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1 # SINTESI PER TENTATIVI IN ω PER GLI ASSERVIMENTI # Considerazioni sulle specifiche. Come accennato in precedenza, prima di avviare la prima fase della sintesi di un sistema di asservimento, e cioe la scelta della struttura e dei valori dei parametri della F. di T. del controllore C, e necessario avere a disposizione un set di specifiche adatte all analisi che si conduce in questa fase. Ricordiamo che le specifiche devono rigurdare: a) il comportamento in regime permanente; b) la stabilita ; c) il transitorio. a) Per quanto riguarda le specifiche sul regime permanente non ci sono problemi, dato che fissare il tipo e l entita dell errore massimo ammissibile porta direttamente alla scelta del numero di poli nell origine e del guadagno della risposta armonica della catena diretta G(jω) e quindi di C(jω), nota la P(jω). Conviene tener presente a questo proposito che in genere gli asservimenti che si desidera realizzare piu frequentemente sono di tipo 0 o di tipo 1 (raramente di tipo 2). L eventuale necessaria introduzione di poli nell origine tramite il controllore, nel caso in cui il processo ne sia sprovvisto, non comporta alcuna modifica alle fasi della procedura di sintesi che stiamo descrivendo rispetto al caso in cui tali poli siano posseduti dal processo. In tale procedura si supporra sempre che il processo abbia i poli nell origine desiderati e si procedera alla sintesi del controllore senza tali poli, salvo poi a considerare la necessita di introdurli tramite il controllore in sede della sua implementazione finale. Per quanto appena detto le specifiche sul regime permanente si traducono quindi in una condizione per il solo guadagno di G(jω). b) Per quanto riguarda la stabilità, il criterio di Nyquist fornisce direttamente le condizioni cui deve soddisfare la G(jω). Spesso viene escluso, in sede di assegnazione delle specifiche, che la stabilità sia condizionata. Inoltre la stragrande maggioranza dei processi dei sistemi di asservimento classici è caratterizzata da non avere poli a p.r.p., per cui il ricorso al criterio ridotto di Nyquist porta direttamente a valutare la stabilità in termini di margini di fase e di guadagno, direttamente deducibili dai diagrammi di Bode a ciclo aperto. 1

2 c) Invece le proprieta transitorie desiderate sono espresse solitamente nel dominio del tempo con riferimento ai parametri della risposta indiciale del sistema a ciclo chiuso. Tali specifiche non sono utilizzabili nella prima fase della procedura di sintesi che si conduce, come detto, nel dominio della frequenza e con riferimento alla G(jω). Si tratta quindi di trasformare opportunamente le specifiche di cui sopra. Una prima trasformazione puo essere fatta con riferimento ai legami globali, che abbiamo visto essere validi per la classe, non generale ma abbastanza ampia, dei sistemi normali cioe sistemi a riposta armonica normale e non troppo complessi (con struttura poli-zeri non molto ampia). Tali sistemi sono spesso caratterizzabili colla presenza di un modo dominante a ciclo chiuso. Grazie ai legami globali e possibile tradurre efficacemente per la sintesi le specifiche sulla risposta indiciale in specifiche sulla risposta armonica a ciclo chiuso, quali il modulo di risonanza M r e la corrispondente pulsazione ω r, la banda passante B 3 etc. Tali specifiche, riferentisi alla risposta armonica a ciclo chiuso, non sono pero ancora direttamente utilizzabili nella prima fase della procedura che, come detto, si conduce sul ciclo aperto e con riferimento ai diagrammi di Bode. In tale contesto i parametri del sistema a ciclo aperto a disposizione del progettista sono i margini di stabilita m ϕ e m g e la pulsazione di attraversamento ω t. Con riferimento ai sistemi normali di cui sopra esiste una relazione, largamente approssimata ma di grande utilita nello sviluppo della sintesi per tentativi in ω, tra banda passante a ciclo chiuso e pulsazione di attraversamento a ciclo aperto: ω t = (3 5)B 3 (1) Nei sistemi normali cioe B 3 e direttamente proporzionale a ω t. La (1) dice che dalla conoscenza della banda passante desiderata (specifica a ciclo chiuso) si puo passare alla pulsazione di attraversamento desiderata (specifica a ciclo aperto) moltiplicando la banda in Hz per una costante compresa tra 3 e 5. Sempre per la categoria dei sistemi normali si utilizza una relazione approssimata tra modulo alla risonanza M r e margine di fase m ϕ riassunta dal diagramma riportato nella pagina seguente. 2

3 3

4 Dal diagramma si legge per esempio che, dato che per un accettabile comportamento transitorio in un sistema di asservimento dovrebbe essere s * % 25, cui corrisponde per il legame globale: (s * ) 0.85M r M r db 3.3, il valore del margine di fase dovrebbe essere m ϕ 35. Con riferimento ai margini di stabilita in genere si puo affermare che per un comportamento transitorio soddisfacente il margine di fase dovrebbe essere compreso nell intervallo (35 60 ) e il margine di guadagno dovrebbe essere non inferiore a 6dB. I margini di stabilità vengono dunque considerati non solo come margini di sicurezza per la stabilità rispetto a possibili variazioni parametriche (stabilità robusta), ma anche come un modo di caratterizzare, sia pure in maniera grossolana, il comportamento transitorio. E chiaro che il legame tra specifiche di partenza e vincoli sul ciclo aperto cosi individuati e piuttosto approssimato e cio rende necessaria, come segnalato nella presentazione del metodo di sintesi, la fase di verifica del soddisfacimento delle specifiche a ciclo chiuso. Da quanto visto sopra possiamo anticipare una considerazione generale sulla soluzione dei problemi di sintesi che si ottiene tramite la procedura allo studio: tale soluzione, essendo dipendente dal soddisfacimento di specifiche non molto rigide e vincolanti, potra essere ottenuta con una molteplicita di scelte progettuali diverse. Si trattera caso per caso di analizzare le diverse alternative che possono apparire equivalenti rispetto alle specifiche adottate, introducendo ulteriori criteri di scelta che indirizzino a preferire una soluzione rispetto alle altre. Qui entra in gioco chiaramente l esperienza e l intuito ingegneristico che porta ad esercitare tale opzione. In mancanza di altri criteri, la scelta finale si potrebbe basare sulle seguenti considerazioni: Il costo della realizzazione di un sistema di controllo si puo assumere proporzionale al prodotto del guadagno a ciclo aperto per la banda passante a ciclo chiuso. Si puo ritenere infatti che il costo dei componenti da introdurre per realizzare il sistema di controllo (amplificatori, trasduttori, attuatori) sia proporzionale a tali parametri. Fra le varie soluzioni possibili si andra dunque a scegliere quella che, assicurando le prestazioni desiderate, porti al valore minimo di tale prodotto (criterio di realizzazione soddisfacente col minimo costo) 4

5 Scelta della struttura. Facciamo riferimento allo schema standard a retroazione unitaria con blocco controllante C e processo P in cascata nella catena diretta. Supponiamo di voler realizzare un sistema di asservimento di tipo 1, con opportune specifiche sull errore a regime, sulla stabilita e sul transitorio. Tali specifiche siano le seguenti: a) K v K v *; b) m ϕ m ϕ *; c) B 3 B 3 *. Con riferimento alla specifica a), tenendo conto di quanto detto sopra a proposito del polo nell origine necessario nella catena diretta, si ricava immediatamente un vincolo inferiore sul valore del guadagno del controllore C: K C K K * v (2) P Scelto cosi il valore di K C le specifiche sul regime permanente saranno soddisfatte, e si puo passare alle altre specifiche, tramite le quali determineremo la struttura poli-zeri della F. di T. del controllore. La specifica b) sulla stabilita gioca a questo punto un ruolo prioritario. La specifica c) in questo caso riassume molto sinteticamente le esigenze di un soddisfacente comportamento dinamico a ciclo chiuso e potra essere soddisfatta da una appropriata scelta delle azioni stabilizzanti, come vedremo nel seguito. In ogni caso sara l ultima specifica ad essere verificata nella fase conclusiva della procedura di sintesi. Esaminiamo dunque ora le possibili azioni stabilizzanti. Esistono due tipiche azioni elementari stabilizzanti: l azione anticipatrice (lead-lag); l azione attenuatrice (lag-lead). Per illustrare le caratteristiche di queste due azioni riferiamoci ad un sistema a stabilita regolare e al dominio della frequenza. Azione anticipatrice. L azione o correzione anticipatrice consiste nell introdurre, tramite il controllore C, un anticipo di fase a ciclo aperto in un certo campo di frequenze. Tale azione diventa stabilizzante se viene esercitata nella banda di frequenze che interessa il circondamento del punto critico del diagramma di Nyquist e quindi corrispondentemente l attraversamento dell asse delle ascisse del diagramma dei moduli di Bode. Poiche agli anticipi di fase si accompagnano, nelle F. di T. a fase minima, aumenti di modulo che hanno effetto dannoso ai fini della stabilita, si tratta di fare si che tale effetto sia meno rilevante di quello positivo dell anticipo di fase. 5

6 L azione anticipatrice viene esplicata da un controllore, la cui F. di T. in forma standard e la seguente: τ s a Cant ( s) = KC τ ; con m a >1. (3) a s m Come si nota, oltre al guadagno K C, l azione anticipatrice dipende dai due parametri τ a e m a entrambi a disposizione del progettista (carte progettuali). Vedremo nel seguito di individuare i criteri piu appropriati di scelta dei valori di tali parametri in base alle specifiche di progetto. L effetto di anticipo dell azione in oggetto e immediatamente evidente se ci riferiamo ai relativi diagrammi di Bode: grafici. L entita dell anticipo di fase e legata al valore di m a. Per m a l anticipo di fase tende a 90. In pratica l azione anticipatrice dovra essere posizionata nel punto giusto, cioe intorno a ω t come gia anticipato. Azione attenuatrice. L azione o correzione attenuatrice consiste nell attenuare il modulo a ciclo aperto in una certa banda di frequenze. Essa ha un effetto stabilizzante se viene sviluppata piu precisamente nella zona delle basse frequenze, rispetto alla pulsazione di attraversamento. Abbiamo visto che nei sistemi a stabilita regolare si puo sempre conseguire la stabilita od aumentarne i margini con una riduzione del guadagno a ciclo aperto. Ma al guadagno a ciclo aperto e legato il comportamento a regime (oltre che al numero di poli nell origine) quindi, se tale guadagno e gia stato fissato secondo le specifiche sull errore a regime, non e concesso agire sulla stabilita variando tale parametro. Ma l effetto stabilizzante si puo anche ottenere riducendo il modulo a ciclo aperto invece che a tutte le frequenze, come si farebbe diminuendo il guadagno, solo da una certa frequenza in poi, lasciando inalterato il diagramma dei moduli alle frequenze molto basse, e quindi le caratteristiche relative al regime permanente. Naturalmente agendo in tale modo si modificano anche le proprieta transitorie e di questo bisognera tener conto opportunamente. L azione attenuatrice viene esplicata da un controllore, la cui F. di T. in forma standard e la seguente: τ i s mi Catt ( s) = KC ; con m i >1. grafici. (4) τ s i Come si nota, oltre al guadagno K C, anche l azione attenuatrice dipende dai due parametri τ i e m i entrambi a disposizione del progettista (carte progettuali). a 6

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