Revisione dei concetti fondamentali
|
|
- Ada Viola
- 8 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Revisione dei concetti fondamentali dell analisi in frequenza Argomenti: trasformazione in frequenza: significato e funzionamento; schemi di rappresentazione; trasformata discreta. 1 Rappresentazione dei segnali Opportune trasformazioni consentono di risolvere più agevolmente un problema grazie a procedimenti che risultano semplificati nel dominio trasformato: es. il prodotto (divisione) tra due numeri si trasforma in una somma (sottrazione) dei corrispondenti logaritmi Una opportuna trasformazione delle informazioni disponibili consente di mettere in evidenza aspetti difficili da cogliere nel dominio originale in relazione a problemi specifici Nel caso di una grandezza definita nel tempo possiamo avere interesse a rappresentarla in diversi domini: nel tempo o storia temporale: x(t) [es: per monitoraggio] in frequenza o spettro in frequenza: X(ω) [ es. per conoscere il contenuto energetico] in ampiezza o distribuzione di probabilità: P(A(x)) [ es. per determinare la rugosità delle superfici o i carichi di fatica] Interesse per il passaggio tra i domini tempo e frequenza 2 1
2 Rappresentazione dei segnali La funzione f() t = acos( ω0t+ ϕ) ammette una rappresentazione sintetica basata su tre elementi: ampiezza a, pulsazione ω 0 e fase ϕ Naturale pensare ad una rappresentazione equivalente in un dominio trasformato, nel quale il tempo lascia il posto alla frequenza: l informazione è in una forma che: non dipende dall evoluzione temporale del segnale; esprime esclusivamente caratteristiche intrinseche del segnale. Le informazioni a disposizione rimangono le stesse. Generalizzando l approccio, funzioni (segnali) elementari composte da contributi tonali (sinusoidali discreti) possono intuitivamente essere analizzati nel dominio delle frequenze. 3 Rappresentazione dei segnali La scelta del dominio dipende dalle analisi che si vogliono condurre sui dati acquisiti: fenomeni di difficile interpretazione in un dominio possono risultare chiari in uno differente. Es. sovrapposizione di più sinusoidi idia formare un unica risposta. TRASFORMATA Operazione matematica che opera il cambio di dominio senza perdita di informazioni. Una trasformata è detta biunivoca se permette il passaggio da un dominio A ad un dominio B ed esiste un altra trasformata, detta inversa, che permette quello dal dominio B al dominio A. 4 2
3 Serie di Fourier Un segnale è periodico se esiste un intervallo temporale T, il periodo del segnale, trascorso il quale la grandezza in esame si ripete uguale a sé stessa, cioè se soddisfa la relazione: f(t)=f(t+kt) con k=1,2, Un segnale di questa natura ammette una rappresentazione attraverso il noto sviluppo in Serie di Fourier: Forma reale Forma Complessa + f () t = a0 + ancos( nω0t) + bnsin( nω 0t) n= 1 1 π an = f()cos( t nω 0t) dt 1 π 2π π a = 0 f() t dt 2π π 1 π bn = f()sin( t nω 0t) dt 2π π + jnω0t f() t = cne n= 0 1 π jnω0t cn = f () t e dt 2π π Abbiamo quindi uno strumento analitico per la gestione del problema: determinazione di ampiezza fase di tutte le armoniche che compongono il segnale (trasformazione); 5 ricostruzione della funzione (antitrasformazione). Serie di Fourier Caratteristiche: è una trasformata dal dominio del tempo al dominio della frequenza; si applica a funzioni continue (segnali analogici); si applica a segnali periodici nel tempo (quindi esclude quasi tutti i segnali reali); genera uno spettro di frequenze discreto; non ha applicazioni pratiche negli elaboratori a causa della forma integrale dei coefficienti. Necessari due sviluppi per avere: applicabilità ad una classe più ampia di segnali; utilizzabilità nell ambito di modelli discreti. 6 3
4 J.B. Fourier e l analisi in frequenza Dobbiamo al matematico francese Jean Baptiste Fourier ( ) la tecnica di scomposizione di un segnale nelle sue componenti armoniche grazie alla serie omonima e alla sua generalizzazione al continuo: l integrale di Fourier Attenzione all integrale come approccio più generale. 7 Integrale di Fourier L integrale di Fourier definisce la trasformazione più generale tra tempo e frequenza (Fourier la vedeva come trasformazione pura). + Trasformata diretta: j2π ft H( f) = h( t) e dt Frequenza + jωt H( ω) = Pl h( t) e dt Pulsazione Il contenuto di informazioni passa inalterato attraverso questa trasformazione che pertanto è reversibile. + Trasformata inversa: j2π ft ht () = H( f) e df 1 + jωt ht () = H ( ω ) e d ω 2π Frequenza Pulsazione Le funzioni coinvolte sono continue, complesse e infinite nel tempo ed in frequenza (- <t< +, - < f< + ). Nonostante la definizione (- < f< + ), la rappresentazione tipica in frequenza è solo per valori positivi: (0 f < + ). 8 4
5 Integrale di Fourier Caratteristiche dell integrale di Fourier: si applica a funzioni continue nel dominio del tempo; genera funzioni continue nel dominio delle frequenze; se f(t) è reale (come nelle nostre applicazioni) vale la simmetria hermitiana: F(ω)=F*(-ω) (parte reale simmetrica e parte immaginaria antisimmetrica) si applica sia a funzioni periodiche che non periodiche; come la serie non può essere applicato direttamente alle logiche di un elaboratore. 9 La rappresentazione della trasformata di Fourier 10 5
6 La rappresentazione Per le funzioni reali la rappresentazione è univoca. Integrale e serie di Fourier, cioè il contenuto in frequenza, sono funzioni complesse, in senso matematico, della frequenza. Sono richieste adeguate modalità di visualizzazione per renderne apprezzabile il contenuto informativo. 11 La rappresentazione Parte reale/immaginaria vs frequenza 12 6
7 Rappresentazione di Nyquist Utilizzando lo schema dei fasori ogni armonica (frequenza, ampiezza e fase) può essere rappresentata da un punto nel piano Re-Im. Il diagramma con parte immaginaria vs parte reale prende il nome di diagramma di Nyquist. 13 Rappresentazione Spettrale Utilizzando lo schema dei fasori ogni armonica (frequenza, ampiezza e fase) può essere rappresentata su due diagrammi cartesiani con la frequenza in ascissa: ampiezza e fase. Sono detti diagrammi di Bode: G(f ) = Re(G(f )) 2 + Im(G(f )) 2 θ (f ) = tan 1 ( Im(G(f )) / Re(G(f ))) 14 7
8 Rappresentazione spettrale La rappresentazione spettrale può essere normalizzata, ad un valore di riferimento, e quindi avere valore unitario per una frequenza Tale rappresentazione viene usata anche per mostrare le funzioni di trasferimento di un sistema (FRF) L interpretazione del diagramma, in particolare riguardo alla lettura della scala delle ordinate, deve tenere conto del significato intrinseco di Spettro, cioè ampiezza del segnale, e FRF, cioè ampiezza del rapporto fra segnale d uscita e d ingresso 15 Rappresentazione spettrale Utilità della rappresentazione con scala logaritmica nel dominio della frequenza rispetto alla raffigurazione nel tempo, es. sistema rotante. Appena apprezzabile nella storia temporale la presenza delle armoniche superiori Evidenti le armoniche superiori e il loro rapporto con la frequenza fondamentale 16 8
9 Rappresentazione numerica Utilizzo del Bel (da Alexander Bell suo ideatore) definito come logaritmo del rapporto tra il valore in esame ed uno di riferimento specifico. Più comunemente utilizzato il decimo di Bel: decibel (db). db di Potenza: 10 log W/Wref db di Segnale: 20 log V/Vref Effetto sulla rappresentazione db Rapporto db Rapporto di Potenza di Segnale /2-6 1/2-10 1/ / / /100 Attenzione: i db non sono operatori lineari, quindi non si sommano! La somma di due rumori da 90 db porta a 93 db in quanto devo prima calcolare le due ampiezze lineari, sommarle e poi ricalcolare i db della somma ottenuta! 17 Esempi notevoli di trasformate di Fourier 18 9
10 Esempi di trasformata Funzione co-sinusoidale di frequenza f e di ampiezza A. ht () = cos(2 π ft) 0 H( f) = δ ( f f ) + δ ( f + f ) 0 0 La trasformata è costituita da due picchi di ampiezza A/2 posizionati alla frequenze ± f Esempi di trasformata Funzione scatola (Box Function): nulla all esterno dell intervallo T 0 T 0, di valore G all interno e G/2 in T 0 e T 0. sin(2 πtf ) H ( f ) = 2 GT 0 0 2π Tf 0 θ( f) = 2πT f 2GT G 0 0 La trasformata è una sinusoide smorzata (continua, infinita ad ampiezza decrescente); i punti di zero sono equispaziati, k /(2 T0 ),il primo è ad una frequenza pari all inverso della dimensione temporale della scatola. Interessante perché può essere interpretata come una finestra di misura che limita l osservazione del tempo ad un intervallo finito. 10
11 Esempi di trasformata Funzione impulso, nulla su tutto il dominio e di valore A in un punto, es. t 0 =0. ht () = Aδ ( t t0) H( f) = A A A La trasformata è una funzione continua, infinita e costante. Il contenuto armonico è uniformemente distribuito su tutto lo spettro delle frequenze, ogni frequenza partecipa con la stessa ampiezza Una forzante impulsiva (ideale) eccita l intero spettro delle frequenze. 21 Esempi di trasformata Funzione costante nel dominio temporale. ht () = A H ( f ) = A δ ( f f 0 ) A A La trasformata è una funzione «impulso» collocata a frequenza nulla. Il contenuto armonico è nullo su tutto lo spettro: la sola componente presente corrisponde ad un termine costante L ampiezza di tale termine è pari al valore medio della funzione
12 Esempi di trasformata Serie di impulsi equispaziati di un intervallo temporale T e di ampiezza unitaria. La trasformata è una funzione discreta di delta equispaziate di un intervallo di frequenza e ampiezza 1/T. 23 Linearità della trasformata Costante Sinusoide Costante+sinusoide 24 12
13 Derivata di una funzione Uno degli elementi che determina l importanza dell integrale di Fourier è costituito dalla possibilità di manipolare analiticamente i modelli. Si può infatti dimostrare che esiste una relazione tra la trasformata di una variabile e della sua derivata: Integriamo per parti: Il primo termine è nullo per le condizioni di esistenza di X(ω), quindi: 25 Derivata di una funzione Le conseguenze nell analisi dei sistemi dinamici lineari sono ben note, il sistema dinamico: 2 in frequenza diventa ( ω m+ k) X( f) = P( f) Equazione facilmente risolvibile: non occorre integrare le equazioni di differenziali di equilibrio dinamico ma semplicemente risolvere una serie di sistemi lineari a coefficienti complessi per l ampiezza del carico ad ogni frequenza di interesse. Inoltre il sistema dinamico lineare può essere riscritto con una relazione ingresso-uscita lineare in frequenza: X( f) = H( f) P( f) Avendo introdotto la funzione di trasferimento del sistema H(f), funzione complessa della frequenza oltre che delle caratteristiche del sistema: 1 H( f) = 2 ( ω m + k) 26 13
14 Derivata di una funzione La funzione di trasferimento non è che la risposta ad un ingresso unitario in frequenza Se: P ( f ) = 1 allora: H ( f ) = X ( f, P ( f ) = 1) Poiché abbiamo visto che P(f) unitario significa una forzante impulsiva nel dominio del tempo, allora la funzione di trasferimento di un sistema lineare coincide con la risposta impulsiva i del sistema stesso. 27 Esempi reali 28 14
15 Spettro di un segnale accelerometrico Segnale con «tono principale» o «armonica base» e «armoniche superiori» a frequenza multipla 29 Spettro del rumore generato da un ventilatore Rumore «tonale» prodotto dal passaggio delle pale (diminuisce con la frequenza) Rumore di «fondo» prodotto dalla turbolenza (broadband) Segnale con «tono principale» e «armoniche superiori» a frequenza multipla 30 15
16 Confronto tra misure in un elicottero in volo e in un mock-up a terra Accelerazione Elicottero Mock-up Pressione acustica 31 Il funzionamento 32 16
17 Il funzionamento Elaborazione algebrica in notazione esponenziale: i fasori. h( t) = Acos(2πft) θ = 2πft ht () = Acosθ = A A iθ iθ ( cosθ + isinθ + cosθ isinθ) = ( e + e ) = v1+ v2 2 2 Una sinusoide id può essere interpretata t t come la somma di due vettori controrotanti nel piano complesso. Quindi l integrando della trasformata di Fourier, per il caso della sinusoide, può essere scritto come: i2 π ft A iθ iθ iθ A i( θ θ ) i( θ+ θ ) hte () = ( e + e ) e = ( e + e ) Il funzionamento Calcolando la trasformata per la frequenza + f i2π ft l esponenziale corrisponde ad una rotazione H ( f ) = h( t) e dt all indietro delle componenti armoniche di h(t) pari all angolo spazzato, a partire dal tempo zero, da un segnale armonico di frequenza f θ = 2 π ft Il generico segnale h(t) può o meno presentare un contenuto armonico alla frequenza f per la quale si sta calcolando la trasformata Caso f = f : l angolo spazzato dai vettori controtanti coincide sempre con la rotazione all indietro definita dall esponenziale per ogni istante di tempo il segnale viene quindi riportato alla propria fase iniziale l integrale porta all ampiezza del segnale a f 34 17
18 Il funzionamento + f i2π ft Calcolando la trasformata per la frequenza l esponenziale corrisponde ad una rotazione H ( f ) = h( t) e dt all indietro delle componenti armoniche di h(t) pari all angolo spazzato, a partire dal tempo zero, da un segnale armonico di frequenza f θ = 2 π ft Il generico segnale h(t) può o meno presentare un contenuto armonico alla frequenza per la quale si f sta calcolando la trasformata Caso f f : l angolo spazzato dai vettori controtanti non è mai uguale alla rotazione all indietro dell esponenzialeesponenziale la rotazione riporta i vettori controrotanti allo zero del tempo con una fase non coerente con quella iniziale Il contenuto armonico, dato dall integrale, è quindi nullo. 35 Da ricordare Significato fisico dell operazione trasformata. Capacità di gestire la serie di Fourier come forma digitale della trasformata. Tecniche di rappresentazione. Elementi utili per l utilizzo dei moduli Matlab per l analisi di Fourier Con gli approfondimenti: Estensione del concetto di media al dominio delle frequenza. Elementi per la gestione di contenuti armonici variabili nel tempo
19 Da ricordare La trasformata di Fourier è un potente mezzo di analisi che permette di: risolvere un problema analiticamente più semplice di quello originale, in particolare consentendoci di costruire modelli completamente generali delle operazioni svolte per elaborare i segnali temporali; di evidenziare delle caratteristiche del segnale che non sarebbero palesi limitando lo studio al dominio del tempo: capacità di determinare la distribuzione dell energia lungo lo spettro; possibilità di individuare i segnali di piccola ampiezza anche a frequenze elevate ed in presenza di armoniche più ampie. 37 Domande? 38 19
Revisione dei concetti fondamentali dell analisi in frequenza
Revisione dei concetti fondamentali dell analisi in frequenza rgomenti: trasformazione in frequenza: significato e funzionamento; schemi di rappresentazione; trasformata discreta. 1 Rappresentazione dei
DettagliRevisione dei concetti fondamentali dell analisi in frequenza
Revisione dei concetti fondamentali dell analisi in frequenza Argomenti: trasformazione in frequenza: significato e funzionamento; schemi di rappresentazione; trasformata discreta. 1 Rappresentazione dei
DettagliControlli Automatici T. Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento. Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010. Prof. L.
Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010 Parte 3, 1 Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento Prof. Lorenzo Marconi DEIS-Università di Bologna Tel. 051 2093788 Email: lmarconi@deis.unibo.it URL:
DettagliIl Campionameto dei segnali e la loro rappresentazione. 1 e prende il nome frequenza di
Il Campionameto dei segnali e la loro rappresentazione Il campionamento consente, partendo da un segnale a tempo continuo ovvero che fluisce con continuità nel tempo, di ottenere un segnale a tempo discreto,
DettagliStudio dei segnali nel dominio della frequenza. G. Traversi
Studio dei segnali nel dominio della frequenza G. Traversi Segnali periodici e serie di Fourier Una funzione periodica f(t) di periodo T (purché integrabile) è esprimibile con una serie del tipo: f (t)
DettagliFunzioni di trasferimento. Lezione 14 2
Lezione 14 1 Funzioni di trasferimento Lezione 14 2 Introduzione Lezione 14 3 Cosa c è nell Unità 4 In questa sezione si affronteranno: Introduzione Uso dei decibel e delle scale logaritmiche Diagrammi
DettagliCome visto precedentemente l equazione integro differenziale rappresentativa dell equilibrio elettrico di un circuito RLC è la seguente: 1 = (1)
Transitori Analisi nel dominio del tempo Ricordiamo che si definisce transitorio il periodo di tempo che intercorre nel passaggio, di un sistema, da uno stato energetico ad un altro, non è comunque sempre
DettagliSistema dinamico a tempo continuo
Sistema dinamico a tempo continuo Un sistema è un modello matematico di un fenomeno fisico: esso comprende le cause e gli effetti relativi al fenomeno, nonché la relazione matematica che li lega. X INGRESSO
DettagliCatene di Misura. Corso di Misure Elettriche http://sms.unipv.it/misure/
Catene di Misura Corso di Misure Elettriche http://sms.unipv.it/misure/ Piero Malcovati Dipartimento di Ingegneria Industriale e dell Informazione Università di Pavia piero.malcovati@unipv.it Piero Malcovati
DettagliIntroduzione al Campionamento e
Introduzione al Campionamento e all analisi analisi in frequenza Presentazione basata sul Cap.V di Introduction of Engineering Experimentation, A.J.Wheeler, A.R.Ganj, Prentice Hall Campionamento L'utilizzo
DettagliLA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO
LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO Può essere espressa sia nel dominio della s che nel dominio della j Definizione nel dominio della s. è riferita ai soli sistemi con un ingresso ed un uscita 2. ha per oggetto
DettagliTransitori del primo ordine
Università di Ferrara Corso di Elettrotecnica Transitori del primo ordine Si consideri il circuito in figura, composto da un generatore ideale di tensione, una resistenza ed una capacità. I tre bipoli
DettagliEQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6
EQUAZIONI DIFFERENZIALI.. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x log t (d) x = e t x log x (e) y = y 5y+6 (f) y = ty +t t +y (g) y = y (h) xy = y (i) y y y = 0 (j) x = x (k)
DettagliIl concetto di valore medio in generale
Il concetto di valore medio in generale Nella statistica descrittiva si distinguono solitamente due tipi di medie: - le medie analitiche, che soddisfano ad una condizione di invarianza e si calcolano tenendo
DettagliFondamenti di Automatica
Fondamenti di Automatica Risposte canoniche e sistemi elementari Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 0532 974839 E-mail: marcello.bonfe@unife.it pag. 1
DettagliCorso di Fondamenti di Segnali e Trasmissione - Appello del 07 Settembre 2005
Corso di Fondamenti di Segnali e Trasmissione - Appello del 07 Settembre 2005 Gli esercizi devono essere risolti solo sui fogli dei colori indicati Per esiti e soluzioni si veda il sito web del corso:
DettagliCarichiamo il segnale contenuto nel file ecg_es_20121128.mat
Esercitazione su analisi segnale ECG Carichiamo il segnale contenuto nel file ecg_es_20121128.mat Il file contiene due variabili - dt, che vale 0.004 - ecg, che è vettore lungo 6500 campioni La frequenza
DettagliCaratterizzazione dei segnali aleatori nel dominio della frequenza
Capitolo 5 Caratterizzazione dei segnali aleatori nel dominio della frequenza 5. Introduzione In questo capitolo affrontiamo lo studio dei segnali aleatori nel dominio della frequenza. Prendiamo come esempio
DettagliElettronica II Proprietà e applicazioni della trasformata di Fourier; impedenza complessa; risposta in frequenza p. 2
Elettronica II Proprietà e applicazioni della trasformata di Fourier; impedenza complessa; risposta in frequenza Valentino Liberali Dipartimento di Tecnologie dell Informazione Università di Milano, 26013
DettagliLa trasformata Zeta. Marco Marcon
La trasformata Zeta Marco Marcon ENS Trasformata zeta E l estensione nel caso discreto della trasformata di Laplace. Applicata all analisi dei sistemi LTI permette di scrivere in modo diretto la relazione
DettagliComplementi di Analisi per Informatica *** Capitolo 2. Numeri Complessi. e Circuiti Elettrici. a Corrente Alternata. Sergio Benenti 7 settembre 2013
Complementi di Analisi per nformatica *** Capitolo 2 Numeri Complessi e Circuiti Elettrici a Corrente Alternata Sergio Benenti 7 settembre 2013? ndice 2 Circuiti elettrici a corrente alternata 1 21 Circuito
DettagliAbbiamo costruito il grafico delle sst in funzione del tempo (dal 1880 al 1995).
ANALISI DI UNA SERIE TEMPORALE Analisi statistica elementare Abbiamo costruito il grafico delle sst in funzione del tempo (dal 1880 al 1995). Si puo' osservare una media di circa 26 C e una deviazione
DettagliForma d onda rettangolare non alternativa.
Forma d onda rettangolare non alternativa. Lo studio della forma d onda rettangolare è utile, perché consente di conoscere il contenuto armonico di un segnale digitale. FIGURA 33 Forma d onda rettangolare.
DettagliCorso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Processi casuali A.A. 2007-08. Alberto Perotti, Roberto Garello
Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Processi casuali A.A. 2007-08 Alberto Perotti, Roberto Garello DELEN-DAUIN Processi casuali Sono modelli probabilistici
DettagliElementi di sismologia
Elementi di sismologia Sismologia e Rischio Sismico Anno Accademico 2009-2010 Giovanna Cultrera, cultrera@ingv.it Istituto Nazionale di Geofisica e Vulcanologia Trasformata di Fourier Premessa: l equazione
DettagliGRANDEZZE ALTERNATE SINUSOIDALI
GRANDEZZE ALTERNATE SINUSOIDALI 1 Nel campo elettrotecnico-elettronico, per indicare una qualsiasi grandezza elettrica si usa molto spesso il termine di segnale. L insieme dei valori istantanei assunti
DettagliMatematica generale CTF
Successioni numeriche 19 agosto 2015 Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Definizione
DettagliFUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE
FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE Funzione: legge che ad ogni elemento di un insieme D (Dominio) tale che D R, fa corrispondere un elemento y R ( R = Codominio ). f : D R : f () = y ; La funzione f(): A
DettagliAmplificatori Audio di Potenza
Amplificatori Audio di Potenza Un amplificatore, semplificando al massimo, può essere visto come un oggetto in grado di aumentare il livello di un segnale. Ha quindi, generalmente, due porte: un ingresso
DettagliSPECIFICHE DI PROGETTO DI SISTEMI DI CONTROLLO
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica SPECIFICHE DI PROGETTO DI SISTEMI DI CONTROLLO Ing. Cristian Secchi Tel. 0522 522235 e-mail: secchi.cristian@unimore.it
DettagliNome: Nr. Mat. Firma:
Fondamenti di Controlli Automatici - A.A. 7/8 4 Dicembre 7 - Esercizi Compito A Nr. Nome: Nr. Mat. Firma: a) Determinare la trasformata di Laplace X i (s) dei seguenti segnali temporali x i (t): x (t)
DettagliLimiti e continuità delle funzioni reali a variabile reale
Limiti e continuità delle funzioni reali a variabile reale Roberto Boggiani Versione 4.0 9 dicembre 2003 1 Esempi che inducono al concetto di ite Per introdurre il concetto di ite consideriamo i seguenti
Dettagli( x) ( x) 0. Equazioni irrazionali
Equazioni irrazionali Definizione: si definisce equazione irrazionale un equazione in cui compaiono uno o più radicali contenenti l incognita. Esempio 7 Ricordiamo quanto visto sulle condizioni di esistenza
DettagliLE FUNZIONI A DUE VARIABILI
Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre
DettagliUniversità di Napoli Parthenope Facoltà di Ingegneria
Università di Napoli Parthenope Facoltà di Ingegneria Corso di rasmissione Numerica docente: Prof. Vito Pascazio 18 a Lezione: 13/1/4 19 a Lezione: 14/1/4 Sommario rasmissione di segnali PM numerici su
DettagliAnalisi dei segnali nel dominio della frequenza
Laboratorio di Telecomunicazioni - a.a. 2010/2011 Lezione n. 7 Analisi dei segnali nel dominio della frequenza docente L.Verdoliva In questa lezione affrontiamo il problema dell analisi dei segnali tempo
Dettagli2. Leggi finanziarie di capitalizzazione
2. Leggi finanziarie di capitalizzazione Si chiama legge finanziaria di capitalizzazione una funzione atta a definire il montante M(t accumulato al tempo generico t da un capitale C: M(t = F(C, t C t M
DettagliFondamenti di Automatica
Fondamenti di Automatica Analisi armonica e metodi grafici Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 053 974839 E-mail: marcello.bonfe@unife.it pag. Analisi
Dettagli2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE
2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 2.1 CONCETTO DI FUNZIONE Definizione 2.1 Siano A e B due insiemi. Una funzione (o applicazione) f con dominio A a valori in B è una legge che associa ad ogni elemento
DettagliElementi di topologia della retta
Elementi di topologia della retta nome insieme definizione l insieme è un concetto primitivo che si accetta come intuitivamente noto secondo George Cantor, il padre della teoria degli insiemi: Per insieme
DettagliRelazioni statistiche: regressione e correlazione
Relazioni statistiche: regressione e correlazione È detto studio della connessione lo studio si occupa della ricerca di relazioni fra due variabili statistiche o fra una mutabile e una variabile statistica
DettagliAPPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI
APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le frazioni algebriche 1.1 Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra polinomi........ 1. Le frazioni algebriche....................................
DettagliFUNZIONE. Si scrive: A B f: A B x y=f(x) (si legge: f funzione da A in B) x f y= f(x)
1 FUNZIONE Dati gli insiemi A e B, si definisce funzione da A in B una relazione o legge o corrispondenza che ad ogni elemento di A associa uno ed un solo elemento di B. Si scrive: A B f: A B f() (si legge:
DettagliCorso Integrato: Matematica e Statistica. Corso di Matematica (6 CFU)
Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Agrarie Corso Integrato: Matematica e Statistica Modulo: Matematica (6 CFU) (4 CFU Lezioni +2 CFU Esercitazioni) Corso di Laurea in Tutela e Gestione del territorio
Dettagli1. Distribuzioni campionarie
Università degli Studi di Basilicata Facoltà di Economia Corso di Laurea in Economia Aziendale - a.a. 2012/2013 lezioni di statistica del 3 e 6 giugno 2013 - di Massimo Cristallo - 1. Distribuzioni campionarie
DettagliCapitolo 5. Funzioni. Grafici.
Capitolo 5 Funzioni. Grafici. Definizione: Una funzione f di una variabile reale,, è una corrispondenza che associa ad ogni numero reale appartenente ad un insieme D f R un unico numero reale, y R, denotato
DettagliFondamenti di Automatica. Unità 2 Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI
Fondamenti di Automatica Unità 2 Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI Soluzione delle equazioni di stato per sistemi dinamici LTI a tempo continuo
DettagliANALISI FREQUENZIALE E PROGETTO NEL DOMINIO DELLE FREQUENZE
CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria della Gestione Industriale e della Integrazione di Impresa http://www.automazione.ingre.unimore.it/pages/corsi/controlliautomaticigestionale.htm ANALISI FREQUENZIALE E PROGETTO
DettagliElementi di teoria dei segnali /b
Elementi di teoria dei segnali /b VERSIONE 29.4.01 Filtri e larghezza di banda dei canali Digitalizzazione e teorema del campionamento Capacità di canale e larghezza di banda Multiplexing e modulazioni
DettagliUna definizione di stabilità più completa di quella precedentemente introdotta fa riferimento ad una sollecitazione impulsiva.
2. Stabilità Uno dei requisiti più importanti richiesti ad un sistema di controllo è la stabilità, ossia la capacita del. sistema di raggiungere un stato di equilibrio dopo la fase di regolazione. Per
DettagliLEZIONE DI ELETTRONICA per la classe 5 TIM/TSE
LEZIONE DI ELETTRONICA per la classe 5 TIM/TSE MODULO : Analisi dei circuiti lineari in regime sinusoidale PREMESSA L analisi dei sistemi elettrici lineari, in regime sinusoidale, consente di determinare
DettagliCorrispondenze e funzioni
Corrispondenze e funzioni L attività fondamentale della mente umana consiste nello stabilire corrispondenze e relazioni tra oggetti; è anche per questo motivo che il concetto di corrispondenza è uno dei
DettagliCapitolo. La funzione di trasferimento. 2.1 Funzione di trasferimento di un sistema. 2.2 L-trasformazione dei componenti R - L - C
Capitolo La funzione di trasferimento. Funzione di trasferimento di un sistema.. L-trasformazione dei componenti R - L - C. Determinazione delle f.d.t. di circuiti elettrici..3 Risposta al gradino . Funzione
DettagliCOMPITO DI SEGNALI E SISTEMI 18 Dicembre 2004
COMPIO DI SEGNALI E SISEMI 8 Dicembre 4 Esercizio Si consideri il modello di stato a tempo discreto descritto dalle seguenti equazioni: x(k + = Ax(k + Bu(k = x(k + u(k, v(k = Cx(k = [ ] x(k, k Z + i Si
DettagliEsercizi svolti di Elettrotecnica
Marco Gilli Dipartimento di Elettronica Politecnico di Torino Esercizi svolti di Elettrotecnica Politecnico di Torino TOINO Maggio 2003 Indice Leggi di Kirchhoff 5 2 Legge di Ohm e partitori 5 3 esistenze
DettagliCorso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche. Analisi dei segnali A.A. 2008-09.
Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Analisi dei segnali A.A. 2008-09 Alberto Perotti DELEN-DAUIN Segnali continui e discreti Un segnale tempo-continuo è
Dettagli3 GRAFICI DI FUNZIONI
3 GRAFICI DI FUNZIONI Particolari sottoinsiemi di R che noi studieremo sono i grafici di funzioni. Il grafico di una funzione f (se non è specificato il dominio di definizione) è dato da {(x, y) : x dom
DettagliPsicometria (8 CFU) Corso di Laurea triennale STANDARDIZZAZIONE
Psicometria (8 CFU) Corso di Laurea triennale Un punteggio all interno di una distribuzione è in realtà privo di significato se preso da solo. Sapere che un soggetto ha ottenuto un punteggio x=52 in una
DettagliLe funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1
Le funzioni continue A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. -3 A. Pisani, appunti di Matematica 1 Nota bene Questi appunti sono da intendere come guida allo studio e come riassunto di quanto illustrato
DettagliDiagrammi di Bode. delle
.. 3.2 delle Diagrammi di Bode La funzione di risposta armonica F(ω) = G(jω) può essere rappresentata graficamente in tre modi diversi: i Diagrammi di Bode, i Diagrammi di Nyquist e i Diagrammi di Nichols.
DettagliQUANTIZZAZIONE diverse fasi del processo di conversione da analogico a digitale quantizzazione
QUANTIZZAZIONE Di seguito lo schema che illustra le diverse fasi del processo di conversione da analogico a digitale. Dopo aver trattato la fase di campionamento, occupiamoci ora della quantizzazione.
Dettaglia) Il campo di esistenza di f(x) è dato da 2x 0, ovvero x 0. Il grafico di f(x) è quello di una iperbole -1 1
LE FUNZIONI EALI DI VAIABILE EALE Soluzioni di quesiti e problemi estratti dal Corso Base Blu di Matematica volume 5 Q[] Sono date le due funzioni: ) = e g() = - se - se = - Determina il campo di esistenza
DettagliCorso di Matematica per la Chimica
Dott.ssa Maria Carmela De Bonis a.a. 203-4 I sistemi lineari Generalità sui sistemi lineari Molti problemi dell ingegneria, della fisica, della chimica, dell informatica e dell economia, si modellizzano
DettagliSVILUPPO IN SERIE DI FOURIER
SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER Cenni Storici (Wikipedia) Jean Baptiste Joseph Fourier ( nato a Auxerre il 21 marzo 1768 e morto a Parigi il 16 maggio 1830 ) è stato un matematico e fisico, ma è conosciuto
Dettagli( a ) ( ) ( Circuiti elettrici in corrente alternata. I numeri complessi. I numeri complessi in rappresentazione cartesiana
I numeri complessi I numeri complessi in rappresentazione cartesiana Un numero complesso a è una coppia ordinata di numeri reali che possono essere pensati come coordinate di un punto nel piano P(a,a,
DettagliBasi di matematica per il corso di micro
Basi di matematica per il corso di micro Microeconomia (anno accademico 2006-2007) Lezione del 21 Marzo 2007 Marianna Belloc 1 Le funzioni 1.1 Definizione Una funzione è una regola che descrive una relazione
DettagliCapitolo 2. Operazione di limite
Capitolo 2 Operazione di ite In questo capitolo vogliamo occuparci dell operazione di ite, strumento indispensabile per scoprire molte proprietà delle funzioni. D ora in avanti riguarderemo i domini A
DettagliIL FILTRAGGIO DEL SEGNALE
CAPITOLO 4 IL FILTRAGGIO DEL SEGNALE 4.1 - SISTEMA LINEARE NON DISTORCENTE E un sistema lineare che restituisce in uscita una replica indistorta del segnale di entrata, intendendo x(t) y(t) = Ax(t-t 0
DettagliLa distribuzione Normale. La distribuzione Normale
La Distribuzione Normale o Gaussiana è la distribuzione più importante ed utilizzata in tutta la statistica La curva delle frequenze della distribuzione Normale ha una forma caratteristica, simile ad una
DettagliGRANDEZZE SINUSOIDALI
GRANDEE SINUSOIDALI INDICE -Grandezze variabili. -Grandezze periodiche. 3-Parametri delle grandezze periodiche. 4-Grandezze alternate. 5-Grandezze sinusoidali. 6-Parametri delle grandezze sinusoidali.
DettagliDispensa sulle funzioni trigonometriche
Sapienza Universita di Roma Dipartimento di Scienze di Base e Applicate per l Ingegneria Sezione di Matematica Dispensa sulle funzioni trigonometriche Paola Loreti e Cristina Pocci A. A. 00-0 Dispensa
DettagliModellistica e Simulazione del Comportamento Dinamico di Beccheggio di un Trattore Agricolo
Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia Facoltà di Ingegneria Modellistica e Simulazione del Comportamento Dinamico di Beccheggio di un Trattore Agricolo Relatore: Prof. Roberto Zanasi Correlatori:
DettagliEsercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di
Esercizi svolti. Si consideri la funzione f() 4. a) Verificare che la funzione F() 4 + arcsin è una primitiva di f() sull intervallo (, ). b) Verificare che la funzione G() 4 + arcsin π è la primitiva
DettagliSoluzione di equazioni quadratiche
Soluzione di equazioni quadratiche Soluzione sulla Retta Algebrica Inseriamo sulla Retta Algebrica le seguenti espressioni polinomiali x e x 3 e cerchiamo di individuare i valori di x per i quali i punti
DettagliFunzioni inverse Simmetrie rispetto alla bisettrice dei quadranti dispari. Consideriamo la trasformazione descritta dalle equazioni : = y
Funzioni inverse Simmetrie rispetto alla bisettrice dei quadranti dispari. Consideriamo la trasformazione descritta dalle equazioni : ' = y y' = Consideriamo il punto P(,5) se eseguiamo tra trasformazione
DettagliSegnali e Sistemi. Dispensa integrativa per l insegnamento di Elementi di Controlli Automatici. Gianni Borghesan e Giovanni Marro
Segnali e Sistemi Dispensa integrativa per l insegnamento di Elementi di Controlli Automatici Gianni Borghesan e Giovanni Marro Indice Introduzione 2. Notazione............................. 2 2 Classificazione
DettagliFunzioni. Parte prima. Daniele Serra
Funzioni Parte prima Daniele Serra Nota: questi appunti non sostituiscono in alcun modo le lezioni del prof. Favilli, né alcun libro di testo. Sono piuttosto da intendersi a integrazione di entrambi. 1
DettagliIndicando con x i minuti di conversazione effettuati in un mese, con la spesa totale nel mese e con il costo medio al minuto:
PROBLEMA 1. Il piano tariffario proposto da un operatore telefonico prevede, per le telefonate all estero, un canone fisso di 10 euro al mese, più 10 centesimi per ogni minuto di conversazione. Indicando
DettagliEsponenziali elogaritmi
Esponenziali elogaritmi Potenze ad esponente reale Ricordiamo che per un qualsiasi numero razionale m n prendere n>0) si pone a m n = n a m (in cui si può sempre a patto che a sia un numero reale positivo.
Dettagli1. PRIME PROPRIETÀ 2
RELAZIONI 1. Prime proprietà Il significato comune del concetto di relazione è facilmente intuibile: due elementi sono in relazione se c è un legame tra loro descritto da una certa proprietà; ad esempio,
DettagliA.1 Definizione e rappresentazione di un numero complesso
441 APPENDICE A4 NUMERI COMPLESSI A.1 Definizione e rappresentazione di un numero complesso Si riepilogano i concetti e le operazioni elementari relativi ai numeri complessi. Sia z un numero complesso;
DettagliProgrammazione per competenze del corso Matematica, Secondo biennio
Programmazione per del corso Matematica, Secondo biennio Competenze di area Traguardi per lo sviluppo delle degli elementi del calcolo algebrico algebriche di primo e secondo grado di grado superiore al
Dettaglibipolari, quando essi, al variare del tempo, assumono valori sia positivi che negativi unipolari, quando essi non cambiano mai segno
Parametri dei segnali periodici I segnali, periodici e non periodici, si suddividono in: bipolari, quando essi, al variare del tempo, assumono valori sia positivi che negativi unipolari, quando essi non
DettagliMETODO PER LA DESCRIZIONE DEL CAMPO MAGNETICO ROTANTE
Ing. ENRICO BIAGI Docente di Tecnologie elettrice, Disegno, Progettazione ITIS A. Volta - Perugia ETODO PER LA DESCRIZIONE DEL CAPO AGNETICO ROTANTE Viene illustrato un metodo analitico-grafico per descrivere
DettagliAPPUNTI SUL CAMPO MAGNETICO ROTANTE
APPUTI UL CAPO AGETICO ROTATE Campo agnetico Rotante ad una coppia polare Consideriamo la struttura in figura che rappresenta la vista, in sezione trasversale, di un cilindro cavo, costituito da un materiale
DettagliRichiami: funzione di trasferimento e risposta al gradino
Richiami: funzione di trasferimento e risposta al gradino 1 Funzione di trasferimento La funzione di trasferimento di un sistema lineare è il rapporto di due polinomi della variabile complessa s. Essa
DettagliFUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI
FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI 1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni di variabile reale: (a) f(x) = x 4 (c) f(x) = 4 x x + (b) f(x) = log( x + x) (d) f(x) = 1 4 x 5 x + 6 ) Data la funzione
DettagliTRAGUARDI PER LO SVILUPPO DELLE COMPETENZE AL TERMINE DELLA SCUOLA PRIMARIA
SCUOLA PRIMARIA DI CORTE FRANCA MATEMATICA CLASSE QUINTA TRAGUARDI PER LO SVILUPPO DELLE COMPETENZE AL TERMINE DELLA SCUOLA PRIMARIA L ALUNNO SVILUPPA UN ATTEGGIAMENTO POSITIVO RISPETTO ALLA MATEMATICA,
DettagliMATEMATICA 2001. p = 4/6 = 2/3; q = 1-2/3 = 1/3. La risposta corretta è quindi la E).
MATEMATICA 2001 66. Quale fra le seguenti affermazioni è sbagliata? A) Tutte le funzioni ammettono la funzione inversa B) Una funzione dispari è simmetrica rispetto all origine C) Una funzione pari è simmetrica
DettagliEsempi di funzione. Scheda Tre
Scheda Tre Funzioni Consideriamo una legge f che associa ad un elemento di un insieme X al più un elemento di un insieme Y; diciamo che f è una funzione, X è l insieme di partenza e X l insieme di arrivo.
Dettaglibensì una tendenza a ruotare quando vengono applicate in punti diversi di un corpo
Momento di una forza Nella figura 1 è illustrato come forze uguali e contrarie possono non produrre equilibrio, bensì una tendenza a ruotare quando vengono applicate in punti diversi di un corpo esteso.
DettagliTrasformate di Laplace
TdL 1 TdL 2 Trasformate di Laplace La trasformata di Laplace e un OPERATORE funzionale Importanza dei modelli dinamici Risolvere equazioni differenziali (lineari a coefficienti costanti) Tempo t Dominio
DettagliPrincipali comandi MATLAB utili per il corso di Controlli Automatici
Principali comandi MATLAB utili per il corso di Controlli Automatici In questo documento sono raccolti i principali comandi Matlab utilizzati nel corso; per maggiore comodità, sono riportati facendo riferimento
DettagliRette e curve, piani e superfici
Rette e curve piani e superfici ) dicembre 2 Scopo di questo articolo è solo quello di proporre uno schema riepilogativo che metta in luce le caratteristiche essenziali delle equazioni di rette e curve
DettagliProposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014
Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 14 Problema 1 Punto a) Osserviamo che g (x) = f(x) e pertanto g () = f() = in quanto Γ è tangente all asse delle ascisse,
DettagliLezione 8. La macchina universale
Lezione 8 Algoritmi La macchina universale Un elaboratore o computer è una macchina digitale, elettronica, automatica capace di effettuare trasformazioni o elaborazioni su i dati digitale= l informazione
DettagliFunzione Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemento di A si associa uno e un solo elemento
TERIA CAPITL 9. ESPNENZIALI E LGARITMI. LE FUNZINI Non si ha una funzione se anche a un solo elemento di A non è associato un elemento di B, oppure ne sono associati più di uno. DEFINIZINE Funzione Una
Dettagli1. Limite finito di una funzione in un punto
. Limite finito di una funzione in un punto Consideriamo la funzione: f ( ) = il cui dominio risulta essere R {}, e quindi il valore di f ( ) non è calcolabile in =. Quest affermazione tuttavia non esaurisce
DettagliESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2004
ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS SPERIMENTALE P.N.I. 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEMA Sia la curva d equazione: ke ove k e
DettagliMisure finanziarie del rendimento: il Van
Misure finanziarie del rendimento: il Van 6.XI.2013 Il valore attuale netto Il valore attuale netto di un progetto si calcola per mezzo di un modello finanziario basato su stime circa i ricavi i costi
Dettagli