SISTEMI LINEARI E STAZIONARI A TEMPO CONTINUO

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1 SISTEMI LINEARI E STAZIONARI A TEMPO CONTINUO Movimento ed equilibrio Stabilità Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori

2 MOVIMENTO ED EQUILIBRIO Sistema lineare e stazionario (u R m, x R n, y R p ) _x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) +Du(t) Formula di Lagrange In risposta a u(t), t t 0, x(t 0 ) = x t0 : x(t) = e A(t;t 0) x t0 + Z t y(t) = Ce A(t;t 0) x t0 + C Z t t 0 e A(t; ) Bu( )d t 0 e A(t; ) Bu( )d + Du(t) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori

3 ? movimenti liberi (t 0 = 0) x l (t) = e A(t;t 0) x t0 y l (t) = Ce A(t;t 0) x t0? movimenti forzati x f (t) = Z t y f (t) = C Z t t 0 e A(t; ) Bu( )d t 0 e A(t; ) Bu( )d + Du(t) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori

4 Rappresentazioni equivalenti Trasformazione di stato ^x(t) = Tx(t) x(t) = T ; ^x(t) +? sistema dinamico equivalente (A e ^A: stessi autovalori) _^x(t) = ^A^x(t) + ^Bu(t) y(t) = ^C ^x(t) + ^Du(t) ^A = TAT ; ^B = TB ^C = CT ; ^D = D Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 4

5 Esempio: sistema meccanico 6 4 _x (t) _x (t) 7 _x (t) _x 4 (t) 5= ; M k M 0 0 k M ; M k 0 0 y(t)=[ 0 0 0] x (t) 6 x 4 (t) x (t) x 4 (t) x (t) 6 x 4 (t) 7 x (t) x 4 (t) M 0 0 M 7 u (t) 5 u (t) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 5

6 ? trasformazione di stato ^x (t) = x (t) ^x (t) = x (t) ; x (t) ^x (t) = x (t) ^x 4 (t) = x 4 (t) ; x (t) 6 4 _^x (t) _^x (t) 7 _^x (t) _^x 4 (t) 5= 6 4 T = ; ; k M ; (M +M )k M M 0 0 y(t) = [ 0 0 0] ^x (t) 6 ^x 4 (t) ^x (t) ^x 4 (t) ^x (t) 6 ^x 4 (t) 7 ^x (t) ^x 4 (t) M 0 ; M M 7 5 u (t) u (t) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 6

7 Autovalori e modi Matrice della dinamica diagonalizzabile (autovalori distinti: T = T D ) ^A = ^A D = diagfs s ::: s n g? movimento libero dello stato ^x l (t) = e ^A D t ^x0 = = diag ( X k=0 X k=0 (s t) k k! k ^A D t k! X k=0 ^x 0 (s t) k k! ::: X k=0 (s n t) k k! ) ^x 0 = diagfe s t e s t ::: e s nt g^x 0 + x l (t) = T ; D ^x l(t) = T ; D diagfes t e s t ::: e s nt gt D x 0 y l (t) = CT ; D diagfes t e s t ::: e s nt gt D x 0? e s it : modi aperiodici? e it sin (!i t + ' i ): modi pseudoperiodici Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 7

8 Esempio A = ; C = [ ]? autovalori: s = j T D ; = j ;j + ^A = T D AT ; D = +j 0 0 ; j? movimenti liberi x l (t) = 0:5 j ;j e (+j)t = e t cos (t) sin (t) ;sin (t) cos (t) y l (t) = e t [ ] = cos (t) ;sin (t) 0 ;j 0 e (;j)t j x 0 sin (t) cos (t) x 0 p e t [ cos (t + =4) cos (t ; =4) ] x 0 x 0 Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 8

9 Modi dei sistemi dinamici con autovalori distinti Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 9

10 Esempio: sistema massa-molla? legge fondamentale della dinamica M y(t) = ;ky(t) ; h _y(t) + u(t)? rappresentazione di stato (x = y, x = _y) _x (t) _x (t) = y(t) = [ 0 ;k=m ;h=m 0]x(t) x (t) +[0 =M ] u(t) x (t)? autovalori s = ; h M + r h 4M ; k M s = ; h M ; r h 4M ; k M Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 0

11 ? autovalori distinti (h 6= 4MK) T D = s ; s ; s ;s ^A D = T D AT ; D? movimenti liberi (h > 4MK) x l (t) = y l (t) = + = diagfs s g (s x 0 ; x 0 )e st ; (s x 0 ; x 0 )e s t s ; s (s s x 0 ; s x 0 )e st ; (s x 0 ; x 0 )e s t s ; s (s x 0 ; x 0 )e s t ; (s x 0 ; x 0 )e s t? movimenti liberi (h < 4MK) = = ; h M p +!! = r k M ; h 4M = arcsin! = arccos ; x l (t) = e t! sin (!t ; )x 0 +! sin (!t)x 0 ;! sin (!t)x 0 +! sin (!t + )x 0 y l (t) = e t ;! sin (!t ; )x 0 +! sin (!t)x 0 Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori

12 Risposta all impulso e movimento forzato Risposta all impulso (m =, u(t) = imp(t), x(0) = 0) g x (t) = e At B g y (t) = Ce At B + Dimp(t)? coincide con il movimento libero prodotto da x(0) = B: combinazioni lineari dei modi del sistema? estensione al caso m > : risposta di x i (y i ) all impulso unitario u j (per u k = 0, k 6= j) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori

13 Movimento forzato g x (t)?u(t) = = g y (t)?u(t) = = Z + ; Z t 0 Z + ; Z t 0 g x (t ; )u( )d = Z t e A(t; ) Bu( )d = x f (t) g y (t ; )u( )d = 0 Z t Ce A(t; ) B + Dimp(t ; ) 0 g x (t ; )u( )d g y (t ; )u( )d u( )d = y f (t)? A diagonalizzabile Z t x f (t) = T D ; ^x f (t) = T D ; = T ; D y f (t) = CT ; D Z t diag 0 + Du(t) n Z t diag 0 0 e ^A D (t; ) ^Bu( )d e s (t; ) e s (t; ) ::: e s n(t; ) o T D Bu( )d n o e s (t; ) e s (t; ) ::: e s n(t; ) T D Bu( )d Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori

14 Esempio (precedente) u(t) = sca(t)? movimento forzato (s 6= s, k 6= 0) x f (t) = = y f (t) = s s Z t M (s ; s ) M (s ; s ) 0 diag n o e s (t; ) e s (t; ) d 4 es t ; s ; est ; s e s t ; e s t e s t ; s ; est ; s 5 ; M (s ;s ) M(s ;s )? movimento forzato (s = j!, k 6= 0) x f (t) = M 6 4 +! et sin (!t ; )! et sin (!t) y f (t) = + M! et sin (!t ; ) 7 5 Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 4

15 ? movimento forzato (k = 0, s = 0) x f (t) = 0 s Z t diag 0 = 4 est ; s Ms e s t ; y f (t) = Ms e st ; s n o e s (t; ) d 5 ; t ; t ; Ms Ms? movimento forzato (s = s = s 0 6= 0) x f (t) = y f (t) = M M 4 s 0 s 0 ; es 0t s 0 te s 0t ; es 0t s 0 + tes 0t s 0 + tes 0t s 0 5? movimento forzato (s = s = 0) x f (t) = M y f (t) = M t 0:5t t Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 5

16 Equilibrio u(t) = u Ax + B u = 0 y = C x + Du? A invertibile (s i 6= 0) x = ;A ; B u y = ; ;CA ; B + D u? D ; CA ; B: guadagno statico del sistema SISO (rapporto tra uscita e ingresso quando tutte le variabili sono costanti) Esempio (precedente) 0 = x 0 = ; k M x ; h M x + M u x = =k 0 + y = k u Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 6

17 Esempio: motore elettrico a corrente continua? u (t) = v, u (t) = C r x = hv + k C r k + Rh x = hv ; R C r k + Rh det(a) = 0 ) infiniti stati di equilibrio o nessuno (guadagno statico perde senso) Esempio _x(t) = y(t) = [5 0 0 x(t) + u(t) 4 6]x(t)? u: u 6= ;u ) non esistono stati di equilibrio ( _x 6= 0)? u = ;u ) infiniti stati e uscite di equilibrio (u ; ) x = y = (5u ; ) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 7

18 STABILITÀ Sistema lineare stazionario: facile determinazione delle proprietà di stabilità Stabilità del sistema Stabilitàdi~x(t) prodotto da ~u(t), t 0 con ~x(0) = ~x 0? principio di sovrapposizione degli effetti: u 0 (t) = u 00 (t) = ~u(t), x 0 0 = ~x 0, x 00 0 = ~x 0 + x 0, = ;, = _x(t) = Ax(t) x(0) = x 0? ~x stabile se 8 > 0, 9 > 0: 8x 0 kx 0 k risulti kx(t)k t 0 altrimenti instabile Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 8

19 ? asintoticamente stabile se lim kx(t)k t! = 0 +? proprietà di stabilita del sistema (di tutti i movimenti o stati di equilibrio) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 9

20 Stabilità e movimento libero Sistema stabile iff tutti i movimenti liberi dello stato sono limitati; asintoticamente stabile iff tutti i movimenti liberi dello stato tendono a zero per t! ; instabile se almeno un movimento libero dello stato non è limitato Esempio: circuito elettrico x l (t) = e ;t=rc x(0)? 8x(0), x l (t) limitato per t 0; si annulla per t! Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 0

21 Stabilità e autovalori Sistema asintoticamente stabile iff tutti i suoi autovalori hanno parte reale negativa? semipiano sinistro aperto del piano complesso: regione di asintotica stabilità Sistema instabile se almeno uno dei suoi autovalori ha parte reale positiva Autovalori a parte reale nulla: sistema stabile o instabile Esempio: circuito elettrico; s = ;=RC < 0 ) asintotica stabilità Esempio: sistema massa-molla? h > 0 (attrito presente) ) asintotica stabilità? h = 0 ) n k 6= 0 ) stabilità k = 0 ) instabilità Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori

22 Stabilità e polinomio caratteristico Calcolo degli autovalori: radici del polinomio caratteristico? forma più generale del polinomio caratteristico '(s) = ' 0 s n + ' s n; + ' s n; + :::+ ' n; s + ' n = ' 0 n Y i=(s ; s i ) ' 0 6= 0 ' =' 0 = ;tr(a) = ; nx i= s i ' n =' 0 = det(;a) = (;) n n Y i= s i Asintotica stabilità nx i= s i < 0 =) tr(a) < 0 (;) n n Y i= s i > 0 =) det(;a) > 0? condizioni necessarie ' =' 0 > 0 ' n =' 0 > 0 Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori

23 ? in generale: ' i, i = 0 ::: n tutti dello stesso segno = condizione necessaria di asintotica stabilità (sufficiente per n = e n = ) Esempio? '(s) = s + s ; s ; : instabile (; ; +)? '(s) = s 4 + 5s +4: instabile (j j)? '(s) = s + s + s + : condizione necessaria OK, ma instabile (; j) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori

24 Criterio di Routh? tabella di Routh (n +righe) ' 0 ' ' 4 : : : : : ' ' ' 5 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : h h h : : : k k k : : : l l l : : : : : : : : : : : : : : : l i = ; det h h i+ k i k k i+ = h i+ ; h k i+ k k 6= 0? asintotica stabilità iff tutti gli elementi della prima colonna hanno lo stesso segno Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 4

25 Esempio '(s) = s 5 +5s 4 +85s + 5s + 74s + 0? tabella di Routh ? asintotica stabilità + '(s) = (s +)(s + )(s +)(s +4)(s +5) Non è indispensabile la divisione per k È possibile determinare il numero di autovalori con parte reale positiva e nulla (sistemi non asintoticamente stabili) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 5

26 Regione di asintotica stabilità nell insieme dei parametri? analisi di stabilità di sistemi parzialmente incerti? sintesi di controllori di struttura prefissata (parametri di progetto) Esempio '(s) = s +(+)s +(+)s + +? tabella di Routh ( +) ; + + Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 6

27 ? condizione necessaria > ; > ; > ; Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 7

28 ? regione di asintotica stabilità nell insieme dei parametri : > ; ( +) > > ; Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 8

29 Proprietà dei sistemi asintoticamente stabili Sistemi asintoticamente stabili di maggiore interesse per le applicazioni? movimento per t! indipendente dallo stato inziale? risposta all impulso (stato/uscita) tende asintoticamente a zero? risposta ad ingresso limitato tende a zero (~t: istante in cui l ingresso diventa definitivamente nullo) x(t) = e A(t; ~t) ~z t > ~t y(t) = Ce A(t; ~t) ~z t > ~t? u(t) = usca(t) ) movimento tende allo stato (uscita) di equilibrio? stabilità interna ) stabilità esterna (BIBO) (in generale non vale il viceversa) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 9