Differenziazione sistemi dinamici

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1 Il controllo di sistemi ad avanzamento temporale si basa sulle tecniche di controllo in retroazione, ovvero, elabora le informazione sullo stato del processo (provenienti dai sensori) in modo sa inviare agli attuatori le informazioni sulle azioni da compiere per imporre ad alcune variabili un andamento desiderato specificato, su un intervallo temporale finito o infinito, con una determinata precisione La teoria classica del controllo, basandosi su una conoscenza del modello del processo sotto forma di equazioni differenziali o alle differenza, propone varie metodologie per effettuare la sintesi del controllore Differenziazione sistemi dinamici Sistemi ibridi Sistemi ad Avanzamento Temporale (SAT) Sistemi ad Eventi Discreti (SED) SAT a tempo continuo SAT a tempo discreto SED logici SED temporizzati 1

2 Modello di sistema automatizzato DISTURBI ANDAMENTO DESIDERATO SISTEMA DI CONTROLLO ATTUATORI PROCESSO FISICO SENSORI Esempi Processo fisico Sensori Attuatori Sist. termici Temperatura: termocoppie termoresistenze Generatori di calore Sist. a fluido Sist. meccanici Sist. elettrici Pressione: manometri a colonna, estensimentri Portata: dischi forati, sensori elettromagnetici Livello: principio idrostatico, capacitivo Sensori di posizione/velocità: encoder Sensori di accelerazione: accelerometri Misure di corrente Misure di tensione Circuiti idraulici Valv. di regolazione Pompe Motori elettrici Attuatori oleodinamici Generatori di corrente/tensione 2

3 Richiami ai problemi di controllo Obiettivo del controllo è quello di portare un sistema a comportarsi in modo desiderato sulla base delle misure del suo stato attuale ed agendo in modo opportuno. L oggetto del controllo è un sistema, detto impianto o processo, del quale si vuole prefissare il comportamento in relazione ad un opportuno insieme di dati di specifica. Richiami ai problemi di controllo Ai fini del controllo di un impianto conviene distinguere le grandezze di ingresso in due classi: ingressi manipolabili sono le grandezze mediante le quali è più agevole influire sull uscita; ingressi non manipolabili sono le grandezze che influenzano l andamento dell uscita, ma non possono essere variate ad arbitrio. Gli ingressi manipolabili sono quelli utilizzabili per il controllo, gli ingressi non manipolabili giocano tipicamente il ruolo di grandezze di disturbo del comportamento del sistema. L obiettivo viene espresso da un insieme di valori di riferimento di certe variabili (variabili da controllare) mentre le azioni si effettuano conferendo certi valori ad altre variabili (variabili di controllo) 3

4 Modelli matematici Il sistema viene descritto con l ausilio di un modello matematico desunto da leggi fisiche che ne esprimono il comportamento (e.g. equazioni differenziali). es. Sistema tempo continuo lineare e stazionario Altrimenti, un modello in forma discreta (e.g. equazioni alle differenze) può essere ottenuto tramite identificazione parametrica a partire da dati misurati es. Sistema tempo discreto lineare e stazionario Modelli matematici Tempo Continuo Modello Implicito Ingresso-Stato-Uscita per un sistema SISO continuo e lineare Modello Implicito Ingresso-Uscita per un sistema SISO continuo e lineare 4

5 Trasformata di Laplace Trasformata di Laplace: permette di passare dal dominio del tempo al dominio della variabile complessa s Tempo Laplace Anti-trasformata di Laplace Laplace Tempo Esempio: trasformata di Laplace della funzione esponenziale Trasformata di Laplace - Proprietà Derivazione in t Integrale in t Il vantaggio più significativo della trasformata di Laplace è che l'integrale e la derivata diventano una moltiplicazione e una divisione rispettivamente Teorema del valor finale 5

6 Trasformata di Laplace-Sistema II ordine Sistema del 2 ordine nel dominio del tempo Sistema del 2 ordine nel dominio di Laplace Evoluzione libera Evoluzione forzata Esempio Sistema massa - molla - smorzamento σ k m f x 6

7 Risposta del sistema- Evoluzione libera Risposta del sistema Evoluzione libera Poli radici del polinomio caratteristico Modi di evoluzione Modi di evoluzione con k = 0: modi aperiodici α >0 Il sistema risulta asintoticamente stabile se tutti i poli hanno parte reale negativa α<0 modi pseudoperiodici α =0 α <0 α >0 α =0 α <0 7

8 Modi di evoluzione Costante di tempo associata al modo Il modo di evoluzione si estingue in un tempo pari a 4-5 volte la sua costante di tempo Risposta del sistema- Evoluzione forzata Risposta del sistema Evoluzione forzata: Risposta ad ingressi standard: Risposta impulsiva Risposta indiciale Risposta ad ingressi polinomiali Risposta ad ingressi sinusoidali (Bode, Nichols, Nyquist) 8

9 Risposta indiciale Risposta indiciale W(s) Risposta indiciale Risposta indiciale 9

10 Caratteristiche della risposta Regime (steady-state): situazione corrispondente all equilibrio del sistema Transitorio: situazione temporanea di passaggio da uno stato di equilibrio all altro Tempo morto: tempo necessario per osservare uno scostamento significativo della variabile da controllare dalla banda di rumore in seguito ad una variazione della variabile di controllo Tempo di salita: tempo necessario perché la variabile da controllare si sposti dal 10% al 90% del valore di regime Tempo di assestamento: tempo necessario perché la variabile da controllare rimanga prossima al set-point Sovraelongazione: scostamento della variabile da controllare dal setpoint Risposta armonica Un generico segnale periodico u(t) di periodo T può essere decomposto in serie di Fourier: in cui è la pulsazione fondamentale Da ciò si evidenzia l importanza di studiare la risposta del sistema ad ingressi sinusoidali con diverse pulsazioni 10

11 Risposta ad ingressi sinuisodali Se il sistema ha tutti modi convergenti a regime permanente l uscita del sistema sarà una sinusoide con la stessa pulsazione della sinusoide di ingresso ma (generalmente) con diversa ampiezza e fase Tale condizione si definisce di regime sinuisodale W(s) Funzione di risposta armonica valido qualunque sia ω Nel caso di sistemi lineari e stazionari con modi di evoluzione convergenti a zero, la funzione W(j ω) caratterizza completamente il legame ingresso-uscita in condizioni di regime sinuisodale e viene definita funzione di risposta armonica 11

12 Diagramma di Bode I diagrammi di Bode sono una coppia di grafici che rappresentano l andamento di modulo e fase in funzione della pulsazione (o frequenze) della funzione di risposta armonica I moduli sono riportati in decibel Le pulsazioni sono in scala logaritmica Diagramma di Bode La banda passante ω b rappresenta l intervallo delle pulsazioni all interno del quale il contenuto spettrale di un segnale si trasmette indistorto all uscita Il modulo di risonanza M r è il valore del picco di risonanza normalizzato rispetto al guadagno statico ω b M r 12

13 Legami globali Banda passante ω b Prontezza del sistema Modulo di risonanza M r Sovraelongazione risposta indiciale ω b M r Obiettivi del sistema di controllo Il controllore deve determinare (istante per istante) il valore da attribuire alle variabili di controllo (u) in modo che l andamento della variabile da controllare (y) sia, malgrado l influenza di disturbi imprevedibili (d), il più possibile simile a quello desiderato (y d ) Un modo di classificare i sistemi di controllo riguarda l andamento dell uscita desiderata y d. Rispetto ad esso si distinguono: sistemi di regolazione: caratterizzati dall avere un uscita desiderata costante sistemi di asservimento: caratterizzati dall avere un uscita desiderata che varia nel tempo 13

14 Obiettivi del sistema di controllo L obiettivo del controllo potrebbe essere conseguito con una semplice azione di compensazione statica in avanti, ma la presenza di una retroazione (feedback) diviene indispensabile per contrastare gli effetti degli ingressi non manipolabili, delle variazioni parametriche sull impianto e delle incertezze di modellazione disturbi Andamento desiderato legge di controllo organi di comando sistema da controllare misura Effetti della retroazione Gli effetti della retroazione riguardano: la sensibilità del sistema di controllo alle variazioni parametriche dei suoi organi componenti la sensibilità dell uscita ai disturbi la larghezza di banda del sistema la capacità di linearizzare un legame ingresso uscita la capacità di condizionare le caratteristiche prestazionali del sistema 14

15 Funzioni di trasferimento Funzioni di trasferimento ingresso/uscita e disturbo/uscita: C(s)P(s) G 1 (s)= G 1+C(s)P(s)H(s) 2 (s)= P(s) 1+C(s)P(s)H(s) d y d - e C(s) u P(s) y H(s) Funzione di trasferimento ad anello aperto F(s)=C(s)P(s)H(s) Prestazioni e specifiche di controllo Lo scopo del sistema di controllo è quello di portare a zero l errore a regime e di ottenere ciò nel minor tempo possibile, limitando gli scostamenti della variabile controllata dal valore di riferimento e cercando di contenere le oscillazioni (che si ripercuotono sugli organi di comando) Il sistema di controllo deve garantire una buona reiezione ai disturbi La robustezza di una legge di controllo è una misura della capacità di far fronte alle diverse condizioni di lavoro garantendo le prestazioni desiderate 15

16 Prestazioni e specifiche di regolazione Prestazioni e specifiche chieste al sistema di controllo: Stabilità: il regolatore deve smorzare le oscillazioni del processo e costituire, insieme con esso, un sistema stabile ad anello chiuso Errore nullo a regime: variabile di processo uguale al setpoint Rapidità di risposta a variazioni di setpoint e disturbi: il regolatore deve abbreviare i tempi di raggiungimento di equilibrio e mantenerlo nonostante l azione di disturbo Limitate sovraelongazioni Robustezza alle nonlinearità Robustezza alle variazioni parametriche Robustezza al rumore Moderazione nelle variabili di controllo Precisione a regime Ingressi canonici e tipo di sistema Tipo di sistema gradino e r = cost e r =0 e r = 0 rampa lineare rampa parabolica e r = e r = cost e r = 0 e r = e r = e r = cost La precisione a regime è determinata dal numero di poli nell origine e dalla costante di guadagno della funzione di trasferimento di andata 16

17 Errore regime: ingresso a gradino k c,k p guadagni statici di controllore e processo y d e C(s) P(s) y - Precisione a regime Ingressi canonici e tipo di sistema Tipo di sistema gradino e r =0 e r = 0 rampa lineare rampa parabolica e r = e r = 0 e r = e r = La precisione a regime è determinata dal numero di poli nell origine e dalla costante di guadagno della funzione di trasferimento di andata 17

18 Errore regime retroazione algebrica R(s)= ; R(s) r - e C(s) P(s) y H 0 Errore regime retroazione algebrica Per ingresso a gradino R e ; Per sistemi di tipo 0 (no poli origine tra C e P), a regime: lim lim! ; lim lim! " # " $ " # " $ r - e C(s) P(s) y H 0 18

19 Errore regime retroazione algebrica Per ingresso a gradino R e ; Per sistemi di tipo 0 (no poli origine tra C e P), a regime: lim lim! ; lim lim! " # " $ " # " $ Per sistemi di tipo 1 (un polo origine tra C e P), a regime: lim lim! % #%$ & = 0 Errore regime retroazione algebrica Per ingresso a gradino R ' ' e ' ; Per sistemi di tipo 1 (un polo origine tra C e P), a regime: lim lim '; lim lim!! ' % (%$ & " ( " $ = % (%$ ' & " ( " $ 19

20 Parametri caratteristici della risposta Tempo morto: tempo necessario per osservare uno scostamento significativo della variabile da controllare dalla banda di rumore in seguito ad una variazione della variabile di controllo Tempo di salita: tempo necessario perché la variabile da controllare si sposti dal 10% al 90% del valore di regime Tempo di assestamento: tempo necessario perché la variabile da controllare rimanga prossima al set-point Sovraelongazione: scostamento della variabile da controllare dal setpoint Risposta a gradino unitario Risposta a gradino unitario 20

21 Criteri di stabilità per sistemi in retroazione Una delle principali proprietà richieste ad un sistema di controllo è la stabilità asintotica; essa infatti è premessa necessaria per il conseguimento di una condizione di funzionamento in regime permanente nella quale valutare la precisione mostrata nell inseguire il riferimento imposto e/o la capacità di reiezione di disturbi permanenti la stabilità del sistema ad anello chiuso dipende dall analisi della funzione razionale fratta 1+F(s) (dove F(s) è la funzione trasferimento ad anello aperto) G 1 (s) = C(s)P(s) = C(s)P(s) 1+C(s)P(s)H(s) 1+F(s) In particolare le soluzioni di 1+F(s)=0 devono essere tutte con parte reale negativa per garantire la stabilità asintotica del sistema in retroazione Criteri di stabilità per sistemi in retroazione Il criterio di Routh consente di analizzare le proprietà di stabilità di un sistema dinamico lineare e stazionario mediante la costruzione di una tabella che fornisce indicazione sul numero di radici a parte reale negativa, nulla, e positiva del polinomio caratteristico senza richiedere la soluzione dell equazione caratteristica. Il criterio di Nyquist è basato sull analisi dell andamento del diagramma di Nyquist della funzione di trasferimento ad anello aperto, F(s), valutata per s=jω. Un sistema in retroazione è asintoticamente stabile se e solo se il vettore rappresentativo del numero complesso 1+F(jω)al variare di ω da - a + compie intorno al proprio punto di applicazione un numero di giri, valutati positivamente in verso antiorario, pari al numero di poli a parte reale positiva della funzione di trasferimento ad anello aperto 21

22 Margini di fase e guadagno Il margine di fase cambiato di segno è il valore della diminuzione di fase che forza il sistema ad anello chiuso ad avere poli immaginari coniugati (limite di stabilità). Il margine di guadagno è l inverso del modulo di F(jω) quando il suo diagramma polare attraversa l asse delle ascisse. Sintesi del controllore C(s) = K (1+α s) s r (1+β s) Guadagno statico (rapidità sistema e precisione a regime e r 0 ) Numero poli nell origine (precisione a regime e r =0) Rete correttrice (stabilità e specifiche del transitorio) d y d - e C(s) u P(s) y H(s) 22

23 Metodi di sintesi del controllore Metodi per tentativi Risposta in frequenza (basati su relazione F(jω) -- W(jω) es. Carte di Nichols ) Luogo delle radici (basati su relazione F(s)--W (s)) Metodi empirici (es. regolatori standard) Metodi diretti cancellazione ed allocazione poli Sintesi del controllore C(s) = K (1+α s) s r (1+β s) Numero poli nell origine in base al tipo di sistema desiderato Guadagno statico in base all errore a regime Rete correttrice in base a specifiche relative al transitorio (spesso espresse tramite legami globali in termini di pulsazione di attraversamento e margini di fase) d y d - e C(s) u P(s) y H(s) 23

24 Formule per reti correttrici Rete anticipatrice Rete ritardatrice 24