COMPITO DI SEGNALI E SISTEMI 18 Dicembre 2004

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1 COMPIO DI SEGNALI E SISEMI 8 Dicembre 4 Esercizio Si consideri il modello di stato a tempo discreto descritto dalle seguenti equazioni: x(k + = Ax(k + Bu(k = x(k + u(k, v(k = Cx(k = [ ] x(k, k Z + i Si determini la forma di Jordan della matrice A, i modi elementari del sistema e il loro carattere (convergente/limitato/non limitato; ii si determini, operando nel dominio delle trasformate zeta, l evoluzione libera dello stato corrispondente alla condizione iniziale x( = [ ] ; iii si determini, operando nel dominio delle trasformate zeta, l evoluzione forzata dell uscita corrispondente alla successione d ingresso u(k = δ (k Esercizio Si consideri il sistema LI a tempo continuo di risposta impulsiva ( t h(t = Π, con numero reale positivo assegnato i Si studi la stabilità BIBO del sistema e se ne determini la risposta in frequenza ii Si disegni il segnale u(t = Λ e se ne calcolino energia e potenza ( t ( t 4 Π, t R, iii Supponendo che il segnale u(t venga applicato in ingresso al precedente sistema, si determini, se possibile, l espressione della densità spettrale di energia del segnale di uscita v(t iv Si determini, se esiste, la risposta del sistema al segnale di ingresso ( πt u (t = + cos, t R Esercizio 3 Si consideri il segnale u(t, periodico di periodo, che in u g (t = 4t, t < 4, 4t, 4 t < 4, 4t, 4 t < [, vale

2 i Si calcoli lo sviluppo in serie di Fourier esponenziale di u(t ii iii Si calcoli la trasformata di Fourier del segnale u(t Si determini l uscita del filtro passa-basso ideale di risposta in frequenza ( f H LP F (f = Π, f L con < f L <, sollecitato dal segnale u(t di cui sopra eoria Si dimostri che un segnale a tempo continuo v a (t, t R, rigorosamente limitato nella banda ( B, B, può essere ricostruito a partire dalla sua versione campionata di tipo sample-and-hold con frequenza di campionamento f c, a condizione che f c > B, e si fornisca l espressione (nel dominio della frequenza del filtro di ricostruzione

3 SOLUZIONI Esercizio i [3 punti] Il calcolo del polinomio caratteristico della matrice A porta a det(zi 3 A = z (z, pertanto la matrice A ha due autovalori λ = e λ =, di molteplicità algebrica µ = e µ = Per capire quale tra le due possibili forme di Jordan J = e J = sia quella della matrice A, è sufficiente valutare la molteplicità geometrica di λ Se, infatti, la molteplicità geometrica di λ = è allora nella forma di Jordan di A compaiono due miniblocchi di Jordan relativi a λ e quindi la forma di Jordan corretta sarà J Se, invece, la molteplicità geometrica è unitaria, allora la forma di Jordan sarà J Si trova dim ker (λ I 3 A = dim ker ( A = e pertanto la forma di Jordan di A è J Ciò assicura che i modi elementari del sistema siano δ(k, δ(k, k I primi due sono convergenti, l ultimo è limitato ma non convergente ii [3 punti] La trasformata zeta dell evoluzione libera dello stato del sistema è z X l (z = (zi 3 A zx( = z z = z(z z la cui antitrasformata porta, facilmente, a δ (k x l (k = δ(k δ(k z iii [ punti] La trasformata zeta dell evoluzione forzata dell uscita è data da V (z = C(zI 3 A B U(z, dove U(z è la trasformata zeta dell ingresso che, in questo caso, vale U(z = trova, pertanto, V (z = z(z z z = (z = z z (z z z Si 3

4 a cui corrisponde, nel dominio del tempo v(k = (k δ (k Esercizio i [ punto] È immediato verificare che il sistema è BIBO stabile giacchè la sua risposta impulsiva è sommabile Inoltre la risposta in frequenza del sistema è H(f = F[h(t] = e jπf sinc(f, f R ii [3 punti] Il segnale, chiaramente, ha supporto finito, energia finita e potenza nulla Il grafico del segnale è il seguente 3/4 u(t - -/4 t Il calcolo esplicito dell energia porta a E u = u (tdt = = ( t ( t ( 3 ( t dt + 4 t dt iii [3 punti] Osserviamo preliminarmente che ha trasformata di Fourier = 3 3 ( ( t t u(t = Π Π ( t 4 Π U(f = sinc (f ( = sinc(f La densità spettrale di energia del segnale di uscita è, pertanto, ( S V (f = V (f = H(f U(f = sinc (f sinc (f sinc(f 4

5 iv [ punti] Essendo il sistema BIBO stabile, tale risposta esiste e vale ( ( ( ( v (t = H( + πt H cos + arg H, t R Si trova, facilmente, H( = ( H = e jπ sinc( = Pertanto v (t =, t R Esercizio 3 i [6 punti] Il grafico del segnale u(t nell intervallo di u g (t, è quello riportato nella figura che segue [,, ovvero u(t / /4 +/4 +/ t La funzione u(t ammette sviluppo in serie di Fourier e tale sviluppo restituisce puntualmente la funzione u(t Lo sviluppo in serie esponenziale di u(t è u(t = + k= u k e j π kt Al fine di calcolare i coefficienti dello sviluppo in serie si può utilizzare la formula u k = F[ũ g(t] f= k, 5

6 dove ũ g (t denota un opportuno generatore In particolare si può ricorrere alla restrizione al periodo, ovvero assumere ũ g = u g, ed osservare che Di conseguenza, ( t /4 u g (t = Λ Λ /4 U g (f = F[u g (t] = ( f 4 sinc 4 = ( ( f πf j sinc sin 4 ( t + /4 /4 ( e jπf/ e +jπf/ Quindi Si noti che u = u k = j sinc ( k 4 ( πk sin ii [ punti] La trasformata di Fourier del segnale u(t è data da U(f = + k= ( u k δ f k iii [ punti] È immediato verificare che la trasformata di Fourier del segnale v(t in uscita al filtro passa-basso ideale H LP F (f è data da ( V (f = H LP F (fu(f = u δ f + ( + u δ f Quindi l espressione del segnale v(t nel dominio del tempo è π j v(t = u e t + u e j π = j sinc ( 4 t ( e j π t π j e t ( = sinc 4 sin ( πt, t R eoria [5 punti] Si veda il libro di testo, capitolo 5 pagine