ESERCIZI DI TEORIA DEI SEGNALI

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1 ESERCIZI DI EORIA DEI SEGNALI EX. 1 Si determini lo sviluppo in serie di Fourier del segnale cos[ m(t)] dove m(t) = m(t) = m(t k ) [ π 2 2π ] ( ) t t rect. EX. 2 Si siderino due segnali x 1 (t) e x 2 (t) a banda strettamente limitata e spettralmente separati. Gli spettri di ampiezza X 1 (f) e X 2 (f) hanno supporto pari a 2 khz e sono centrati su 3 khz e su f 0 > 8kHz, rispettivamente. rovare i valori di f 0 per i quali i due segnali y 1 (t) = x 1 (t) cos(2πf x t) e y 2 (t) = x 2 (t) cos(2πf x t), f x = 8kHz, non sono spettralmente separati. EX. 3 Calcolare le trasformate di Fourier dei segnali x 1 (t) = e t cos(2πf 0 t) e x 2 (t) = e t u(t) cos(2πf 0 t) e t u( t) cos(2πf 0 t). EX. 4 Si determini lo sviluppo in serie di Fourier del segnale x(t) = 2A x(t k ) t rect ( t ). EX. 5 Determinare la trasformata di Fourier dei segnali x 2 (t) = 1 2 ( ) t rect ( πt x 1 (t) = cos 2 ( t + /2 ) ( ) t rect. ) [ ( ) ] t rect ( ) t x 3 (t) = Λ sgn(t). ( t /2 ) + u(t ).

2 EX. 6 Dato il segnale ( ) ( ) t π/2 t 3π/2 x(t) = rect rect approssimarlo il segnale A sin(t), scegliendo A in modo che l errore quadratico medio sia minimo. ɛ = 1 2π 2π 0 [x(t) A sin(t)] 2 dt EX. 7 Determinare analiticamente il segnale z(t) dato dalla voluzione tra i segnali x(t) = e Kt u(t), K > 0 e y(t) = rect ( ) 2t. EX. 8 Valutare analiticamente la voluzione z(t) tra il segnale x(t) = e Kt u(t) (K > 0) ed il segnale y(t) = rect(t/ ). Determinare, poi, il valor medio, l energia e la potenza del segnale w(t) = z(t) u(t /2). EX. 9 Si determini lo sviluppo in serie di Fourier del segnale Dire in che senso verge la serie. x(t k ) ( ) t /2 x(t) = e αt rect, α > 0. EX. 10 Si siderino i segnali e x(t) = e Kt u(t), K > 0, y(t) = x(t) sin(βt), β > 0, πt dove denota l operazione di voluzione. Determinare la relazione tra K e β affinché l energia di y(t) sia pari alla metà dell energia di x(t).

3 EX. 11 Determinare lo sviluppo in serie di Fourier del segnale dove denota l operazione di voluzione. y(t) = rep [x 1 (t) x 2 (t)] EX. 12 Il segnale periodico y(t) di periodo è ottenuto dalla replicazione del segnale aperiodico x(t): Dimostrare che y(t) = rep [x(t)] = y(t) = x(t) x(t k ). δ(t k ) e ricavare, un procedimento alternativo a quello proposto sul testo, la relazione di campionamento in frequenza tra Y k e X(f). EX. 13 Si sideri il segnale x(t) = a(t) cos(2πf 0 t) dove a(t) è un segnale energia finita il cui spettro A(f) è nullo per f > F 0 /2. Si sideri, poi, il segnale y(t) il cui spettro Y (f) è legato allo spettro X(f) di x(t) dalla relazione Y (f) = X(f)U(f). Valutare y(t) in funzione di x(t). EX. 14 rovare la trasformata di Fourier del segnale y(t) = x(t) δ(t k ) x(t) = e t. EX. 15 Sviluppare in serie di Fourier il segnale y(t) = x(t k 2π) ( ) t π x(t) = t 2 rect. 2π EX. 16 rovare il segnale x(t) la cui trasformata di Fourier vale X(f) = cos(2πf)rect (2f).

4 EX. 17 Il segnale x(t) = Λ ( t τ ) è applicato in ingresso ad un limitatore caratteristica ingresso-uscita y(x) = xrect (2(x 0.25)) + u(x 0.5). Sviluppare in serie di Fourier il segale y(t) che si ottiene all uscita del limitatore. EX. 18 Valutare trasformata di Fourier del segnale ( ) ( ) t /2 t 3/2 x(t) = rect + 2rect + 3rect ( t 5/2 ). EX. 19 Si supponga di filtrare il segnale x(t k ) dove x(t) = rect(t/ 0 ) mediante un filtro LI avente risposta impulsiva h(t) = 2h RC (t) cos(2πf 0 t) dove h RC (t) = 1 τ e t τ u(t) Supponendo 0 = /4 e f 0 = 1/, determinare la costante di tempo del filtro in modo che l ampiezza della componente armonica a frequenza 2/ del segnale di uscita risulti pari a 1/10 dell ampiezza della componente fondamentale. EX. 20 Si sideri il sistema SLS avente risposta armonica H(f) = cos(2πf ) rect(f ) costante positiva. Determinare e rappresentare risposta in ampiezza e fase del sistema e stabilire è distorcente (in ampiezza e/o fase) nella banda ( B, B), B = 1/2. Si progetti, inoltre, un egualizzatore ideale per il sistema nella banda ( B, B). L egualizzatore ottenuto è fisicamente realizzabile? EX. 21 Il segnale x(t 2k )

5 ( ) t x(t) = Λ. ale segnale viene filtrato un filtro LI di risposta armonica H(f) = 1 j4πf 1 + j2πf ottenendo il segnale ỹ(t). Si determini la componente tinua e il rapporto tra l ampiezza della terza armonica e l ampiezza dell armonica fondamentale dei segnali x(t) e ỹ(t). EX. 22 Sia dato il segnale x(t) = x(t 2k ) [ ( ) ] ( ) t t Λ 1 rect 2 e sia ỹ(t) la risposta al segnale x(t) di un filtro ideale passabasso di guadagno unitario e banda monolatera B. Valutare la trasformata di Fourier di x(t) e determinare la banda B in modo che ỹ(t) sia un segnale sinusoidale di frequenza f 0 = 1/(2 ). EX. 23 Si sideri il segnale x(t) = V + cos(2πf 0 t) somma di una tensione tinua V e di un segnale interferente sinusoidale. Si vuole rimuovere l interferenza filtrando il segnale x(t) mediante un filtro SLS risposta impulaiva h(τ) = a 1 δ(τ) + a 2 δ(τ ). Nell ipotesi in cui f 0 = 1/2, determinare i valori di a 1 ed a 2 affinchè y(t) = V, ovvero si abbia la perfetta soppressione dell interferenza in uscita. EX. 24 Il sgenale periodico x(t) = x(t 2k ) [ ( ) ] ( ) 2t t 2Λ 1 rect viene filtrato un filtro passabasso avente risposta armonica ( ) f H(f) = rect e j2π f 4f 0 4f 0 dove f 0 = 1/. Determinare il segnale ỹ(t) in uscita al filtro.

6 EX. 25 Si sideri il segnale modulato y(t) = x(t) cos(2πf 1 t), dove x(t) è un segnale deterministico a banda (monolatera) limitata W = 1kHz e f 1 = 4W. Per traslare y(t) a frequenze più elevate, esso viene moltiplicato per cos(2πf 2 t), f 2 = 5W, ed il segnale risultante z(t) = y(t) cos(2πf 2 t) viene filtrato il filtro H(f) passaalto ideale, avente cioè risposta armonica H(f) = 1 rect( f 2B ) dove B è la frequenza di taglio. Rappresentare graficamente gli spettri dei segnali y(t) e z(t); determinare i valori di B in corrispondenza dei quali il segnale in uscita al filtro passaalto è w(t) = ax(t) cos [2π (f 1 + f 2) t], dove a è un fattore di scala inessenziale. EX. 26 Il segnale x(t) = x(t 2k ) [ ( ) ] t 2Λ 1 rect(t/2 ) è filtrato un filtro RC allo scopo di ottenere un segnale approssimativamente sinusoidale frequenza f 0 = 1/(2 ). Determinare la frequenza f 3 a - 3 db del filtro RC in modo che l ampiezza della prima componente sinusoidale a frequenza superiore ad f 0 del segnale filtrato sia pari ad 1/25 della fondamentale. EX. 27 Classificare, motivando brevemente le risposte, ciascuno dei sistemi sotto riportati sulla base delle loro proprietà (dispersività, invarianza temporale, linearità, causalità, stabilità). y(t) = 2 exp [x(t)] y(t) = x(t 2) x(1 t) y(t) = x(t) cos(2πt) y(t) = [x(t) + x(t )] u(t) y(t) = [x(t) x(t )] u [x(t)] EX. 28 Si sideri la cascata dei due sistemi definiti dai seguenti legami ingresso-uscita: S1: y 1 (t) = x 1 (t) cos(2πf 0 t + θ); S2: Y 2 (f) = X 2 (f)rect(f/2b). Il segnale in ingresso alla cascata sia x(t) = s(t) cos(2πf 0 t), s(t) segnale di energia passabasso banda monolatera B. Supponendo, f 0 B, determinare l energia del segnale y(t) all uscita della cascata S1 S2.

7 EX. 29 Classificare in base alle loro proprietà i sistemi a tempo tinuo individuati dalle seguenti relazioni ingresso/uscita y(t) = + 0 h(τ)x(t τ)dτ y(t) = + 0 h(τ)x 2 (t τ)dτ y(t) = + 0 h(τ)x 2 (t τ)dτ y(t) = dx(t)/dt y(t) = 1 2 x(t τ)dτ EX. 30 Si sideri la cascata di tre sistemi: S1 : y(t) = x(2t) S2 : h(t) = δ(t) δ(t 1) S3 : y(t) = x(t/2) Determinare il legame ingresso/uscita del sistema costituito dalla cascata S1-S2-S3 e stabilire se è lineare, tempo variante, stabile, dispersivo e causale. EX. 31 Sia z(t) = x(t) + cos(2πf 0 t) x(t) segnale passabasso trasformata di Fourier X(f) = rect(f/2b) e sia y(t) = z(t) h(t) dove h(t) è un filtro passabanda avente risposta armonica H(f) = rect [(f f 0 )/2B] + rect [(f + f 0 )/2B]. Determinare lo spettro di z(t) e rappresentarlo graficamente (si assuma per la rappresentazione f 0 B); determinare sotto quali dizioni per f 0 e B l uscita y(t) risulta proporzionale a x(t) cos(2πf 0 t), ovvero il sistema complessivo si comporta da modulatore di ampiezza. EX. 32 Siano x(t) un segnale periodico di periodo, g(x) = x 2 una nonlinearità senza memoria e H(f) un filtro ideale passabasso avente banda monolatera W = 1.5/ e guadagno unitario. Si assuma che tutti i segnali ed i sistemi siderati siano reali. Determinare l espressione del segnale z(t) = h(t) ỹ(t) dove ỹ(t) = g[ x(t)] e il simbolo denota la voluzione. EX. 33 Il segnale ( 1) k x(t 2k ) ( ) t x(t) = Λ

8 è posto in ingresso ad un filtro ideale passabasso di guadagno unitario e banda monolatera 1/. Determinare il segnale in uscita e valutarne la funzione di autocorrelazione. EX. 34 Si sideri il sistema SLS la cui uscita y(t) è legata all ingresso x(t) dalla relazione y(t) = x(t) + y(t ). Calcolare la risposta in frequenza del sistema; mostrare che se il segnale di ingresso x(t) è passabasso banda monolatera W 1/, il sistema si comporta, a meno di un termine costante X(0)/2, come la cascata di un integratore ideale e di un amplificatore ideale di guadagno 1/. EX. 35 Le funzioni che seguono sono candidate come possibili funzioni di autocorrelazione o funzioni di densità spettrale. Dire quali sono ammissibili e quali no. r(τ) = A 2 r(τ) = Λ(τ/ ) r(τ) = (1 + j)λ(τ/ ) r(τ) = Π(τ/ ) S(f) = Π(f/2B)e j2πt 0f S(f) = Π(f/2B) EX. 36 Si sideri il sistema non lineare senza memoria definito dalla relazione ingresso-uscita y(x) = e x. Nell ipotesi di sollecitare il sistema un segnale x(t) = A cos(2πf 0 t) e supponendo A 1 così da ritenere valida una approssimazione di g(x) al sedo ordine nell intorno dell origine, calcolare la distorsione di II armonica dell uscita (in funzione di A) e determinare il valore di A che garantisce una distorsione di seda armonica inferiore al 5%. Nota e x = + n=0 xn /n! EX. 37 Si sideri il sistema non lineare senza memoria definito dalla relazione ingresso-uscita y = g(x) = { x, x < A, 0, altrimenti. Nell ipotesi di sollecitare tale sistema un segnale x(t) = V 0 cos(2πf 0 t), determinare per quali valori di V 0 il segnale di ingresso non subisce. Inoltre, per V 0 = 2A, si calcolino i coefficienti di distorsione di seda, di terza armonica e di distorsione totale del segnale di uscita.

9 EX. 38 Per ciascuno dei seguenti segnali: 1. x 1 (t) = 2 + cos(7πt/ ) 2. x 2 (t) = sin(5πt/ ) + 3 cos(7πt/ ) 3. x 3 (t) = 2 cos(πt/ ) sin(3πt/ ) dire, giustificando brevemente il risultato, se, ed eventualmente in che modo, sono distorti nel passaggio attraverso il sistema SLS risposte in ampiezza e fase date da: A, f < 2/, H(f) = 2A ( 1 4 f ), 2/ f 4/, 0, f > 4/. { ( π H(f) = 8 )f, 2/ f 4/, 0, altrimenti.