Complementi di Controllo Digitale

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1 Complementi di Controllo Digitale Alberto Bemporad Dipartimento di Ingegneria dell Informazione Università degli Studi di Siena Corso di Laurea in Ingegneria Informatica (VO) Corso di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni (VO) Anno accademico 2/22

2 Scopo del Corso La scienza consiste in gran parte nel descrivere mediante un modello matematico alcuni aspetti della realtà, catturandone i meccanismi di funzionamento fondamentali. La teoria dei sistemi è lo studio delle proprietà dei modelli matematici associati a sistemi dinamici, cioè a quei processi reali che evolvono nel tempo. Il corso fornirà: Gli strumenti matematici necessari per studiare le proprietà dei sistemi dinamici Esempi di come ottenere modelli matematici per diversi tipi di processi fisici Tecniche al calcolatore per l analisi, la simulazione e il controllo di sistemi dinamici (Matlab)

3 Scopo del Corso Obiettivo principale del corso: Fornire le basi matematiche per affrontare problemi di controllo di sistemi dinamici Corso di Controllo Digitale Informazioni: Lezione: Lunedì 4-8, Giovedì 9-, Venerdì 6-8 Ricevimento: Venerdì -3 (appuntamento per ) Compitino: a fine aprile Esercitazioni: Matlab / Simulink Home page del corso:

4 Testi consigliati: Trasparenze del corso E. Fornasini e G. Marchesini, Appunti di Teoria dei Sistemi Ed. Libreria Progetto. Dispense Prof. Bicchi (Univ. di Pisa): K.J. Astrom, B. Wittenmark, Computer-Controlled Systems, Prentice Hall International. G.F. Franklin, J.D. Powell, M. Workman, Digital Control of Dynamic Systems, 3 rd edition, Addison-Wesley Longman. T. Kailath, Linear Systems, Prentice-Hall

5 Domande??

6 . Sistemi e Modelli

7 Sistemi e Modelli Sistemi ed Esperimenti Un sistema dinamico è un oggetto o insieme di oggetti che evolvono nel tempo di cui vogliamo studiare le proprietà Esempio: il sistema solare, un impianto per la produzione della carta, un condensatore collegato ad una resistenza elettrica Proprietà a cui siamo interessati. Ad esempio: Quando avverrà la prossima eclisse? Come devo manovrare le valvole dell impianto per produrre carta di buona qualità? Cosa succede se collego il condensatore alla resistenza? Prima possibilità: fare esperimenti! A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2/22 -

8 Sistemi e Modelli Perché non fare esperimenti: Troppo costoso Troppo pericoloso (es: centrale nucleare) Impossibile (il sistema ancora non è stato costruito) Soluzione:. Fare un modello matematico del sistema, cioè descrivere i fenomeni essenziali che avvengono nel sistema mediante le leggi della fisica, biologia, economia, ecc. 2. Analizzare le equazioni del modello matematico e simulare il sistema risolvendo (manualmente o al computer) tali equazioni. Risultato: La simulazione ha costo quasi nullo, ma l utilità della simulazione dipende da quando il modello matematico è vicino al sistema fisico Fare un buon modello è un arte! A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2/22-2

9 Sistemi e Modelli Esempio: Serbatoio Variabili: altezza serbatoio h m flusso d ingresso u m 3 /s flusso d uscita q m 3 /s velocità d uscita v m/s Parametri: sezione serbatoio A m 2 sezione apertura a m 2 accelerazione di gravità g m/s 2 h u q Leggi della Ô fisica: v(t) = 2gh(t) q(t) =av(t) d [Ah(t)] = u(t) q(t) Legge di Torricelli Flusso di uscita Bilancio di massa Modello matematico del serbatoio: Ô d h(t) = a 2g A h(t)+ A u(t) q(t) = a Ô 2g h(t) A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2/22-3

10 Sistemi e Modelli Simulazione per A =m 2, a =.25 m 2, h() = m, u(t) m 3 /s Altezza h(t) (m) Flussi di ingresso e uscita (m 3 /s) 2 5 Tempo (s) 5 Tempo (s) A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2/22-4

11 Sistemi e Modelli Simulazione per A =m 2, a =.25 m 2, h() = 2 m, u(t) m 3 /s Altezza h(t) (m) Flussi di ingresso e uscita (m 3 /s) 2 5 Tempo (s) 5 Tempo (s) A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2/22-5

12 Sistemi e Modelli Simulazione per A =m 2, a =.25 m 2, h() = m, u(t) =.5sin(t/5) + m 3 /s Altezza h(t) (m) Flussi di ingresso e uscita (m 3 /s) Tempo (s) 2 3 Tempo (s) A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2/22-6

13 Sistemi e Modelli Esempio: Calcolo degli interessi bancari Se si deposita in banca un capitale iniziale di valore x() e il tasso di interesse annuo è ρ>, la legge che esprime la crescita del capitale dall anno k-esimo al successivo è semplicemente x(k +)=(+ρ)x(k). Perché il capitale aumenti, deve essere ρ>. Nota: mentre per descrivere la dinamica del serbatoio il tempo evolve con continuità (t R ), qui il tempo assume solo valori discreti (k Z ). In entrambe i casi, la grandezza di cui descriviamo la dinamica assume valori continui (h, x R ) A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2/22-7

14 Sistemi e Modelli B A B C B C C A I sistemi dinamici modellati da equazioni differenziali o alle differenze non sono gli unici: un altro caso sono ad esempio gli automi (o macchine a stati finiti) che descrivono relazioni tra grandezze a valori discreti (es: x {, 2, 3, 4, 5}), che evolvono all accadere di determinati eventi (sistemi ad eventi discreti) Esempio: Semaforo stradale, distributore di bevande, sistema di pagamento di pedaggio autostradale, vari sistemi di automazione industriale Molto recentemente si sono studiati anche sistemi ibridi (hybrid systems), che contengono sia dinamiche continue che discrete. Esempio: powertrain di un automobile, motore a quattro tempi. A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2/22-8

15 Sistemi e Modelli Modelli in forma state-space (spazio di stato) ẋ(t) = f(x(t),u(t))) ẋ dx y(t) = g(x(t),u(t)) u(t) èl ingresso del sistema (variabili esogene) y(t) èl uscita del sistema (variabili di interesse o misure) x(t) èlostato del sistema x(t ) = tutta l informazione necessaria al tempo t per poter predire l evoluzione futura dell uscita y(t) del sistema, t t, per un dato ingresso u(t), t t. il concetto di stato è fondamentale per poter simulare i sistemi dinamici. Esempio: modello matematico del serbatoio d h(t) = a 2g A h(t)+ A u(t) q(t) = a 2g h(t) h(t)=stato, q(t)=uscita, u(t)=ingresso. (In generale, x, u, y sono vettori, x Ê n, u Ê m, y Ê p ). A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2/22-9

16 2. Sistemi Lineari a Tempo Continuo

17 2 Sistemi Lineari a Tempo Continuo Considera l equazione differenziale del primo ordine ẋ(t) = ax(t) ẋ dx x() = x Esiste una e una sola soluzione: x(t) =e at x x(t) a< t a= a> Esempi fisici: S R C v (t) c m v(t) v c (t)+rc v c (t) = v c (t) =v c ()e t RC βv(t) =m v(t) v(t) =v()e β m t A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2/22 2-

18 2 Sistemi Lineari a Tempo Continuo Considera l equazione differenziale del primo ordine con ingresso ẋ(t) = ax(t)+bu(t) x() = x La soluzione esiste ed è unica: x(t) = e at x } {{ } + risposta libera t e a(t τ) bu(τ)dτ } {{ } risposta forzata x l (t) = e at x effetto delle condizioni iniziali x f (t) = t ea(t τ) bu(τ)dτ effetto dell ingresso Esempi fisici: u(t) S R C v (t) c m v(t) u(t) u(t) RC v c (t) v c (t) = x = V c,a= RC,b= RC βv(t)+u(t) =m v(t) x = v, a = β m,b= m A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2/22 2-2

19 2. Richiami di Algebra Lineare ¾ a a 2... a n A = I = ¾ a 2 a a 2n a n a n2... a nn matrice quadrata di ordine n matrice identità di ordine n Equazione caratteristica di A: det(si A) = Polinomio caratteristico di A: P (s) =det(si A) Autovettori di A: vettori v i tali che Av i = λ i v i, i =, 2,...,n Autovalori di A: Len soluzioni a λ,...,λ n dell equazione caratteristica di A det(λ i I A) =, i =, 2,...,n Diagonalizzazione di A: A = T ΛT, T =[v v 2... v n ], Λ= a N.B.: In generale le soluzioni sono numeri complessi ¾ λ... λ λ n A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2/22 2-3

20 2. Richiami di Algebra Lineare Esempio : det(si A) = A = 6 6 s s 6 s +6 = s 3 +6s 2 +s +6 Autovalori: λ =, λ 2 = 2, λ 3 = 3 Esempio 2: det(si A) = A = s s 2 = s2 3s +7 Autovalori: λ = j 59 2, λ 2 = 3 2 j 59 2 Nota: j unità immaginaria a + jb = a 2 + b 2 ρe jθ = ρ(cos θ + j sin θ) A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2/22 2-4

21 2 Sistemi Lineari a Tempo Continuo Sistema di equazioni differenziali di ordine n con ingresso ẋ (t) = a x (t) a n x n (t) +b u(t) ẋ 2 (t) = a 2 x (t) a 2n x n (t) +b 2 u(t)... ẋ n (t) = a n x (t) a nn x n (t) +b n u(t) x () = x,... x n () = x n Forma matriciale equivalente ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t) x() = x La soluzione esiste ed è unica: x(t) = e At x ßÞ Ð + risposta libera t e A(t τ) Bu(τ)dτ ßÞ Ð risposta forzata La matrice esponenziale è definita come e At I + At + A2 t An t n n! +... Se la matrice A è diagonalizzabile: A = T ΛT, Λ= ¾ λ... λ λ n ¾ e At = T e λ t... e λ 2 t e λ nt T A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2/22 2-5

22 2 Sistemi Lineari a Tempo Continuo Risposta modale Sia l ingresso u(t) =, t, e supponiamo che A sia diagonalizzabile La traiettoria di stato (risposta libera) è x(t) =e At x = T e Λt Tx = n i= α i e λ it v i dove v i =autovettori di A, λ i =autovalori di A, α i =coefficienti che dipendono dalla condizione iniziale x() (il vettore α = Tx(), T =[v...v n ]). Il modo di evolvere del sistema dipende quindi dagli autovalori di A (detti, appunto, modi del sistema) Un modo si dice eccitato se il relativo α i A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2/22 2-6

23 2 Sistemi Lineari a Tempo Continuo Esempio fisico: Circuito RLC S R L u(t) i`(t) C v (t) c u(t) Ri l L di l(t) v c (t) = Equilibrio tensione i l (t) =C dv c(t) Equilibrio corrente Equivale al sistema di equazioni differenziali di ordine 2: di l (t) dv c (t) In forma matriciale: = R L i l(t) L v c(t)+ L u(t) = C i l(t) d i l(t) = R L L i l(t) + L u(t) v c (t) C v c (t) } {{ } } {{ } } {{ } } {{ } ẋ(t) A x(t) B A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2/22 2-7

24 2 Sistemi Lineari a Tempo Continuo Esempio fisico: Massa-Molla-Smorzatore k u(t) m s(t), v(t) ṡ(t) =v(t) m v(t) =u βv(t) ks(t) Definizione di velocità Legge di Newton Equivale al sistema di equazioni differenziali di ordine 2: ds(t) dv(t) In forma matriciale: = v(t) = β m v(t) k m s(t)+ m u(t) d s(t) = s(t) v(t) k m + u(t) β m v(t) m } {{ } } {{ } } {{ } } {{ } ẋ(t) A x(t) B A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2/22 2-8

25 2 Sistemi Lineari a Tempo Continuo Equazioni differenziali di ordine n dy (n) (t) + a n dy (n ) (t) + + a ẏ(t)+a y(t) = Ponendo x (t) y(t), x 2 (t) ẏ(t),...,x n (t) y n (t), equivale al sistema di n equazioni del primo ordine: ẋ (t) = x 2 (t) ẋ 2 (t) = x 3 (t).. ẋ n (t) = a x (t)+... a n x n (t) x() = [y() ẏ()... y n ()] Esempio: ÿ(t)+2ẏ(t)+5y(t) = x (t) = y(t) ẋ (t) = x 2 (t) ẋ 2 (t) = 5x (t) 2x 2 (t) x 2 (t) = ẏ(t) x() = [y() ẏ()] A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2/22 2-9

26 2 Sistemi Lineari a Tempo Continuo Equazioni differenziali di ordine n con ingresso dy (n) (t) + a n dy (n ) (t) b n du (n ) (t) + b n 2 du (n 2) (t) + + a ẏ(t)+a y(t) = + + b u(t)+b u(t) Equivale al sistema di n equazioni del primo ordine: ẋ (t) = x 2 (t) ẋ 2 (t) = x 3 (t).. ẋ n (t) = a x (t)+... a n x n (t)+u(t) y(t) = b x (t) b n x n Equivale alla forma matriciale ẋ(t) = y(t) = ¾ a a a 2... a n b b b 2... b n x(t) ¾ x(t)+. u(t) A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2/22 2-

27 2 Sistemi Lineari a Tempo Continuo Esempio : ÿ(t) 2ẏ(t)+y(t) =u(t) d = ¾ y(t) = 2 ¾ x(t)+ u(t) x(t) Esempio 2: d (3) y(t) +5ÿ(t)+3ẏ(t)+6y(t) =3u(t)+4 u(t) d = ¾ y(t) = x(t) ¾ x(t)+ u(t) A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2/22 2-

28 2 Sistemi Lineari a Tempo Continuo Sistema lineare tempo-continuo, tempo-invariante: { ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t) y(t) = Cx(t)+Du(t) x() = x Dato lo stato iniziale x() e un segnale di ingresso u(t), t, è possibile predire tutta l evoluzione dello stato x(t) e dell uscita y(t) del sistema, per ogni t. Nota che lo stato x() sintetizza tutta la storia passata del sistema. La dimensione n dello stato x(t) R n è detta ordine del sistema. Il sistema si dice proprio se D =. In generale x(t) Ê n, u(t) Ê m, y(t) Ê p, A Ê n n, B Ê n m, C Ê p n, D Ê p m A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2/22 2-2

29 2 Sistemi Lineari a Tempo Continuo Soluzione di regime stazionario Ipotesi: A ha tutti autovalori a parte reale < Quale sarà il valore asintotico dell uscita corrispondente ad un dato ingresso costante u(t) u r, t? Imponiamo ẋ r (t) = Ax r + Bu r = Esempio: y r = ( CA B + D) ßÞ Ð u r guadagno in continua d x(t) = ¾ y(t) = Guadagno in continua: x(t) ¾ 2 4 ¾ x(t)+ u(t) ¾ = y(t) 3 u(t) t 2 3 t Evoluzione dell uscita y(t) per diverse cond. iniz. e ingresso u(t) A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2/22 2-3

30 2 Sistemi Lineari a Tempo Continuo Definizione generale di equilibrio: Dato il sistema (tempo continuo, non lineare, tempo variante) ẋ(t) = f(t, x(t), u(t)) y(t) = g(t, x(t), u(t)) Lo stato costante x r e l ingresso costante u r sono un equilibrio del sistema se per x(t )=x r e u(t) u r, t t,sihax(t) x r, t t. Definizione equivalente: f(t, x(t),u(t)) =, t t x r è detto stato di equilibrio u r è detto ingresso di equilibrio A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. 2/22 2-4