Sistema dinamico a tempo continuo

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1 Sistema dinamico a tempo continuo Un sistema è un modello matematico di un fenomeno fisico: esso comprende le cause e gli effetti relativi al fenomeno, nonché la relazione matematica che li lega. X INGRESSO USCITA - y(t) non è univocamente determinata

2 Risposta dinamica La risposta dinamica di un sistema indica l andamento del segnale di uscita quando in ingresso viene applicato un segnale variabile nel tempo. Esistono due possibilità per descrivere il comportamento dinamico di un sistema: La rappresentazione nel dominio del tempo che descrive la risposta del sistema in funzione del tempo stesso y(t). La rappresentazione nel dominio della frequenza che descrive la risposta del sistema in funzione di una variabile trasformata ad es. s (trasformazione di Laplace) o (trasformazione di Fourier).

3 Risposta dinamica DESCRIZIONE DEL COPORTAENTO DINAICO DELLA STRUTTURA DOINIO DEL TEPO DOINIO DELLA FREQUENZA Rappresentazione mediante equazioni differenziali Rappresentazione mediante la risposta a gradino Rappresentazione mediante risposta in frequenza e funzione di trasferimento Laplace, Fourier (analiticamente) Diagramma di Bode, Nichols, Nyquist (graficamente)

4 Equazioni differenziali Le equazioni differenziali descrivono i modelli matematici degli elementi di trasferimento fisici e dei sistemi n d y dy du a n... a a y b u b n b m m d u m con u(t) grandezza di ingresso e y(t) grandezza di uscita Formulazione implicita.

5 Risposta a gradino Considerando t 0 0, la perturbazione prodotta è rappresentabile come in figura: In sistemi asintoticamente stabili descrive la transizione da un equilibrio ad un altro.

6 Risposta a gradino parametri caratteristici

7 etodi operazionali Per facilitare la risoluzione delle equazioni differenziali dei circuiti e dei sistemi lineari e stazionari, riconducendole a equazioni algebriche mediante opportune trasformazioni, sono stati introdotti vari metodi, chiamati metodi operazionali. Utilizzando questi metodi il segnale d'ingresso viene decomposto esprimendolo come somma o integrale di determinate funzioni base, le equazioni (trasformate in algebriche) vengono risolte per queste funzioni e la soluzione ottenuta viene poi ricondotta (mediante antitrasformazione) a rappresentare il segnale d'uscita nel dominio del tempo. I vari metodi differiscono per i tipi di funzioni base impiegate, e quindi dei segnali ai quali essi possono venire applicati: sinusoidi pure di frequenza data sinusoidi con frequenze multiple di una data esponenziali complessi esponenziali complessi (nulli per t<0) etodo Simbolico Serie di Fourier Trasformata di Fourier Trasformata di Laplace

8 Serie di Fourier Un segnale s(t) è periodico nel tempo quando si ripete ogni T secondi. Un segnale periodico può essere, in generale, caratterizzato nel seguente modo: ( t) s( t kt ) s L indice k,, 3... rappresenta la replica del segnale elementare che si succede identica nel tempo, ogni periodo di T secondi. s(t) T è il periodo f /T è la frequenza fondamentale πf è la pulsazione fondamentale T t

9 Serie di Fourier Data una funzione periodica g(t) di periodo T e pulsazione g π/t, si può in generale scrivere che g a () [ ( ) ( )] 0 t a cos n t b sin n t n n g n g dove a n e b n sono i coefficienti di Fourier / T / an g() t cos( n gt) T bn g() t sin( n gt) T T / T T /

10 Trasformata di Fourier I segnali aperiodici sono caratterizzati dall avere energia finita. Per tale fatto sono detti anche segnali impulsivi, diversamente dai segnali periodici che si ripetono indefinitamente. Per i segnali aperiodici perde significato lo sviluppo in serie di Fourier, mancando il principale presupposto: la periodicità. Per i segnali impulsivi, l analisi in frequenza viene condotta mediante la trasformata (diretta e inversa) di Fourier. s(t) durata t Esempio di segnale s(t) aperiodico di durata limitata

11 Trasformata di Fourier Uno dei metodi operazionali più importanti è il metodo della trasformata di Fourier, che è basato sui due seguenti integrali: Il primo, chiamato integrale di Fourier o trasformata diretta di Fourier, rappresenta la trasformazione nel dominio della frequenza della funzione f(t) definita nel dominio del tempo. Il secondo integrale esprime invece la trasformazione inversa, cioè il passaggio dalla rappresentazione nel dominio della frequenza a quello del tempo.

12 Trasformata di Fourier Proprietà Elenchiamo ora alcune importanti proprietà della trasformata di Fourier. Indicheremo con F(),G(),..., le trasformate delle funzioni f(t), g(t),...

13 Trasformata di Laplace Il metodo operazionale più usato in elettronica è quello della trasformata di Laplace. La frequenza angolare complessa s σ viene a sostituire la frequenza angolare (presente nella trasformata di Fourier) come variabile da cui dipendono le funzioni trasformate. L - Tempo t Dominio complesso s L In generale, la trasformata di Laplace di una funzione f(t) non dipende dai valori che tale funzione assume per t<0. Questo non crea inconvenienti quando si utilizza la trasformata di Laplace per determinare la risposta di un circuito o di un sistema lineare e stazionario da t0 in poi. σ è definita ascissa di convergenza.

14 Trasformata di Laplace - proprietà - Linearità - Trasformata dell integrale - Trasformata della derivata Derivata di ordine k

15 Trasformata di Laplace - proprietà - Traslazione in frequenza - Traslazione nel tempo - Cambiamento di scala nei tempi - oltiplicazione per t n - Integrale di convoluzione

16 Trasformata di Laplace Trasformate Notevoli Esempio: gradino unitario

17 Risposta in frequenza La risposta in frequenza F() di un elemento o sistema lineare e tempoinvariante ne indica inequivocabilmente la risposta caratteristica. Questa può essere derivata matematicamente dalla funzione di trasferimento G(s) oppure può essere determinata empiricamente tramite la misura della risposta in frequenza. La risposta in frequenza di un sistema viene determinata valutando l effetto di un oscillazione armonica con frequenza variabile da 0 a. Per un ingresso costituito da un oscillazione armonica, nella rappresentazione complessa vale: y u t ( t) uˆ e uˆ ( cost sint) ( t ϕ ( )) ( t) yˆ e yˆ ( cos( t ϕ( )) sin( t ϕ( ))) n d y dy du a n... a a y b u b n b m m d u m

18 Risposta in frequenza ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m t n n t b b b e u a a a e e y ϕ... ˆ... ˆ 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n m m a a a b b b e u y ϕ ˆ ˆ 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ϕ n n m m e u v a a a b b b u v F ˆ ˆ Il modulo della risposta in frequenza, per ogni valore della pulsazione, rappresenta il rapporto tra l ampiezza dell uscita e quella dell ingresso. La risposta di fase, attraverso l angolo di fase ϕ, fornisce a sua volta il ritardo dell uscita rispetto all ingresso.

19 F Risposta in frequenza ϕ ( ) ( ) F( ) e Re( ) Im( ) F yˆ u ˆ ( ) Re ( ) Im ( ) ϕ ( ) F( ) arg arctan Im Re ( ) ( ) Il modulo della risposta in frequenza, per ogni valore della pulsazione, rappresenta il rapporto tra l ampiezza dell uscita e quella dell ingresso. La risposta di fase, attraverso l angolo di fase ϕ, fornisce a sua volta il ritardo dell uscita rispetto all ingresso.

20 Risposta in frequenza Così come l equazione differenziale di un elemento di trasferimento lineare può essere trasformata nell equazione della risposta in frequenza F() mediante l operatore s, quest ultima può essere convertita nella funzione di trasferimento G(s). Questa trasformazione ha luogo secondo le regole della trasformata di Laplace. La funzione di trasferimento di un elemento di trasferimento è in generale: G () s y u ( s) () s ( m b ) 0 b s... bm s ( n a a s... a s ) 0 n

21 Diagramma di Bode ediante la rappresentazione del modulo della risposta in frequenza, che rappresenta il rapporto tra l ampiezza della grandezza in uscita e l ampiezza di quella in ingresso, e la rappresentazione dell angolo di fase ϕ() si ottiene una chiara immagine della risposta caratteristica degli elementi di trasferimento lineari. Questi diagrammi sono la risposta in ampiezza e la risposta di fase dell elemento di trasferimento ed insieme formano il diagramma di Bode. Risposta in ampiezza Sulle ascisse abbiamo la frequenza mentre sulle ordinate viene riportato il rapporto di ampiezza, entrambe le grandezze in scala logaritmica. Il valore del rapporto di ampiezza può essere rappresentato in forma numerica o in Decibel (db). F ( ) db Risposta di fase F ( ) db 0 log F( ) F( ) 0 Sulle ascisse abbiamo, in scala logaritmica, la frequenza mentre sulle ordinate viene riportato, su scala lineare, la relazione di fase ϕ() tra il segnale in uscita e quello in ingresso. 0

22 Altre rappresentazioni grafiche Diagrammi di Nichols Singolo grafico dove sulle ascisse abbiamo, in scala logaritmica, il modulo [db] mentre sulle ordinate viene riportato, su scala lineare, la relazione di fase ϕ() [gradi] tra il segnale in uscita e quello in ingresso. Diagrammi di Nyquist Rappresentazione dei dati riportati nel diagramma di Bode mediante grafico polare delle coppie di valori di modulo e fase della risposta armonica in una curva graduata in pulsazione (o frequenza). Sulle ascisse abbiamo la parte reale Re() mentre sulle ordinate viene riportata la parte immaginaria Im().

23 Diagrammi di Nyquist Diagramma polare

24 Elementi di trasferimento Per risolvere problemi complessi di comando o regolazione è possibile trasformare il sistema da studiare in un sistema equivalente che contiene elementi di trasferimento base. E possibile successivamente effettuare una schematizzazione a blocchi che tenga conto delle funzioni del sistema e di qui particolarizzare le singole connessioni nodali tra gli elementi. Elemento Proporzionale P Elemento Proporzionale con ritardo del ordine P-T Elemento Proporzionale con ritardo del ordine P-T Elemento Integrale I Elemento Derivativo D Elemento Proporzionale Integrale PI

25 Elementi di trasferimento

26 Elementi di trasferimento Blocco in serie u y u y S S y Blocco in parallelo u S S y y u ± S y Blocco in retroazione y S

27 Elementi di trasferimento Elemento Proporzionale P Equazione di sistema y p u Equazione risolutiva y p u s

28 Elementi di trasferimento Elemento Proporzionale P con ritardo del ordine P-T Equazione di sistema Equazione risolutiva dy T p y u y u s e T t F C dx x x F s e C T t Esempio: massa (nulla) con molla e smorzatore sottoposta a forzante (grandezza in ingresso).

29 Elementi di trasferimento Elemento Proporzionale P con ritardo del ordine P-T Equazione di sistema d y T dy y u F d x m C dx x Periodo caratteristico T Coefficiente proporzionale m p C Grado di smorzamento D C m Esempio: massa con molla e smorzatore sottoposta a forzante (grandezza in ingresso).

30 Elementi di trasferimento Elemento Integrale I Equazione di sistema y t I u 0 Equazione risolutiva s h n t 0 n ds con coefficiente integrale I Esempio: conversione della velocità n h h di una vite a ricircolo di sfere di passo h in un percorso della tavola.

31 Elementi di trasferimento Elemento Derivativo D Equazione di sistema y D du Equazione risolutiva y D du s

32 Elementi di trasferimento Elemento Proporzionale Integrale PI Equazione di sistema y t P u I u 0 Esempio: regolatore di velocità in un azionamento di avanzamento.

33 Equazioni di governo di un motore a CC Figura : Circuito equivalente semplificato di un motore CC a magnete permanente Figura : Circuito equivalente di un motore CC a magnete permanente E V I R source b U di Vsource I R L b

34 Equazioni di governo di un motore a CC Forza contro elettromotrice back EF b Coppia motrice C m T I Coppia di accelerazione C C m B C L C B J TOT d

35 Rappresentazione nel dominio del tempo Schema semplificato

36 Rappresentazione nel dominio del tempo Schema con induttanza U - U-E - di L I L i C C L C B - E R i P T I J TOT P R P b

37 Equazioni di governo di un motore a CC Equazione delle tensioni U di Vsource I R L b Forza contro elettromotrice back EF b Coppia motrice C T I C C L C B Coppia di accelerazione C B J TOT d posto b T uguaglianza numericamente valida se le unità di misura delle grandezze sono espresse nel S.I.

38 Equazioni di governo di un motore a CC U I R L di R C L J TOT d L dc L L J TOT d Si procede con la normalizzazione delle grandezze presenti nelle equazioni, utilizzando le seguenti grandezze di riferimento: max velocità angolare massima per funzionamento a vuoto U max massima tensione di armatura a vuoto C st coppia di carico in condizioni di massima tensione di armatura e albero bloccato C st I max U R max R max oltiplicando tutti i termini dell equazione precedente per la quantità R U max

39 Equazioni di governo di un motore a CC introducendo le costanti di tempo elettrica e meccanica dell azionamento L J TOT max J TOT T el Tmech R C st R T el T mech d max T mech d max max U U max C C L st T el d C C L st Elemento proporzionale P-T con ritardo del ordine

40 Equazioni di governo di un motore a CC Elemento proporzionale P-T con ritardo del ordine con parametri caratterizzanti T * T el T mech D * T mech T el T * d max D * T * d max max U U max C C L st T el d C C L st Le costanti di tempo elettrica e meccanica individuano il comportamento oscillatorio dell azionamento mentre il grado di smorzamento determina l ampiezza delle sovraelongazioni ed il tempo di assestamento.

41 Equazioni di governo di un motore a CC

42 Equazioni di governo di un motore a CC

43 Equazioni di governo di un motore a CC

44 Elemento Proporzionale P con ritardo del ordine P-T Equazione di sistema u y dy DT y d T u y ( ) ( ) 0 0 D F T 0 ( ) 0 0 D F ( ) 0 0 arctan ϕ D angolo di fase risposta in ampiezza risposta in frequenza

45 Elemento Proporzionale P con ritardo del ordine P-T 0 risposta in ampiezza D D0. D