UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Facoltà di Scienze MM. FF. e NN.

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1 A.A. 213/214 2 Novembre 213 I esercitazione Esercizio 1. Dato il problema di Cauchy ( e y ) arctan 3y 5 y = 2 sin (1) 2 x 2, 1 + x 2 y() = 1, (b) provare che la soluzione y di (3) è definita in tutto R e studiare la monotonia della soluzione; (c) calcolare lim x y(x) e lim x y(x); (d) tracciare un grafico qualitativo della soluzione. Esercizio 2. Dato il problema di Cauchy y = y2 e 1/(x2 +1) 1 + sinh x + ( (2) 8 y3 2 cosh 2 y 2 + sin 2 y 2), y() = 4, (b) provare che la soluzione y di (2) è positiva e studiare la monotonia della soluzione; (c) dedurre da (b) che y non può essere definita in tutto R ma in (, β), β R + ; (d) calcolare lim x y(x) e lim x β y(x); Esercizio 3. Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy y 1 ( π ) + (x 2 + 1) arctan x y = 2x, y = π Esercizio 4. Determinare l integrale generale della seguente equazione differenziale y = cos 2 y(cos 2 x + 2 sin 2 x 3) sin x.

2 A.A. 213/ Gennaio 214 II parte Esercizio 1. Trovare la temperatura u(x, t) di un asta metallica omogenea di lunghezza cm. 2, avente α = 1, temperatura iniziale data da x x 1 + x + 2 e i cui estremi sono tenuti a temperatura costante di 2 C e 4 C per ogni t >. Dall espressione della soluzione, dedurre poi la somma della serie ( 1) k 2k + 1 k= k=1 ( 1) k (2k + 1) 3 = π3 /32. cosh x 1 < x < 1 x 1 x 1. (e 2 1) cos t + (e 2 + 1)t sin t 1 + t 2 cos t dt. Esercizio 3. Stabilire il comportamento della seguente serie ( ) log 1 + 3n4 + n 2 cos n 2 1. n 7 + 3n n=1

3 A.A. 213/ Gennaio 214 Esercizio 1. Trovare la temperatura u(x, t) di un asta metallica omogenea di lunghezza cm. 2, avente α = 1, temperatura iniziale data da x x 1 + x + 2 e i cui estremi sono tenuti a temperatura costante di 2 C e 4 C per ogni t >. Dall espressione della soluzione, dedurre poi la somma della serie ( 1) k 2k + 1 k= k=1 ( 1) k (2k + 1) 3 = π3 /32. cosh x 1 < x < 1 x 1 x 1. (e 2 1) cos t + (e 2 + 1)t sin t 1 + t 2 cos t dt. Esercizio 3. Dato il problema di Cauchy y log(y 4 + 1) = (3) e 2x2 cosh x 2 + y 4 + 1, y() = 1, (b) provare che la soluzione y di (3) è definita in tutto R e che y(x) > in R; (c) studiare la monotonia della soluzione; (d) calcolare lim x y(x) e lim x y(x);

4 A.A. 212/ Febbraio 214 II parte Esercizio 1. Data la funzione definita in R da x 3, x [ 2, 2[ f(x + 4) = f(x), (a) scrivere la serie di Fourier di f; (b) stabilire se la serie di Fourier converge a f totalmente; (c) dedurre da (a) la somma della serie ( 1) n (2n + 1), 3 n= n=3 ( 1) n 2n + 1 = π 4, (1 x ) 2 x < 1, x 1. x sin x x 3 cos x 2 dx. Esercizio 3. Stabilire il comportamento delle seguenti serie [ ] n 5 3n 4 + 2n 2 e n2 1 1 cos. 5n 6 + 3n 5 n 2 + arctan(n 1) n=1

5 A.A. 213/ Febbraio 214 Esercizio 1. Data la funzione definita in R da x 3, x [ 2, 2[ f(x + 4) = f(x), (a) scrivere la serie di Fourier di f; (b) stabilire se la serie di Fourier converge a f totalmente; (c) dedurre da (a) la somma della serie ( 1) n (2n + 1), 3 n= n=3 ( 1) n 2n + 1 = π 4, (1 x ) 2, x < 1,, x 1. x sin x x 3 cos x 2 dx. Esercizio 3. Dato il problema di Cauchy y (y 2 1)e x 2 1+x = arctan x 4 + cosh y, 2 y() =, (b) provare che la soluzione è definita in tutto R; (c) studiare la monotonia della soluzione e l eventuale simmetria; (d) calcolare lim y(x) e lim y(x); x x