SEGNALI E SISTEMI Proff. N. Benvenuto, C. Dalla Man e M. Pavon (a.a ) IIIo Appello 24 agosto 2015 SOLUZIONI

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1 SEGNALI E SISTEMI Proff. N. Benvenuto, C. Dalla Man e M. Pavon a.a ) IIIo Appello 4 agosto 05 SOLUZIONI Esercizio [punti 4]. Discutere le proprietà di: a) causalità, b) linearità, c) tempo-invarianza, d) BIBOstabilità per il sistema a valori in {, 0, } sgn, se xt) 0 xt) yt) = Σ[x]t) = 0, se xt) = 0, t R;. Un sistema a tempo discreto trasforma segnali reali in segnali reali. Si sa anche che il segnale xn) = 3 cosn + π ) viene trasformato nel segnale yn) = sin4n π). Il 4 sistema può essere convoluzionale?. Il sistema è causale anzi è statico. Non è lineare: sicuramente sgn αxt) α sgn se α, e xt) 0. Inoltre, Σ[x + x ]t) prende valori in {, 0, } xt) mentre Σ[x ]t) + Σ[x ]t) prende valori in {,, 0,, }. È tempo invariante. Infatti Σ[x]t) = Σ[/x]t) e, se zt) = sgnxt)), allora sgnxt t 0 )) = zt t 0 ). Infine è BIBO-stabile in quanto, indipendentemente dall ingresso x, yt).. Il sistema non può essere convoluzionale perchè cambia la frequenza della sinusoide. Ciò è in conflitto con la proprietà di autofunzione degli esponenziali complessi per tutti i sistemi convoluzionali. Esercizio [punti 6] Il segnale a tempo continuo xt) = cos3t) sint), t R. è l ingresso di un sistema convoluzionale di risposta impulsiva ht) = sint), t R.

2 Si calcoli la corrispondente uscita {yt); t R}. Si ha ω ) Hjω) = rect. 4 Dalla proprietà di traslazione in frequenza, essendo xt) = e j3t + e j3t ) sint), si ottiene Xjω) = Hjω 3)) + Hjω + 3)). Dal teorema di convoluzione, < ω < Y jω) = Hjω)Xjω) = 0, altrimenti Antitrasformando, yt) = cos.5t) sin0.5t). Esercizio 3 [punti 6] Si trovi la serie di Fourier reale del segnale di periodo T = π 3, π < t < 0 xt) = 7, 0 t π xt) = π sint) + 8 3π sin3t) + 8 5π sin5t) +... Esercizio 4 [punti 6] Sia yt) la ripetizione periodica di periodo T = del segnale t, t <, xt) = 0, altrimenti.. Tracciare il grafico di yt).. Si consideri il sistema convoluzionale con risposta impulsiva ht) = xt) come filtro ricostruttore interpolatore). Se si prende come ingresso y p t) = k= yk)δt k), quale segnale di uscita y r t) si ottiene? Si riottiene il segnale yt). Infatti è noto che tale filtro fornisce l interpolazione lineare dei campioni. Alternativamente, visto che yk) = 0 per ogni k dispari e yk) = per ogni k pari, si ha y r t) = xt) y p t) = xt) = xt) l= k= yk)δt k) yl)δt l) = xt) l= δt l) = rep xt).

3 Esercizio 5 [punti 6] In un sistema a tempo discreto LTI convoluzionale e causale, i segnali di ingresso x e di uscita y soddisfano la relazione yn) + 7 yn ) + yn ) = xn).. Trovare la funzione di trasferimento Hz) del sistema;. dire se il sistema è BIBO-stabile, giustificando la risposta; 3. trovare la risposta forzata che corrisponde al segnale d ingresso xn) = ln).. Dall equazione alle differenze, segue che Hz) = +7z +z = 4+z )3+z ).;. visto che i due poli di H si trovano in z <, il teorema fondamentale sulla stabilità dei sistemi associati ad equazioni alle differenze dice che il sistema è BIBO-stabile; 3. osserviamo che Xz) = Zl)z) =. Quindi la trasformata della risposta z ) forzata è Visto che Y f z) = Hz)Xz) = 4 + z )3 + z ) z ) lim ) 4 + z Y f z) = z 4 5, lim 3 + z Y f z) = z 3 4, lim z Y f z) = z 0, vale la decomposizione in frazioni parziali Y f z) = z z + 0 z = + z ) 0 + z 3 )+ 0 z 4 ). Antitrasformando, otteniamo y f n) = [ ) n ) n + ] ln) Esercizio 6 [punti ] Siano x ed y due segnali a tempo discreto collegati dalla relazione x n, se n è pari yn) = 0, se n è dispari

4 Si dimostri che se y è periodico di periodo N 0, allora o y è identicamente nullo oppure N 0 è pari e x è periodico di periodo N 0 /. Supponiamo N 0 dispari e sia n un numero dispari. Allora vale 0 = yn) = yn + N 0 ). Ma n + N 0 è pari e qualsiasi pari si può esprimere come somma di un dispari e di N 0. Ne segue che y è identicamente nullo. Se yn) 0, segue che N 0 deve essere pari. Inoltre vale x m + N ) 0 m + N0 m = x = ym + N 0 ) = ym) = x = xm), m Z, dove abbiamo sfruttato il fatto che m + N 0 è pari e la periodicità di y. Concludiamo che x è periodico di periodo N 0 /.

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