Analisi Matematica II 20062/23033 Ing. Edile/Meccanica Prova scritta completa 27/01/2015

Transcript

1 Analisi Matematica II 20062/23033 Ing. Edile/Meccanica Prova scritta completa 27/0/205 (9 crediti) Esercizio. Si verifichi se nel punto (0, 0) la funzione 3 ye y 2 /x 4 se x 0 f (x, y) = 0 se x = 0, è continua, derivabile lungo ogni direzione, soddisfa la formula del gradiente, è differenziabile. Soluzione. Poiché f (x, y) 3 y e lim (x,y) (0,0) 3 y = 0, f (x, y) è continua in (0, 0). Sia v = (α, β). Se α 0, allora f (αt, βt) f (0, 0) D v f (0, 0) t 0 Se invece α = 0, allora 3 βte β 2 /t 2 α β e β 2 /t 2 α 2 = 0. t 2/3 f (αt, βt) f (0, 0) 0 0 D v f (0, 0) = 0. In particolare f/ x (0, 0) = 0 e f/ y (0, 0) = 0, per cui f (0, 0) = (0, 0). Vale la formula del gradiente perché f (0, 0) v = (0, 0) (α, β) = 0 = D v f (0, 0). Infine, f (x, y) è differenziabile in (0, 0) se e solo se f (s, t) f (0, 0) f (0, 0) (s, t) lim = 0. (s,t) (0,0) s2 + t 2 Dalla restrizione lungo la parabola t = s 2 si ottiene ( f ) s, s 2 f (0, 0) f (0, 0) (s, s 2) lim s 0 + s2 + s 4 La funzione non è differenziabile in (0, 0). s 0 + s 2/3 e s + s 2 = +.

2 Esercizio 2. Si determinino gli eventuali punti di massimo e minimo relativi e assoluti della funzione f (x, y) = x 3 (y x) 2 sul suo dominio. Soluzione. La funzione f (x, y) è continua su R 2 ed è di classe C su R 2 \ {y = x}. I punti stazionari su R 2 \ {y = x} sono dati dalle soluzioni del sistema f (x, y) = (0, 0), (y x) 2/3 2 3 x (y x) /3 = (y 53 ) x (y x) /3 = x (y x) /3 = 0, che però non ammette soluzioni in R 2 \ {y = x}. Resta da stabilire la natura dei punti della bisettrice {y = x}. Poiché f (x, x) = 0 e f (x, y) 0 per x > 0, mentre f (x, y) 0 per x < 0, abbiamo che i punti (x, x) sono di minimo relativo per x > 0, di massimo relativo per x < 0 e di sella per x = 0. Infine, poiché f (x, 0) = x 5/3 tende a ± per x tendente a ±, f (x, y) non ha estremanti assoluti. Esercizio 3. Per ogni valore del parametro A (0, π), determinare la serie di Fourier della funzione 2π-periodica f (x), definita nell intervallo [ π, π) da se x [ A, A] f (x) = 2A 0 altrimenti. Calcolare la somma della serie nel punto x = 0. Soluzione. I coefficienti b k sono nulli perché la funzione f (x) è pari. Inoltre a 0 = π a k = π A A A A Dunque la serie di Fourier di f (x) è 2A dx = π 2A cos (kx) dx =, se k 0. πka Sf (x) = 2π + + k= πka cos (kx). Poiché f (x) è una funzione regolare a tratti, ed è continua in 0, segue che Sf (0) = f (0) = /2A. Dunque 2A = + 2π + k= πka.

3 Esercizio 4. Determinare l integrale generale dell equazione lineare del secondo ordine (equazione di Bessel di ordine /2) y + ( x y + ) 4x 2 y = 0. Suggerimento: sostituire la funzione incognita y (x) con y (x) = z (x) x e risolvere l equazione nella nuova funzione incognita z (x). Soluzione. Da y = zx /2 segue y = z x /2 2 zx 3/2 e y = z x /2 z x 3/ zx 5/2. Sostituendo i valori trovati nell equazione, si ottiene z x /2 + zx /2 = 0. Poiché cerchiamo soluzioni in (0, + ) o in (, 0), possiamo moltiplicare per x /2, ottenendo l equazione z + z = 0, il cui integrale generale è L integrale generale cercato è dunque z (x) = A cos x + B sin x. y (x) = A cos x x + B sin x x sugli intervalli (0, + ) e (, 0). Esercizio 5. Si verifichi che per ogni punto (x 0, y 0 ) D = { (x, y) R 2 : 2ye y + x 0 } il problema di Cauchy y = 2ye y + x y (x 0 ) = y 0 ammette soluzione unica locale. Si consideri la funzione F (x, y) = xe y y 2. Verificare che per ogni punto (x 0, y 0 ) D l equazione F (x, y) = F (x 0, y 0 ) definisce implicitamente una funzione di classe C, y = g (x) in un intorno di (x 0, y 0 ). Verificare che g (x) è una soluzione del problema di Cauchy. Scrivere lo sviluppo di Taylor al secondo ordine con centro in x 0 della soluzione del problema con (x 0, y 0 ) = (0, ). Soluzione. Poiché f (x, y) = 2ye y + x è di classe C (D), il teorema di esistenza e unicità locale garantisce l esistenza e l unicità locale della soluzione del problema dato. La funzione F (x, y) è di classe C ( R 2). Inoltre, y (x, y) = xe y 2y 0 per ogni (x, y) D. Segue dal teorema del Dini che per ogni punto (x 0, y 0 ) D l equazione F (x, y) = F (x 0, y 0 ) definisce implicitamente una funzione di classe C, y = g (x) in un intorno di (x 0, y 0 ). Inoltre, g x (x) = y (x, y) = e y (x, y) xe y 2y = x + 2ye y. Dunque y = g (x) è una soluzione locale del problema di Cauchy. Per lo sviluppo di Taylor di g (x) occorre g (x) : ( g (x) = (g (x)) = x + 2ye y ) = ( + 2y e y + 2yy e y ) (x + 2ye y ) 2.

4 Figura 5.: La funzione F (x, y), con alcuni insiemi di livello. Dunque, posto (x 0, y 0 ) = (0, ), abbiamo g (0) = g (0) = e = 2e da cui g (x) = + 2e x 3 8e 2 x 2 + o ( x 2). g (0) = ( + 2 2e e + 2 2e e) (2e) 2 = 3 4e 2, Esercizio 6. Verificare che la trasformazione di coordinate (coordinate sferoidali prolate) x = sinh α sin β cos ϕ y = sinh α sin β sin ϕ z = cosh α cos β è un diffeomorphismo locale su D = { (α, β, ϕ) R 3 : α > 0, 0 < β < π }. Disegnare approssimativamente il sostegno della superficie descritta dai punti (x, y, z) quando α =, 0 β π, 0 ϕ 2π. Si ricorda che: cosh x = (e x +e x )/2, sinh x = (e x e x )/2, cosh 2 x sinh 2 x =, cosh x = sinh x e sinh x = cosh x. Soluzione. Per il teorema della funzione inversa, la trasformazione di coordinate è un diffeomorfismo locale su D se la sua matrice Jacobiana è invertibile. Dunque cosh α sin β cos ϕ sinh α cos β cos ϕ sinh α sin β sin ϕ det J = det cosh α sin β sin ϕ sinh α cos β sin ϕ sinh α sin β cos ϕ sinh α cos β cosh α sin β 0 = sinh α cos β ( sinh 2 α cos β sin β ) + cosh α sin β ( cosh α sinh α sin 2 β ) = sinh α sin β ( cos 2 β sinh 2 α + sin 2 β cosh 2 α ) = sinh α sin β ( sinh 2 α + sin 2 β ) > 0 in D. La superficie ottenuta per α = è un ellissoide di rotazione, ottenuto facendo ruotare attorno all asse z l ellisse di semiassi cosh e sinh, di equazioni { x = sinh α sin β z = cosh α cos β.

5