazione di stato: di a (t) dt R a i a (t)+ v a (t) dove v a (t) ed i a (t) sono rispettivamente la tensione e la corrente di armatura, R a 5Ω, mh; l azionamento elettrico descritto dalle seguenti equazioni: dz (t) i diff (t) dt v a (t) K i z (t)+r p i diff (t) i diff (t) i rif (t) i a (t) dove i rif (t) è la corrente imposta (o desiderata o di riferimento). Facendo riferimento al sistema dinamico complessivo:. si determini il modello in variabili di stato, assumendo come ingresso la corrente i rif (t), come uscita la corrente di armatura i a (t), come variabili di stato i a (t) e z (t);. si calcolino i valori di R p e K i che assicurano la stabilità asintotica; 3. si calcolino i valori di R p e K i che garantiscono il posizionamento degli autovalori del sistema complessivo in λ e λ ; 4. assumendo R p 5e K i : Soluzione 4.a. si trovino gli autovalori del sistema complessivo; 4.b. si calcoli la funzione di trasferimento I a (s) /I rif (s) e se ne i traccino i diagrammi di Bode e di Nyquist; 4.c. si calcoli analiticamente la risposta al gradino, supponendo nulle le condizioni iniziali; 4.d. si studino le proprietà di raggiungibilità e di osservabilità.. Scegliendo come variabili di ingresso, stato ed uscita: u i rif, x ia z x x, y i a

14 le equazioni di stato ed uscita possono essere riscritte come: ẋ R a x + v a R a x + (K i x + R p i diff ) R a x + (K i x + R p u R p x ) R a + R p ẋ i diff u x y x x + K i x + R p u oppure in forma matriciale, essendo il sistema lineare: con A R a + R p K i ẋ (t) A x (t)+b u (t) y (t) C x (t)+d u (t), B R p, C, D. Per studiare le proprietà di stabilità del sistema, occorre determinare gli autovalori della matrice di stato A del sistema: det (λi A) λ + R a + R p K i λ + R a + R p λ+ K i λ +α λ+α λ Affinché il sistema sia asintoticamente stabile, occorre che i autovalori di A siano entrambi con parte reale strettamente negativa; per la regola di Cartesio, questo corrisponde a richiedere che tutti i coefficienti di det (λi A) siano dello stesso segno, ossia: α R a + R p > R p > R a 5Ω α K i > K i > 3. Per garantire il posizionamento degli autovalori in λ e λ, occorre imporre che le radici del polinomio caratteristico siano quelle desiderate, ossia bisogna che: e quindi: det (λi A) λ + α λ + α (λ λ ) (λ λ ) (λ + ) (λ + ) λ + 3λ + α R a + R p 3 R p 3 R a 5Ω α K i K i 4 3

15 4.a. I valori da imporre ad R p e K i sono esattamente quelli ottenuti al punto precedente, e quindi risulta λ e λ. 4.b. La funzione di trasferimento I a (s) /I rif (s) può essere calcolata come: I a (s) I rif (s) Y (s) U (s) C (si A) B + D dove: A 3, B 5, C, D In questo caso: (si A) e quindi G (s) s+3 s (s+) (s+) s (s + ) (s + ) s + 3 s 5 5s + (s + ) (s + ) 5 s + 8 (s + ) (s + ) ( + s ) ( 8 + s ) ( + s (s + ) (s + ) ) ( + s s s+3 + s ) 8 5 ( + s La funzione di trasferimento può anche essere calcolata trasformando con Laplace le equazioni del sistema sotto l ipotesi di condizioni iniziali nulle: ) per cui: s I a (s) R a I a (s)+ V a (s) s Z (s) I diff (s) V a (s) K i Z (s)+r p I diff (s) I diff (s) I rif (s) I a (s) s I a (s) R a I a (s)+ K i Z (s)+r p I diff (s) R a I a (s)+ K i Idiff (s) + R p I diff (s) s R a I a (s)+ ( ) Ki s + R p I rif (s) I a (s) R a ( ) Ki s + R p I a (s)+ ( ) Ki s + R p I rif (s) 4

16 e quindi: I a (s) I rif (s) s R p + K i s + s (R a + R p )+K i R p Diagrammi di Bode di G(s)(+s/8)/(+s/)*(+s/) s + K i R p s + s Ra + R p + K i Magnitude (db) Frequency (rad/sec) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Diagramma di Nyquist di G(s)(+s/8)/(+s/)*(+s/) Linea continua: pulsazioni positive; linea a tratti: pulsazioni negative Imaginary Axis To: Y() Real Axis 5

17 4.c. Dato il sistema dinamico, utilizzando le trasformate di Laplace ed osservando che le condizioni iniziali sono nulle, si ha che: Y (s) C (si A) x (t )+ C (si A) B + D U (s) G (s) U (s) dove in questo caso: e quindi: Y (s) G (s) U (s) con: U (s) L{u (t)} L{ δ (t)} s 5s + (s + ) (s + ) s R s + R s + + R 3 s + R li m s s Y (s) lim s 5s + (s + ) (s + ) R li m (s + ) Y (s) lim s R 3 li m (s + ) Y (s) lim s 5s + s s (s + ) s 5s + s (s + ) per cui risulta che: y (t) +.5e t.5e t, t. Step Response From: U() Amplitude To: Y() Time (sec.) x 3 4.d. Per quanto riguarda la proprietà di raggiungibilità: R B AB 5 55 ρ (R) 5 e quindi il sistema è completamente raggiungibile. Per quanto riguarda la proprietà di osservabilità: C O ρ (O) CA 3 e quindi il sistema è anche completamente osservabile. 6