SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI
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- Geronimo Romeo
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1 SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI 1 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC
2 Definizione di sistema Sistema: Da un punto di vista fisico e un dispositivo che modifica un segnale x(, detto ingresso, generando il segnale y(, detto uscita. Da un punto di vista formale il segnale d ingresso x( viene manipolato tramite un generico operatore matematico indicato con O[.]. Il risultato delle operazioni matematiche eseguite sull ingresso e il segnale d uscita y(. Schema a blocchi x( Sistema O[ x( ] y( 2 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC
3 Sistemi Lineari Tempo-Invarianti (LTI) Lineare: quando l uscita generata dalla combinazione lineare di due o piu ingressi e uguale alla combinazione lineare delle uscite generate dai singoli ingressi ax 1 (+bx 2 ( Sistema Lineare O[ax 1 (+bx 2 (]=ao[x 1 (]+bo[x 2 (] ay 1 (+by 2 ( Tempo Invariante: quando l uscita generata da un segnale ritardato e uguale all uscita generata dal segnale originale, ritardata della stessa quantita. x(t τ) Sistema Tempo Invariante O[x(t τ)] y(t τ) 3 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC
![(] ay 1 (+by 2 ( Tempo Invariante: quando l uscita generata da un segnale ritardato e uguale all uscita generata dal segnale](/docs-images/51/18090452/images/page_3.jpg "originale, ritardata della stessa quantita.")
4 Risposta all impulso Risposta all impulso: e l uscita del sistema quando l ingresso e l impulso. Viene solitamente indicata con il simbolo h( [ δ ( )] h( = O t δ( Sistema O[δ(] h( Se il sistema e tempo-invariante, la forma della risposta all impulso non dipende dall istante in cui si applica l impulso. Quando l ingresso e un impulso anticipato o ritardato l uscita e uguale ad h( anticipata o ritardata: Se il sistema e anche lineare, nota la risposta all impulso e possibile calcolare l uscita del sistema quando l ingresso e una qualsiasi combinazione lineare d impulsi: y( = O a = ah [ δ ( + bδ ( t τ ) + cδ ( t τ )] () t + bh( t τ ) + ch( t τ ) 1 [ δ ( t )] h( t τ ) = O τ 6 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC =
5 Rappresentazione di un segnale come combinazione lineare di impulsi Un qualsiasi segnale x( puo essere rappresentato come somma integrale di impulsi ( t τ ) dτ x( ) x ( τ ) δ = t x( τ ) δ ( t τ ) τ Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC t
6 Abbiamo visto che: La convoluzione 1 -Nota la risposta all impulso, e possibile calcolare l uscita di un sistema LTI quando l ingresso e una qualsiasi combinazione lineare d impulsi 2 -Un qualsiasi segnale x( puo essere rappresentato come somma integrale di impulsi Ne segue che: y( [ ( ] = O x( τ) δ ( t τ ) dτ = x( τ) O[ δ ( t τ )] dτ = = O x = ( τ ) h( t τ) dτ ( τ ) x( t τ ) dτ x = simbolo della convoluzione uscita = convoluzione tra ingresso e risposta all impulso del sistema LTI 8 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC = h = x ( * h ( integrale di convoluzione (o semplicemente convoluzione)
![= x( τ) O[ δ ( t τ )] dτ = = O x = ( τ ) h( t τ) dτ ( τ ) x( t τ ) dτ x = simbolo della convoluzione uscita = convoluzione tra ingresso e risposta all impulso](/docs-images/51/18090452/images/page_6.jpg "del sistema LTI 8 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC = h = x ( * h ( 1444444444444 2444444444444 3 integrale di convoluzione (o semplicemente")
7 Causalità dei Sistemi L.T.I. (1) Definizione: Un sistema L.T.I. è detto causale se l uscita y( per un t=t, dipende dai valori dell ingresso x( solo per valori della variabile t t. La condizione di causalità è molto importante se la variabile indipendente è il tempo: in questo caso un sistema fisico deve essere causale. Se ciò non fosse infatti il sistema sarebbe in grado di predire il futuro. x( Sistema y( Condizione da rispettare per garantire la causalità: h( = 0 per t < 0 15 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC
8 Causalità dei Sistemi L.T.I. (2) Spesso nel seguito utilizzeremo risposte all impulso del tipo: h( Questa risposta all impulso non è causale: puo essere resa causale attraverso opportuni troncamenti (nel tempo, se h( si estende da - a ) e ritardi. h 1 ( t t Utilizzare h( invece che h 1 ( significa trascurare (cioe sottintendere) i ritardi necessari a rendere causale la risposta all impulso. 16 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC
9 Effetti della convoluzione (filtro passa-basso) x( Le componenti del segnale rapidamente variabili nel tempo (ad alta frequenza) vengono eliminate dalla convoluzione con una risposta all impulso lentamente variabile nel tempo (filtro passa-basso) Simbolo della convoluzione h( y( = x( h( 17 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC
10 Effetti della convoluzione (filtro passa-alto) x( Le componenti del segnale lentamente variabili nel tempo (a bassa frequenza) vengono eliminate dalla convoluzione con una risposta all impulso rapidamente variabile nel tempo (filtro passa-alto) Simbolo della convoluzione h( y( = x( h( 18 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC
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