Esercizi sulla convoluzione e la trasformata di Laplace di distribuzioni raccolti dai temi d esame

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1 Esercizi sulla convoluzione e la trasformata di Laplace di distribuzioni raccolti dai temi d esame Esercizio 1 Sia U(p) la funzione, definita in un sottoinsieme di C, U(p) := log p2 + a 2 p 2, dove si è scelta la branca naturale per la funzione logaritmo definita in C \ z R, z }. 1. Determinare il dominio di U e verificare a priori che U è la trasformata di Laplace di qualche distribuzione U D +(R). 2. Derivando U determinare U a meno di una distribuzione dipendente da una costante; 3. Tenendo conto del comportamento asintotico di U, determinare la costante. Esercizio 2 Scrivere la seguente equazione integro-differenziale in (, + ) nell incognita u C 1 (R) tu (t) + u(t) = 2 u(s) sin(t s) ds, t > sotto forma di equazione di convoluzione per la distribuzione U := H(t)u(t) D +(R). Determinare poi tutte le soluzioni distribuzionali di tale equazione e, tra queste, individuare le soluzioni che sono associate ad una funzione u regolare. Esercizio 3 Calcolare le distribuzioni A 1, B 1, inverse rispetto al prodotto di convoluzione in D +(R), delle seguenti A(t) := δ (t) + H(t), B(t) := δ(t) + 2ωH(t) cos(ωt). Esercizio 4 Si consideri la distribuzione A = δ + H D +(R); date una funzione f C (R), mostrare che l equazione di convoluzione nella incognita u C 1 (R) A ( H u ) = δ + H f. equivale al problema di Cauchy in avanti per un equazione integro-differenziale. Trovare la soluzione corrispondente a f. Calcolare infine la soluzione U D +(R) di A U = δ 3. Esercizio 5 Siano X, Y D +(R) due distribuzioni a valori reali e Laplace-trasformabili, che risolvono il sistema X X Y Y =H(t)t cos t 2X Y =H(t)t sin t Posto Z := X + iy, calcolare Z Z e determinare di conseguenza Z, X, Y. -1

2 Esercizio 6 Determinare l unica soluzione u D +(R) dell equazione differenziale d 3 u dt u 3 2d2 dt + d u 2 dt 2u = 2δ Esercizio 7 Si considerino le successioni di distribuzioni Calcolare i limiti in D (R) T n := δ 1/n, S n := n(t n T 2n ). T := lim n T n, S := lim n S n. Sia ora U n D +(R) l unica soluzione dell equazione differenziale U n U n = S n. Dopo aver scritto tale equazione come equazione di convoluzione in D +(R), determinare A D +(R) in modo che U n si possa rappresentare nella forma U n = A S n. Finalmente, calcolare esplicitamente U n e il limite U := lim n U n in D (R). Esercizio 8 Al variare del parametro λ R, determinare la distribuzione U λ D +(R) la cui trasformata di Laplace è p U λ (p) := (p + 1) 2 + λ. È vero che lim λ U λ = U nel senso di L 1 (R)? Esercizio 9 Calcolare la distribuzione T := δ e t. Determinare poi A D +(R) in modo che A T = δ. Esercizio 1 Sia f ε (t) := ε 1 1 (,ε) (t) e u ε la funzione regolare che risolve l equazione u ε(t) + 4u ε (t) 5 Posto U ε (t) := H(t)u ε (t), si determini il limite u ε (s) ds = f ε (t), u ε () =. U (t) = lim ε U ε (t) nel senso delle distribuzioni. Verificare infine che U ε = U f ε. -2

3 Esercizio 11 Sia g una distribuzione a supporto compatto; dimostrare le seguenti affermazioni: 1. Se f è una distribuzione T -periodica, allora f g è T -periodica. 2. Se f risolve l equazione omogenea in D (R) d n dt f + a d n 1 n n 1 dt f + a d n 2 n 1 n 2 dt f a d n 2 1 dt f + a f = allora anche f g la risolve. 3. In particolare, se f è un polinomio, anche f g è un polinomio. Esercizio 12 Sia f ε (t) := ε 1 1 (,ε) (t) e u ε la funzione regolare che risolve l equazione u ε(t) + 2u ε (t) 8 Posto U ε (t) := H(t)u ε (t), si determini il limite u ε (s) ds = f ε (t), u ε () =. U (t) = lim ε U ε (t) nel senso delle distribuzioni. Verificare infine che U ε = U f ε. Esercizio 13 Sia T la trasformazione lineare (filtro) definita in D +(R) che ad ogni segnale causale d ingresso f associa la distribuzione u = T (f) D +(R) soluzione dell equazione u + H(t)e t u = f. 1. Calcolare E := T (δ ) e la sua trasformata di Laplace E = L (E). 2. Mostrare che E(p) < 1 se Re p > 1/2. 3. Si consideri poi la successione di segnali f n costruiti nel modo seguente: si parte da un segnale in ingresso f D +(R) e si chiama f 1 l uscita T (f ); si riprende f 1 come nuovo ingresso e si chiama f 2 l uscita T (f 1 ). Iterando il procedimento si ottiene una successione di segnali f n che soddisfano la relazione ricorrente f n+1 = T (f n ). Si esprima f n come convoluzione a partire da f. 4. Dopo aver calcolato F n := L (f n ), si trovi il limite puntuale di F n (p) e il limite lim n + f n in D +(R). -3

4 Esercizio 14 Per n N sia 1 n la funzione caratteristica dell intervallo ]2nπ, 2(n + 1)π[ e sia sin t se 2nπ < t < 2(n + 1)π, f n (t) := 1 n (t) sin t = altrimenti. 1. Si calcoli g n := f n + f n. 2. Si calcoli la trasformata di Laplace F n (p) di f n. 3. Si calcolino le serie f(t) := n= f n (t), t R, F(p) := n= F n (p), p C, precisando l insieme di convergenza puntuale e indicando se vi è convergenza anche rispetto ad altre nozioni conosciute (ad es. uniforme, distribuzionale, in L 1 (R), etc.). Esercizio 15 Sia T la trasformazione definita in D +(R) che associa ad ogni distribuzione f l unica soluzione u := T (f) D +(R) dell equazione differenziale u 4u = f. Sia S la trasformazione definita in D +(R) che associa ad ogni distribuzione g l unica soluzione v := S(g) D +(R) dell equazione differenziale v + v = g. Calcolare E := T (δ), F := S(δ) e G := T (S(δ)). Verificare che G (iv) 3G 4G = δ. Calcolare finalmente la soluzione del problema di Cauchy in avanti (t > ) w (iv) (t) 3w (t) 4w(t) =, w() =, w () = 1, w () = w () =. Esercizio 16 Determinare quali delle seguenti funzioni della variabile complessa p = x+iy sono trasformate di Laplace di distribuzioni, giustificando accuratamente la risposta: ( ) 1 cos p, e p2, tan p, log(sin p), 1 cosh p, x iy x 2 + y 2. Di tali funzioni antitrasformabili si calcoli poi l integrale complesso lungo la circonferenza Γ di centro l origine e raggio 2π, orientata in senso antiorario. -4

5 Esercizio 17 Per n N chiamiamo 1 n la funzione caratteristica dell intervallo (2 n, 2 n+1 ), definita da 1 se 1 < t < 1, 2 1 n (t) := n 2 n 1 altrimenti. Si considerino le funzioni reali v a (t) := n= a n 1 n (t) dipendenti dal parametro a >. Dire per quali valori di a la funzione v a è trasformabile secondo Laplace, determinare il dominio della sua trasformata di Laplace V a e calcolare V a (). Calcolare infine V a (p) a 2 V a(p/2). (Per quest ultimo calcolo può essere d aiuto ricordare la formula L [u] = U L [u(λt)](p) = 1 U(p/λ), per λ >.) λ Esercizio Per α, β > calcolare la convoluzione ( δ + αδ) ( δ + βδ). 2. Calcolare la soluzione u α S (R) dell equazione differenziale 3. Scrivere l equazione differenziale u α + αu α = δ in R. u (iv) 3u + 2u = δ in R, in forma di equazione di convoluzione e esprimerne la soluzione in termini delle funzioni u α precedentemente calcolate. Esercizio 19 Discutere se le seguenti funzioni della variabile complessa s sono trasformate di Laplace di distribuzioni e, in caso affermativo, calcolarne l antitrasformata: s 4 (s 1)(s + 2), + 2 n= e n + (s n), n= e p/n (s + n), Re s 2 Im s, log s s 2. -5

6 Esercizio 2 In funzione di u R calcolare la soluzione del problema di Cauchy u (t) + 6u (t) + 11u (t) + 6u(t) = sin t, t > ; u() = u, u () =, u () =. Determinare poi l unica funzione periodica v tale che lim u(t) v(t) =, indipendentemente dal valore di u. t + Esercizio 21 Per α R sia T α il filtro che ad una funzione causale v associa la soluzione u α = T α [v] dell equazione integro-differenziale d u dt α(t) + u α (t) + αe t e x u α (x) dx = v(t) per t > ; u(t) per t. Si esprima T α [v] come convoluzione di v con una distribuzione causale e si calcoli quest ultima in funzione del parametro α. Si calcoli T 1 [H(t 3)]. Per quali valori di α il filtro è stabile nella norma di L (R)? Esercizio 22 Calcolare le antitrasformate di Laplace di U(s) := (s 1) 4, V(s) := d ds (e 4s s 2 s 2 2s + 2 Esercizio 23 Sia T il filtro lineare causale che sulle funzioni causali u è definito da T [u] := 2u(t) + Trovare le distribuzioni u 1, u 2 D +(R) tali che T [u 1 ] = δ(t), T [u 2 ] = v(t) = e x/2 u(t x) dx, t > ; n= ). ( 1) n 1 (n,n+1) (t). Si consiglia di disegnare accuratamente v e H v, ricordando che 1 se n t n + 1; 1 (n,n+1) (t) = altrimenti. Esercizio 24 Calcolare i prodotti di convoluzione u := sinc(t α) sinc(t + β), α, β R; v := δ (t) e t rect(t). -6

7 Esercizio 25 Determinare le soluzioni causali e Laplace trasformabili u dell equazione di convoluzione u (t) u(t 1) = H(t 2)(t 2). Esercizio 26 Determinare a priori se i segnali causali u e v, le cui trasformate di Laplace sono rispettivamente s 2 log s U(s) :=, V(s) := (s 1) 2 s, 2 sono funzioni o distribuzioni. Calcolare poi u e v. Esercizio 27 Determinare le soluzioni causali e Laplace trasformabili u dell equazione di convoluzione (attenzione: precisione nei calcoli!) ( δ (t) δ(t π) ) ( δ(t) H(t π) ) u = δ(t) + 2H(t π) cos(t) 1 (,2π) (t) sin t. Esercizio 28 Determinare quali condizioni devono soddisfare û e α R perchè l equazione di convoluzione u sin(πt) = sin(απt) abbia una soluzione u L 1 (R). Esercizio 29 Calcolare il prodotto di convoluzione u(t) := ( δ(t 1) δ(t + 1) ) ( δ(t 2) δ(t + 2) ) ( δ(t 3) δ(t + 3) ). Esercizio 3 Calcolare il prodotto di convoluzione e it t 2. Esercizio 31 Calcolare i prodotti di convoluzione u(t) := δ (t) ( t 2 + t + 2 ), v(t) := H(t)e 2t H(t)e 2t H(t)e 2t H(t)e 2t H(t)e 2t. Esercizio 32 Scrivere il problema di Cauchy in avanti u (t) 2u (t) + u (t) 2u(t) = t >, u() = u () =, u () = 1 come equazione di convoluzione e calcolarne la soluzione u; esprimere poi tramite un opportuno integrale la soluzione dell equazione v (t) 2v (t) + v (t) 2v(t) = f(t) t >, v() = v () = v () = dipendente da una generica funzione continua f. -7