UNIT 8 Soluzione del problema di controllo con Modelli Poveri 3 - Sintesi per tentativi degli asservimenti nel dominio della variabile complessa

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1 UNIT 8 Soluzione del problema di controllo con Modelli Poveri 3 - Sintesi per tentativi degli asservimenti nel dominio della variabile complessa Corso di Controlli Automatici Prof. Tommaso Leo

2 Indice UNIT 8 - Soluzione del problema di controllo con Modelli Poveri 3 1. Premessa Il luogo delle radici e le regole per il suo tracciamento con carta e penna Il contorno delle radici Casi esemplari di sintesi per tentativi nel dominio della variabile complessa Riassumendo Corso di Controlli Automatici Prof. Tommaso Leo 2

3 1. Premessa In questa Unit verranno fornite le nozioni da apprendere per effettuare la sintesi del controllore nel caso di asservimenti, quando i processi controllati sono rappresentati da modelli poveri definiti nel dominio della variabile complessa e/o le prestazioni desiderate risultino meglio rappresentate in questo dominio Si assume che valgano le ipotesi di linearità e stazionarietà. Ci si limita a considerare sistemi SISO a controreazione Seguendo la linea di ragionamento ormai abituale, si considerano in primo luogo le prestazioni desiderate. Queste, come in ogni problema di asservimento riguardano la stabilità e la fedeltà di risposta a ciclo chiuso. Inoltre rimangono sempre più o meno esplicitamente indicate le specifiche sulla capacità di reiezione dell effetto dei disturbi e di attenuazione dell effetto di variazioni parametriche. Come ormai dovrebbe esser ben chiaro, tutti gli aspetti del comportamento di un sistema dato, o in via di costruzione, sono riconducibile alla posizione nel piano complesso dei suoi autovalori (poli della funzione di trasferimento nel caso di modelli poveri). Nel caso che il modello del processo controllato sia in forma di funzione di trasferimento o sia facilmente riconducibile a questa forma, è spesso immediato scrivere questo modello in forma fattorizzata e quindi conoscere il valore dei suoi poli e dei suoi zeri. Nel caso dei problemi di controllo relativamente semplici con cui ci si confronta nel corso di CA, questo è sempre fattibile perché il processo è caratterizzato da pochi poli dominanti. La sintesi per tentativi consiste allora nello individuare un insieme di poli e zeri del controllore, che, aggiunti a quelli del processo, producano la distribuzione di poli e zeri a ciclo chiuso che garantisca il soddisfacimento delle specifiche assegnate. Come in ogni sintesi per tentativi, le specifiche si dividono in due categorie: univoche, ossia tali da prescrivere la presenza nel controllore di certe caratteristiche analitiche (le specifiche di regime permanente dicono univocamente che nel controllore devono esserci un certo numero dipoli nell origine, dipendente dal tipo del sistema e/o dal suo essere statico o astatico e un certo guadagno statico, dipendente dall entità dell errore di regime ammesso) lasche, ossia corrispondenti a vincoli su parametri del transitorio a ciclo chiuso e a vincoli sulla robustezza con cui è garantita la stabilità). Anche nel dominio della variabile complessa la chiave di volta della procedura di sintesi è un metodo grafo numerico che permetta di fare velocemente la verifica dell efficacia di una scelta di sintesi. In questo caso si tratta di passare velocemente, in modo grafo numerico dalla distribuzione di poli e zeri in catena aperta alla corrispondente Corso di Controlli Automatici Prof. Tommaso Leo 3

4 posizione di poli a ciclo chiuso. Gli zeri a ciclo chiuso coincidono con quelli in catena aperta sotto l ipotesi di reazione unitaria (o istantanea). Poiché si vogliono considerare poli e zeri e non i parametri dei corrispondenti modi naturali (costanti di tempo, smorzamento e pulsazione caratteristica) si fa riferimento ad una appropriata scrittura in forma fattorizzata delle funzioni di trasferimento. Questa ha come parametro libero il coefficiente di guadagno e non il guadagno statico. Questo metodo grafo numerico è il Luogo delle radici, messo a punto da Evans negli anni 50 del secolo scorso. La procedura di sintesi si svolge secondo i seguenti passi, logicamente identici a quelli già visti nel caso della sintesi per tentativi degli asservimenti nel dominio della frequenza: 1. Traduzione delle prestazioni desiderate a ciclo chiuso in specifiche a ciclo aperto 2. Definizione di un controllore di primo tentativo in catena aperta 3. Verifica 4. Eventuale iterazione dei passi 2 e 3 fino al conseguimento del risultato Corso di Controlli Automatici Prof. Tommaso Leo 4

5 Il metodo è particolarmente potente per due principali motivi: permette di effettuare la sintesi di controllori anche nel caso che il processo non sia stabile e/o non sia a fase minima; sotto ipotesi spesso verificate si presta a dare una visione globale degli effetti delle variazioni parametriche nella sua versione nota come Contorno delle radici. Inoltre la sintesi nel dominio della variabile complessa permette, con opportune precauzioni di definire un controllore che cancelli almeno in parte la dinamica del processo. Ciò, anche se ha l effetto indesiderato di rendere il sistema di controllo complessivo non completamente controllabile e/o osservabile, può essere assai utile per la semplicità del sistema di controllo complessivo. Le precauzioni da prendere riguardano la necessità di non effettuare cancellazioni di elementi del processo che cadano fuori della regione del piano complesso compatibile con le specifiche assegnate. Corso di Controlli Automatici Prof. Tommaso Leo 5

6 2. Il luogo delle radici e le regole per il suo tracciamento con carta e penna La tecnica di tracciamento del Luogo delle radici, si basa sulla scrittura della equazione caratteristica come denominatore espresso come la somma della produttoria dei termini binomi associabili ai poli della funzione di trasferimento in catena aperta con il prodotto del coefficiente di guadano per la produttoria dei termini binomi associabili agli zeri in catena aperta, uguagliata a 0. Questo modo di scrittura della equazione caratteristica permette di decomporre tale equazione nel sistema di due equazioni relativi a modulo e fase e di riconoscere che l equazione di fase dipende dal solo segno del coefficiente di guadagno e non dal suo valore. Questo fatto indica chiaramente che l equazione di fase è quella adatta a definire la topologia delle curve che rappresentano le posizioni dei poli a ciclo chiuso al variare del coefficiente di guadagno in catena aperta. La graduazione di tali curve con valori del coefficiente di guadagno viene poi fatta usando l altra equazione del sistema, quella relativa ai moduli. Evans, alla fine degli anni cinquanta, studiò approfonditamente il problema del passaggio da ciclo aperto a ciclo chiuso quando la catena aperta è descritta da un Funzione di trasferimento, secondo la linea di ragionamento appena indicata. Individuò alcune regole generali che possono essere applicate a equazioni parametriche con la struttura descritta. Successivamente altri ricercatori hanno trovato ulteriori regole per il tracciamento del luogo delle radici, in genere valide in condizioni particolari. Corso di Controlli Automatici Prof. Tommaso Leo 6

7 Riferimenti ed esercitazioni Le regole per il tracciamento del luogo possono essere apprese studiando il documento PDF scaricabile dal sito: alla sezione corrispondente. Per fissare i concetti e i risultati presentati in questa UA si suggerisce di riesaminare, lavorando in piccoli gruppi, gli esempi presentati nella Unit 2 (I Modelli matematici ricchi di informazione) e di verificare la tecnica sui i modelli usati per calcolare la risposta dei processi Si suggerisce inoltre di definire autonomamente modelli di processi fisici e sottoporli alla stessa indagine di verifica del soddisfacimento delle condizioni per la stabilità interna ed esterna. Corso di Controlli Automatici Prof. Tommaso Leo 7

8 3. Il contorno delle radici Come già notato nella precedente sezione, il tracciamento del luogo delle radici si fonda su una scrittura dell equazione caratteristica che in sostanza consta della somma di un polinomio di s indipendente dal parametro variabile e del parametro variabile moltiplicato per un secondo polinomio, anch esso indipendente dal parametro variabile. Se richiamiamo alla memoria quanto visto nella Unit 5, a proposito delle variazioni parametriche e dello studio dei loro effetti, possiamo facilmente riconoscere che gli strumenti appresi permettono solo uno studio puntuale di tali effetti (sul comportamento di regime, su alcuni valori caratteristici del transitorio, sulla risposta armonica ad una data frequenza e così via). Si può intuire che sarebbe utile avere una informazione globale sugli effetti della variazione di un dato parametro. Questa informazione globale potrebbe benissimo essere costituita da tutte le possibili posizioni dei poli a ciclo chiuso al variare del parametro nel range di valori previsti. Ne segue che se, per parametri diversi dal coefficiente di guadagno, possiamo arrivare a manipolare l equazione caratteristica in modo che abbia la struttura appena descritta ossia la somma di un polinomio di s indipendente dal parametro variabile e del parametro variabile moltiplicato per un secondo polinomio, anch esso indipendente dal parametro variabile, possiamo utilizzare le stesse regole apprese per tracciare il luogo delle radici al fine di veder come si spostano nel piano complesso i poli a ciclo chiuso per effetto della variazione parametrica in gioco. Il luogo che in tal caso viene disegnato viene chiamato contorno delle radici. Si sottolinea che nel caso ci siano più parametri variabili e per ciascuno sia possibile manipolare la equazione caratteristica in modo che abbia la struttura desiderata, si possono tracciare più contorni delle radici, ciascuno relativo agli effetti della variazioni di un parametro. Riferimenti ed esercitazioni Quanto si ritiene indispensabile apprendere a proposito del Contorno delle radici può essere appreso studiando il documento PDF scaricabile dal sito: alla sezione corrispondente. Corso di Controlli Automatici Prof. Tommaso Leo 8

9 Per fissare i concetti e i risultati presentati in questa Unit si suggerisce di riesaminare, lavorando in piccoli gruppi, i seguenti esempi contenuti nel Control Tutorial Matlab: Motor speed, considerando la presenza di variazioni del 10% sul valore della resistenza, e spiegandone le possibili cause. Bus supsension, considerando la variazione del 15% sul valore del tire damping e spiegandone le possibili cause. tracci. Si valuti la possibilità di utilizzare il contorno delle radici e nel caso positivi lo si Si invitano gli studenti a presentare i risultati delle loro riflessioni nel Forum. Corso di Controlli Automatici Prof. Tommaso Leo 9

10 4. Casi esemplari di sintesi per tentativi nel dominio della variabile complessa I casi in esame sono presentati nei documenti PDF scaricabile dal sito: alla sezione corrispondente. Caso esemplare con processo instabile Caso esemplare con processo stabile Corso di Controlli Automatici Prof. Tommaso Leo 10

11 5. Riassumendo In questa Unit si è potuto imparare: I criteri logici cui si attiene la sintesi per tentativi nel dominio della variabile complessa, che coincidono in sostanza con quelli già visti nel dominio della frequenza. L uso degli strumenti operativi (luogo delle radici) con cui si può verificare il soddisfacimento o meno delle specifiche assegnate e intervenire aggiungendo opportune funzioni di controllo in catena diretta, nel caso che le specifiche assegnate non risultino ancora soddisfatte. Le linee guida per la sintesi del controllore. Si nota che lo strumento in uso per la sintesi è molto più flessibile di quelli usati nel dominio della frequenza e permette di risolvere problemi che in quel dominio non sarebbero stati risolvibili con le tecniche elementari che si erano apprese. Tale maggiore potenza e flessibilità hanno come riscontro una maggiore libertà di scelta per il progettista. Come usuale una maggiore libertà di scelta richiede maggiore attenzione e cura nella scelta stessa. L estensione dell uso dello strumento a problemi di analisi come quelli relativi all effetto delle variazioni parametriche, sotto specifiche condizioni di applicabilità della tecnica. Un certo numero di casi esemplari, esemplificativi delle possibilità offerte dalla tecnica di sintesi studiata. Corso di Controlli Automatici Prof. Tommaso Leo 11