Corso di Fondamenti di Segnali e Trasmissione - Appello del 07 Settembre 2005

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1 Corso di Fondamenti di Segnali e Trasmissione - Appello del 07 Settembre 2005 Gli esercizi devono essere risolti solo sui fogli dei colori indicati Per esiti e soluzioni si veda il sito web del corso: Per contattare il docente: Esercizio 1 (foglio bianco - 7 punti): Trasformata di Fourier Dato il segnale x(t) = sinc(2t) sinc 2 (t) cos(4t); a) Si determini la trasformata di Fourier X(f) b) Si rappresentino gra camente modulo e fase di X(f) c) Si determini e si rappresenti gra camente la densità spettrale d energia di x(t) Esercizio 2 (foglio giallo - 7 punti): Filtri Il segnale s(t) = 2 cos 2 (500t =4) è applicato all ingresso del sistema lineare tempo invariante rappresentato in gura, con H 1 (f) = rect(f + 500) + rect(f 500) jf H 2 (f) = exp : 500 Si determini: a) L espressione analitica del segnale u(t) b) La risposta in frequenza del sistema complessivo H(f) = Y (f)=s(f) c) L espressione analitica del segnale y(t) e la potenza istantanea di y(t) s(t) H 1( f ) H 2 u(t) + + y(t) Esercizio 3 (foglio rosa - 7 punti): Campionamento Si consideri il segnale analogico x(t) = x 1 (t) + x 2 (t) = cos 2 (810 3 t) + 2 cos(410 3 t): a) Sia x c (t) il segnale ottenuto campionando x(t) a frequenza f c = 8kHz Si vuole ricostruire il segnale x(t) a partire dalla sua versione campionata ltrando x c (t) con un ltro ideale passa-basso con banda B = 4kHz e guadagno H(0) = 1=f c Si valuti il segnale ricostruito ^x(t) b) Si valuti la frequenza minima di campionamento che garantisce la corretta ricostruzione del segnale x(t) dai suoi campioni x c (t) c) Si vuole convertire il segnale x 2 (t) = 2 cos(410 3 t) in forma numerica operando una quantizzazione uniforme dei campioni tale da garantire un rapporto segnale-rumore di quantizzazione SNR74dB Si calcoli il bit-rate (minimo) del segnale numerico cosi ottenuto

2 Esercizio 4 (foglio verde - 8 punti): Trasmissione Si consideri una trasmissione in banda base con segnalazione M-PAM Il ltro di trasmissione ha risposta all impulso: t g(t) = A sinc T s con A = 1mV e T s = 31:25s Il canale di trasmissione è ideale e il ltro di ricezione è adattato a) Si calcoli il numero di livelli M a nche il bit rate sia 128kbit/sec b) Si valuti la banda occupata sul canale c) Si dia la risposta all impulso del ltro adattato d) Si valuti la probabilità d errore sul simbolo nel caso in cui all ingresso del ltro di ricezione sia presente un processo AWGN con valore medio nullo e densità spettrale di potenza pari a N 0 =2 = 90:6dBm/Hz Esercizio 5 (foglio grigio - 5 punti): Matlab Si hanno a disposizione N = 100 sensori per calcolare la quantità di pioggia caduta sul bacino imbrifero di una valle alpina Si vuole identi care la distribuzione statistica dei dati raccolti, al ne di valutare l e ettiva necessità di un numero elevato di stazioni di misura Si assuma di disporre di un array x di N elementi contenente i mm di pioggia caduti nell intervallo di tempo di riferimento (1 minuto) in 100 diverse posizioni sul territorio Si scriva il codice MATLAB per: a) Stimare la media e la varianza 2 della sequenza memorizzata x b) Stimare e visualizzare la distribuzione di probabilità della sequenza x (supponendo una distribuzione di probabilità gaussiana, si calcoli l istogramma nel solo intervallo 4) Si calcoli l istogramma su 20 celle Si supponga ora di utilizzare solamente uno dei sensori, ma di poter registrare l informazione richiesta (pioggia caduta) ogni minuto (t = 1 minuto) nell arco delle 24 ore (T max = 24 ore) Per ridurre il rumore della misura, si vuole e ettuare una media dei dati registrati su 30 minuti attraverso un opportuno ltro applicato al processo osservato c) Sia y(t) il segnale registrato dal sensore in funzione del tempo t Si simuli il segnale come somma y(t) = w(t) di un valore costante nel tempo pari a 100 mm di pioggia, a cui viene sovrapposto un rumore w(t) con distribuzione gaussiana a media nulla e deviazione standard = 14 mm d) Si costruisca un ltro con risposta all impulso h(t) = 1 T 1 rect t per e ettuare la media temporale su T 1 =30 minuti Si ltri il segnale y(t) con h(t) e si rappresenti gra camente il segnale ltrato z(t) T 1

3 Soluzione esercizio 1 1 Trasformata di Fourier del segnale x () t : 2 Spettro d ampiezza: Spettro di fase: 3 Densità spettrale d energia: Soluzione esercizio 2 1 f 1 1 tri( f 2) tri( f + 2) f + tri( f 2) + tri( f + 2), 2 2 X 1 Il segnale periodico s () t è riscritto come: π sign = 0,, 1 < f 3 altrove f 2 + tri ( f 2) + tri ( f + 2) 4 2 ( t) 1 + sin( 1000πt ) s = Il segnale è composto da una componente continua avente ampiezza pari a 1 e da una componente sinusoidale con H 1 f è un filtro passa-banda ideale con frequenza di centro banda pari a frequenza pari a 500 Hz Poiché ( ) 500 Hz e banda passante pari a 1Hz L espressione analitica del segnale u ( t) risulta essere u( t) = sin( 1000πt ) 2 La risposta in frequenza complessiva del sistema lineare stazionario è 2 jπf /500 H f = 1+ H1 f H 2 f = 1+ rect f e + rect f 500 e 3 L espressione analitica del segnale y () t risulta essere y() t = s( t) + u( t 1/ 1000) = 1 + sin( 1000πt ) sin( 1000πt π ) = 1 La sua potenza (sia istantanea che media) è uguale a 1 2 jπf / 500 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 Soluzione esercizio 3 1 Il segnale x(t) = 0:5 + 2 cos( t) + 0:5 cos( t) ha trasformata X(f) = 0:5(f) + (f 2k) + (f + 2k) + 0:25 ((f 8k) + (f + 8k)) costituita da una componente continua e due armoniche a frequenze 2kHz e 8kHz Campionando a il segnale a f c = 8kHz si genera equivocazione, in quanto le repliche spettrali a passo f c fanno si che l armonica a 8kHz si sommi alla componente continua A valle del ltraggio con B = 4kHz si ha: ^X(f) = 0:5(f) + 0:25(f) + 0:25(f) + (f 2k) + (f + 2k) ^x(t) = cos( t) 2 La frequenza minima di campionamento che garantisce la corretta ricostruzione del segnale x(t) dai suoi campioni e f c 16kHz 3 La dinamica del segnale e [ 2; +2], la potenza P x = 2 2 =2 = 2 La potenza del rumore di quantizzazione e P eq = = 1 2 K b 12 Imponendo il vincolo sul rapporto segnale rumore si ottiene: SNR = K b = K b 10 7:4 K b 12bit Il bit rate corrispondente e R = 12 4kbit/s= 48kbit/s Soluzione esercizio 4 a) La relazione fra frequenza di simbolo R s = 1 T s = 32k simboli/s e bit rate R b = 128 kbit/s e R b = R s log 2 M: Ne segue che M = 2 128=32 = 16, cioe la modulazione utilizzata e 16-PAM b) La banda e quella del segnale g(t), cioe B = 1=(2T s ) = 16kHz c) La risposta all impulso del ltro adattato e h(t) = g( t) = A T s sinc t T s d) La probabilita di errore e : P b (E) = 1 r! Q 2Eg con Z E g = Z g 2 (t)dt = N 0 jg(f)j 2 df e G(f) = AT s rect(ft s ) Quindi E g = A 2 T s = : = 31: J Poiche N 0 =2 = 10 12:06 W/Hz, ne segue: P b (E) = 15 r! 31: Q :06 = Q (6) = 2: Soluzione esercizio 5 % l array x già presente in memoria N=100; media=mean(x);

5 varianza=var(x); bin=8*sqrt(varianza)/20; intervallo=[media-4*sqrt(varianza):bin:media+4*sqrt(varianza)]; frr=hist(x,intervallo)/n/100; % attenzione, scalare per la dim della cella dell istogramma figure, bar(intervallo,frr); % costruzione del processo y M=24*60; % numero di campioni y=100*ones(1,m)+14*randn(1,m); h=ones(1,30)/30; % Filtraggio del segnale y(t) z=conv(y,h)*dt; tz=[0:length(z)-1]; figure, plot(t,z); xlabel( tempo [min] );

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