5.7 Esercizi (V Settimana)

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1 5.7 Esercizi (V Settimana) Esercizi (V Settimana) 5.7. Sia data f :(R 3 ) (R 3 ) da f(a,b,c) =(a + b, b, a + b + c). Si scriva la f sotto forma del prodotto di un vettore riga per una matrice A;. Calcolare il determinante di A; 3. A èinvertibile?sesì,invertirla. (Cf. Chissà chi lo sa.0, p.5) 5.7. Nello spazio siano date le rette r e s rispettivamente di equazione x + y z = 3x + y + z = r : x + y + z = s :. Verificare che le rette r ed s non hanno punti in comune;. Stabilire se le rette r ed s sono parallele o sghembe; 3. Determinare l equazione di uno stesso piano π contenente sia r che s;. Discutere, al variare di h R la posizione relativa delle rette r e hx + y z = t h := (Cf. Chissà chi lo sa.0, p.6) Sia dato il sistema x + 3y = 0 3x 3y z = 0 x + hz = 0. Discutere le soluzioni del sistema al variare di h R;. Posto h =, trovare una base dello spazio delle soluzioni; 3. Si considerino ora i piani α : x + 3y = 0 β : 3x 3y z = 0 γ h : x + hz = 0 al variare di h R. Senza fare ulteriori calcoli (ma sfruttando i risultati ottenuti in precedenza), discutere, al variare di h R,leposizionerelativedeitrepianie trovarne gli eventuali punti comuni. (Cf. Chissà chi lo sa.0, p.7)

2 5.7 Esercizi (V Settimana) Esercizi (V Settimana) 5.7. Sia data f :(R 3 ) (R 3 ) da f(a,b,c) =(a + b, b, a + b + c). Si scriva la f sotto forma del prodotto di un vettore riga per una matrice A;. Calcolare il determinante di A; 3. A èinvertibile?sesì,invertirla. (Cf. Chissà chi lo sa.0, p.5) 5.7. Nello spazio siano date le rette r e s rispettivamente di equazione x + y z = 3x + y + z = r : x + y + z = s :. Verificare che le rette r ed s non hanno punti in comune;. Stabilire se le rette r ed s sono parallele o sghembe; 3. Determinare l equazione di uno stesso piano π contenente sia r che s;. Discutere, al variare di h R la posizione relativa delle rette r e hx + y z = t h := (Cf. Chissà chi lo sa.0, p.6) Sia dato il sistema x + 3y = 0 3x 3y z = 0 x + hz = 0. Discutere le soluzioni del sistema al variare di h R;. Posto h =, trovare una base dello spazio delle soluzioni; 3. Si considerino ora i piani α : x + 3y = 0 β : 3x 3y z = 0 γ h : x + hz = 0 al variare di h R. Senza fare ulteriori calcoli (ma sfruttando i risultati ottenuti in precedenza), discutere, al variare di h R,leposizionerelativedeitrepianie trovarne gli eventuali punti comuni. (Cf. Chissà chi lo sa.0, p.7)

3 5.7 Esercizi (V Settimana) 9. A := 3 6 A = A 3 = 3 6 a b. 6 7 B := 3 B = 5 cos φ sin φ a sin φ cos φ b B 3 = cos φ sin φ 0 sin φ cos φ 0 a b dove a,b sono parametri reali. Si consiglia di ridurre le matrici prima di calcolarne il determinante Siano dati i seguenti vettori riga e colonna: u = ; u = ; u 3 = ; v =(,,6,8) e v =(0,,0,8) 5 0 Calcolare i seguenti determinanti. u (u + u ) v T vt. (v t + u ) (u + u 3 ) v T u 3; 3. u T + v v u T + ut u T 3 ; e t + et + et 3 v u T + ; ut u T 3 + et e t + et + et 3 v u T + ; ut u T 3 + 3eT Sia data la famiglia di matrici 0 k A k :=, k k R. Determinare il rango di A k al variare di k R;. Risolvere in R il sistema lineare omogeneo avente matrice A 0,determinandone esplicitamente una base dello spazio delle soluzioni; 3. Nello spazio affine siano dati i piani α, β k,γ, δ k rispettivamente d equazioni α : x + y + z + = 0, β k : y + kz + = 0,

4 50 5 Riduzione di matrici e Rango γ : x + y + z + = 0, δ k : z + k = 0. Stabilire per quali valroi di k R l intersezione α β k γ δ k = Ridurre sia per righe che per colonne la matrice Trovare l inversa della matrice quadrata 3 3 col metodo delle trasformazioni elementari di riga e di colonna. (Cf. Chissà chi lo sa.0, p.87) Sia data la matrice Trovare le controimmagini dei vettore C (A) = 3 e C 3 (A) = 0. Identificando A con una applicazione lineare da R R 3,trovarelecontroimmagini di C := 3 3. trovare almeno un vettore che non possieda controimmagine.. Ridurre la matrice A per riga; 5. Risolvere il sstema lineare 3 (M b) = einterpretarnegeometricamenteilrisultato.

5 5.7 Esercizi (V Settimana) Sia data la matrice Si calcoli il determinante;. Si calcoli l inversa col metodo di trasformazioni di righe e colonne; 3. Si calcoli l inversa con l istruzione inv di MATLAB ;. Si calcoli il polinomio p A (t) che risulta dall espansione determinante della matrice A(t) :=A t = t 3 3 t 3 t 5. Calcolare p A (A), ossialamatricechesiottienesostituendoa in luogo di t nel polinomio p A (t). 6. Per controllare i vostri risultati usate MATLAB, definendo la matrice A e la matrice edefinendounavariabileconlafunzione sym. 7. Qual è la controimmagine del vettore nullo pensando A come applicazione da R 3 R 3? Svolgere tutti gli esercizi di riduzione di matrici contenuti nel (Cf. Chissà chi lo sa.0.