Inversione stabile ingresso-uscita per sistemi lineari e non lineari. 2 Esempio del pendolo sul carrello

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1 Inversione stabile ingresso-uscita per sistemi lineari e non lineari Alcuni appunti per la Scuola avanzata Giovanni Zappa su tecniche di controllo e identificazione Udine Novembre 28 Luca Consolini, Università di Parma luca.consolini@polirone.mn.it 1 Inversione dinamica Consideriamo un sistema dinamico nella seguente forma ẋ = f(x, u y = h(x (1 x( = x in cui x R n, y R p u R m. Il problema dell inversione dinamica stabile è il seguente Problema 1 Fissata una funzione di riferimento r(t, con t R, determinare una legge di controllo y(t ed uno stato iniziale x per il sistema (1 tali che h(x(t = r(t, t R x(t è limitata. 2 Esempio del pendolo sul carrello Per capire bene in che cosa consiste il problema dell inversione dinamica, consideriamo il modello di un pendolo su di un carrello, dove M rappresenta la massa del carrello, m la massa del pendolo, l la lunghezza del pendolo e x la posizione del centro di massa del carrello sull asse orizzontale. Chiamiamo Q il punto che corrisponde alla posizione del pendolo, abbiamo ( ( x sinθ Q = + l, cosθ Sia P il momento lineare del sistema, dall equazione del momento lineare lungo la direzione x abbiamo che quindi Qx m + ẍm = f, da cui P x = f, m(ẍ + l sin θ θ 2 l cosθ θ + Mẍ = f. 1

2 m θ M x Chiamiamo L il momento angolare del sistema attorno al punto di rotazione dell asta sul carrello, dall equazione del momento angolare abbiamo che L = τ g + τ ni, dove τ g è la coppia esercitata dalla forza di gravità e τ ni è la coppia esercitata dalla forza non inerziale, infatti, visto che l asse di rotazione sta accelerando con accelerazione pari a ẍ, rispetto ad un sistema di riferimento solidale con il carrello, il pendolo è soggetto ad una forza pari a mẍ diretta lungo l asse x. Svolgendo i conti otteniamo che ml 2 θ = mlg sin θ + zl cosθm, da cui ( M + m ml cosθ cosθ l ( ẍ θ = ( f ml sin θ θ2 g sin θ da cui otteniamo le equazioni del sistema ẍ = mcos θg sin θ mlsin θ θ+f M+m sin 2 θ θ = cos θ(f mlsin θ θ+(m+mg sin θ l(m+m sin 2 θ,, poniamo x 1 = x, x 2 = ẋ, θ 1 = z, θ 2 = θ. L uscita del sistema è data da y = h(x = x 1. Per risolvere il problema dell inversione dinamica per il carrello vogliamo determinare il controllo u(t necessario a far seguire al carrello una traiettoria di riferimento richiesta r(t. Innanzitutto dobbiamo avere x 1 (r = r(t, t, derivando una volta otteniamo derivando una seconda volta x 2 (t = ṙ(t, m cosθg sin θ ml sin θ θ + f M + m sin 2 θ = r(t, 2

3 visto che il controllo f appare dopo due derivazioni, si dice che il sistema ha grado relativo pari a 2. L espressione che moltiplica f è sempre diversa da, quindi possiamo trovare il controllo f: f = r(m + m sin 2 θ m cosθg sin θ + ml sinθ θ 2. A questo punto supponiamo che il sistema soddisfi le equazioni x 1 (t = r(t x 2 (t = ṙ(t u(t = f, se definiamo l errore sull uscita come e(t = y(t r(t, la funzione e soddisfa il seguente sistema, t R e( = ė( = ë(t =, da cui si ottiene che e =, quindi il pendolo segue esattamente la traiettoria richiesta. A questo punto sostituiamo il valore di f nell equazione per θ e otteniamo θ 1 = θ 2 θ 2 = cosθ r l + sin θ g l. (2 Questa equazione si chiama equazione delle dinamiche interne, rappresenta la dinamica del sistema una volta che sia stata imposta la condizione di tracking esatto y(t = r(t. La dinamica interna ha n ρ variabili, dove n è l ordine del sistema e ρ il grado relativo, e si trova quindi su una sottovarietà di dimensione 2, infatti abbiamo posto due condizioni sullo stato. Il problema dell inversione dinamica nel caso del pendolo sul carrello si riduce dunque al seguente Problema 2 Trovare una condizione iniziale θ 1, θ 2 tale che la soluzione del sistema sopra sia limitata (e sufficientemente piccola. La parte più difficile del problema di inversione dinamica è trovare lo stato iniziale corretto per le dinamiche interne, cioè una soluzione dell equazione di sopra in cui θ 1 e θ 2 si mantengano piccole. Prima di trovare una soluzione limitata al problema delle dinamiche interne, risolviamo il problema linearizzato. 3 Soluzione del problema linearizzato Linearizziamo il problema attorno all equilibrio, otteniamo 3

4 d dt x 1 x 2 θ 1 θ 2 = le equazioni sono dunque 1 mg/m 1 (M + mg/lm ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = mg/mθ + f/m θ 1 = θ 2 θ 2 = M+m lm gθ + f lm, x 1 x 2 θ 1 θ 2 + 1/M 1/lM f, come nel caso precedente, poniamo x 1 = r(t, x 2 = ṙ(t, ẋ 2 = r(t da cui f = M r(t mgθ, sostituendo questo valore del controllo f nell equazione per θ 2, otteniamo θ1 = θ 2 θ 2 = g/lθ + r/l, che rappresenta l equazione delle dinamiche interne del sistema linearizzato, le dinamiche interne sono instabili in quanto gli autovalori sono dati da ± g/l. Visto che abbiamo un sistema lineare, vediamo il significato della legge di controllo per f in termini di funzioni di trasferimento. La funzione di trasferimento dell impianto è data da P(s = quella del controllore è data da s 2 l g s 2 (s 2 lm g(m + m, C(s = lms2 g(m + m s 2 l g otteniamo C(sP(s = 1 s, abbiamo dunque fatto una cancellazione di zeri instabili, questo ci dice che in genere, il segnale di controllo f può essere illimitato, 2 visto che contiene anche il modo associato al polo instabile, occorre scegliere le condizioni iniziali del problema in maniera tale che questo modo sia nullo. Il problema che vogliamo risolvere è il seguente. Dato il sistema ( ( d θ1 1 dt = θ 2 g/l θ 1 ( = θ 1, θ 2 ( = θ 2, ( θ1 θ 2 +, ( 1/l vogliamo trovare un dato iniziale in modo tale che la sua soluzione sia limitata. Affrontiamo questo problema in modo più generale r 4

5 4 Soluzione limitata di sistemi lineari iperbolici Problema 3 Dato il sistema lineare tempo invariante, con ingresso scalare ẋ = Ax + Bu x( = x, dove A non ha autovalori sull asse immaginario e u(t è limitato, trovare x in modo tale che x(t sia limitato. Quando A non ha autovalori sull asse immaginario si dice anche che il sistema è iperbolico, in questo caso esistono due sottospazi V u, V s tali che V u, V s sono invarianti V u V s = R n σ(a Vu C +, σ(a Vs C. Nel caso del pendolo, la matrice di sistema è data da ( 1 A =, g/l 1 gli autovalori sono ± ( ( g 1 l e gli autovettori v s =, v g/l u = 1 g/l Decomponiamo A = A s + A u, B = B s + B u in modo tale che Im A s V s, Im A u V s, Im B s V s, Im B u V u. Cerchiamo la soluzione del sistema ẋ = Ax + Bδ(t (3 con la condizione lim t ± x(t =. Per le proprietà della delta di Dirac δ(t risulta x( + x( = B, inoltre e x(t = At x( + se t e At x( se t < per avere la soluzione limitata per ±, x( + V s, x( V u, da cui x( + = B s, x( = B u. La risposta all impulso è data quindi da e h(t = At B s se t e At B u se t < si tratta di una risposta all impulso non causale, perchè h(t per t <. Possiamo scrivere una soluzione di (3 nella forma x(t = h(t u(t = + h(t τu(τdτ = t h c(t τu(τdτ + + h t nc (t τu(τdτ. 5.

6 dove h c è la parte causale della risposta all impulso e h nc quella non causale. La soluzione x può essere stimata nel modo seguente x h 1 u h 1 risulta limitata perchè decresce esponenzialmente sia per t che per t <. Nel caso del pendolo( inverso, le matrici A u, A s, B u, B s si trovano nel modo 1 seguente. Fissata T =, definiamo gli operatori di proiezione su g/l V u e su V s : da cui Π u = T ( 1 ( T 1, Π s = T 1 T 1 ( g/l 1 A u = Π u A = 1/2, g/l g/l ( ( A s = Π s T 1 g/l 1 = 1/2 g/l g/l, g/l ( ( 1/ lg 1/ lg B u = Π u B = 1/2, B 1/l s = Π s B = 1/2. 1/l 5 Soluzione del problema non lineare In questo caso il sistema delle dinamiche interne è dato da θ 1 = θ 2 cos θ1 g θ 2 = l r(t + sin θ 1 l θ 1 ( = θ 1, θ 2 ( = θ 2, (4 Il problema dell inversione dinamica è il seguente. Problema 4 Fissata una traiettoria di riferimento r(t, determinare uno stato iniziale θ 1, θ 2 del sistema (4 tale che lo stato (θ 1, θ 2 si mantenga limitato. 5.1 Metodo del punto fisso Se A è una matrice iperbolica (non ha autovalori sull asse immaginario, tramite il controllo non causale visto prima, sappiamo risolvere il problema ẋ = Ax + Bu lim t ± x(t =, mantendo la soluzione limitata, la soluzione è data da x(t = h(t u(t, 6

7 dove h(t è la risposta all impulso (non causale del sistema. Vogliamo risolvere il problema lo scriviamo nella forma ẋ = f(x, u, ẋ = Ax + g(x, u dove A = x f(x, u e consideriamo la ricorsione x (t = x i+1 (t = h(t g(x i, u, ci chiediamo se x i (t converga o meno. Allo scopo definiamo l operatore T(x nel modo seguente T(x = h(t g(x, u. Facciamo vedere che la successione x i è limitata in norma infinito. Partiamo dalla stima T(x h 1 g(x, u, definiamo l intorno dell origine in norma infinito B ρ = x : x < ρ}, per stimare g(x, u, supponiamo che esistano due costanti dipendenti da ρ tali che g(x, u K x (ρ x + K u (ρ u, otteniamo che T(x h 1 (K x (ρ x + K u (ρ u, a questo punto se vale la condizione h 1 (K x (ρρ + K u (ρ u < ρ, otteniamo T(B ρ B ρ, dunque la successione x i risulta limitata. La condizione 5.1 è equivalente alle seguenti due 1 h 1 K x (ρ < 1, 2 u < (1 h1 Kx(ρρ h 1K u(ρ. La prima condizione indica che K x non deve essere troppo grande, cioè nell intorno dato f(x, u non deve scostarsi troppo dall andamento del sistema lineare. Visto che K x (ρ cresce con ρ, questo significa che l intorno ρ non può essere troppo grande. La seconda condizione indica che l ingresso u non può essere troppo grande in norma infinito. 7

8 Per dimostrare che la successione di funzioni è convergente mostriamo che T è una contrazione da cui T(x T(y = h(t (g(x, u g(y, u, T(x T(y h 1 g(x, u g(y, u, poniamo ora la condizione, u : u (1 h1 Kx(ρρ h 1K u(ρ, x : x ρ g(x, u g(y, u K x (ρ x y, la costante K x è maggiore di K x, otteniamo se vale T(x T(y h 1 Kx (ρ x y, h 1 Kx (ρ < 1, allora T è una contrazione e per il teorema delle contrazioni, la successione x i } converge. 5.2 Metodo dell omotopia È un metodo alternativo per trovare soluzioni limitate ad un problema non lineare tramite deformazione di una soluzione elementare nota. Consideriamo ancora l equazione delle dinamiche interne del pendolo sul carrello θ 1 = θ 2 θ 2 = g l sinθ cos θ1 1 + r(t l θ 1 ( = θ 1, θ 2 ( = θ 2, assumiamo che il riferimento r sia T-periodico, vogliamo trovare una soluzione al problema (5 che sia T-periodica. Usiamo un metodo di omotopia, cioè cerchiamo di trovare una soluzione a questo problema tramite una deformazione continua della soluzione nota di un problema più semplice. In particolare se r =, sappiamo che il problema di sopra ha la soluzione banale θ 1 = θ 2 =, costruiamo dunque la seguente famiglia di sistemi, parametrizzata in s θ 1 = θ 2 θ 2 = g l sin θ cos θ1 1 + s r(t l θ 1 ( = θ 1 (s, θ 2 ( = θ 2 (s, vogliamo trovare le funzioni θ 1 (s e θ 2 (s tali che per ogni s [, 1] la soluzione dell equazione sia T-periodica, sapendo che θ 1 ( =, θ 2 ( =. Detto in termini più generali il problema è il seguente (5 (6 8

9 Problema 5 Data la seguente famiglia di sistemi, paremetrizzata in s ẋs = f(t, x s, s x s ( = x (s, (7 trovare una funzione x (s di dati iniziali dipendenti da s tale che valga la condizione x s (T = x s (, s [, 1], sapendo che per s = la soluzione del problema con dato iniziale x ( = x è T-periodica. Calcoliamo il sistema alle variazioni. Assumiamo che per un dato valore di s la soluzione di ẋs = f(t, x s, s (8 x s ( = x (s, sia T-periodica. Variamo ora s di δs e lo stato iniziale di δx (s, deve essere soddisfatta l equazione ẋs + δx s = f(t, x s + δx s, s + δs x s ( + δx s ( = x (s + δs, da cui, sottraendo i due sistemi membro a membro δxs = f(t, x s + δx s, s + δs f(t, x s, s δx s ( = δx (s passando al limite, per variazioni piccole, la relazione diventa la seguente dx s = x f(t, x s, s(dx s + s f(t, x s, s(ds (dx s ( = dx(s ds ds si tratta di un sistema lineare in dx s, la soluzione è data da dx s (t = Φ(t, dx s ( + t Φ(t, τ s f(x s, u, sds, dove Φ(t, τ è la soluzione di Φ(t, τ = x (t, x s, sφ(t, τ Φ(τ = I. Poniamo la condizione di periodicità dx s ( = dx s (T, otteniamo da cui T dx s ( = (I Φ(T, 1 Φ(t, τ s f(x, u, sds, dx (s ds T = (I Φ(T, 1 Φ(t, τ s f(x, u, s. 9

10 Questa equazione rappresenta la derivata dello stato iniziale x rispetto a s. Essendo noto x ( essa ci permette di calcolare, integrando l equazione da a 1 il valore del dato iniziale x (1 per cui il sistema (8 è periodico per s = 1. Questo può essere fatto a patto che la matrice (I Φ(T, si mantenga invertibile durante l integrazione, questa ipotesi significa sostanzialmente che la famiglia di sistemi, al variare di s da ad 1 conservi una proprietà di iperbolicità. La parte più critica di questo metodo è trovare delle condizioni che garantiscano questo fatto. Dal punto di vista computazionale, questo metodo ha lo svantaggio di richiedere la soluzione di due equazioni differenziali annidate. Qualche riferimento bibliografico Inversione dinamica di sistemi lineari A. Visioli A. Piazzi. Optimal noncausal set-point regulation of scalar systems. Automatica, 37(1: , 21. A. Visioli A. Piazzi. Optimal noncausal set-point regulation of scalar systems. Automatica, (1:35 313, 25. Inversione dinamica di sistemi non lineari S. Devasia, Degang Chen, and B. Paden. Nonlinear inversion-based output tracking. Automatic Control, IEEE Transactions on, 41(7:93 942, Jul L. R. Hunt and G. Meyer. Stable inversion for nonlinear systems. Automatica, 33(8: , Metodo dell omotopia VTOL L. Consolini and M. Tosques. On the vtol exact tracking with bounded internal dynamics via a poincarè map approach. IEEE Trans. On Automatic Control, 52(9: , 27. Pendolo inverso bidimensionale L. Consolini and M. Tosques. On the existence of small periodic solutions for the 2-dimensional inverted pendulum on a cart. SIAM Journal on Applied Mathematics, 68(2:486 52, 27. 1

11 Applicazioni al modello della moto e del CTOL L. Consolini and M. Tosques. A morphing method for exact output tracking of some nonminimum phase nonlinear systems. To appear in International Journal of Robust and Nonlinear Control. Estensione multidimensionale: pendolo sferico L. Consolini and M. Tosques. On the exact tracking of the spherical inverted pendulum via an homotopy method. To appear in Systems and Control Letters. 11