D : 0 E : arctan 2 1 F : 2 arctan 1. 3y + 3y y = 0 y(0) = 3 y (0) = 0.

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1 Analisi Matematica B 31 marzo 003 Compito 1 1. L integrale 1 x arctan( 1 x ) dx vale Risp.: A : arctan 1 1 B : C : arctan 1 3 D : 0 E : arctan 1 F : arctan 1 + arctan 1. Sia ỹ(x) la soluzione del problema di Cauchy Allora ỹ(1) vale y 3y + 3y y = 0 y(0) = 3 y (0) = 0 y (0) = 0. Risp.: A : 0 B : 3 e C : 3e D : 3 E : F : e 3 3. Sia f : R R la funzione definita da f(x, y) = x e 7y e sia v = (v 1, v ) un versore di R. Allora risulta (1, 1) = 0 se e soltanto se f v Risp.: A : v 1 = 8v B : v 1 = 1, v = 0 C : v 1 = 7v D : v 1 = 0, v = 1 E : v 1 = 1, v = 1 F : v 1 = 1, v = 4. Sia f : R R la funzione definita da f(x, y) = x 4 + y 4 4xy. Allora i punti P 1 = (0, 0) e P = (1, 1) sono per f Risp.: A : P 1 di sella, P di sella B : P 1 non è stazionario, P di minimo C : P 1 di massimo e P non è stazionario D : P 1 di sella, P di massimo, E : P 1 di sella, P di minimo F : P 1 di massimo, P di minimo 5. Si consideri la funzione g(x, y) = x cos πy nel dominio A = [0, 1] [0, 1]. Definendo M = max g(x, y), (x,y) A m = min g(x, y), si ha che (x,y) A Risp.: A : m = 1, M = 1 B : m = 0, M = C : m = 0, M = 1 D : m =, M = E : m = 1, M = F : m = 1, M = 0 6. Data la curva Γ di rappresentazione parametrica r (t) = 3(cos t + sin t) i 1 + 3(sin t cos t) i, 0 t π, il versore tangente a Γ nel punto (x 0, y 0 ) = (3, 3) corrispondente a t 0 = π è Risp.: A : ( 1 1, ) B : (1, 0) C : ( 3, 1 ) D : (, 1) E : (0, 1) F : (1, ) 7. Calcolare l integrale curvilineo 3xds, dove Γ è la curva di equazioni parametriche x = (cos t), y = (sin t) con 0 t π. Risp.: A : B : 3 C : D : 3 E : 3 F : 1 4 e3 8. Calcolare l integrale curvilineo Γ Γ e x +y (xdx + ydy), nel primo quadrante e percorso in senso antiorario. dove Γ è l arco di ellisse di equazione x + y 3 = 1 contenuto Risp.: A : e B : (e 3 + e ) C : e D : 1 (e3 e ) E : 3 F : 1 4 (e3 1)

2 9. Sia F = (F 1, F ) : A R R un campo vettoriale di classe C su A aperto connesso. Sia B A semplicemente connesso; se F 1 y (x, y) = F (x, y) x (x, y) A, allora delle seguenti affermazioni (a) F è un gradiente in A (b) F è un gradiente in B (c) Γ 1 F dγ1 = 0 per ogni curva chiusa Γ 1 a valori in A (d) Γ F dγ è indipendente dalla traiettoria per ogni curva Γ a valori in B (e) F1 e F sono differenziabili in A le uniche corrette sono Risp.: A : a c e B : a b c C : a c d D : b c e E : a b d F : b d e 10. L integrale doppio 7 T x 3 y x + y dxdy Risp.: A : B : 5 C : 3 D : 3 4 E : 1 64 F :, dove T = {(x, y) R : 1 x + y, 0 y x} vale

3 Cognome e nome Firma Corso di Laurea: per l ambiente e il territorio ; dell automazione industriale; civile; gestionale; dell informazione; dei materiali; meccanica. Analisi Matematica B 31 marzo 003 Compito 1 Istruzioni. 1. COMPILARE la parte soprastante la prima riga continua. In particolare, scrivere cognome e nome in stampatello e la firma sopra la riga punteggiata e segnare il corso di laurea.. SEGNARE nelle due tabelle riportate in questa pagina, in modo incontrovertibile, la lettera corrispondente alla risposta scelta per ognuna delle domande riportate nel foglio allegato; in caso di correzione, apporre un SI vicino alla risposta scelta. 3. PUNTEGGI: risposta esatta = +3; risposta sbagliata = 0.5; risposta non data = PROIBITO usare libri, quaderni, calcolatori. 5. CONSEGNARE solo questo foglio. 6. TEMPO a disposizione: 150 min. Risposte relative ai fogli allegati

4 31 marzo 003 ANALISI MATEMATICA B RISULTATI Es.1 Es. Es.3 Es.4 Es.5 Compito 1 F B C E E Compito C F E A B Compito 3 B C A D C Compito 4 F B D F E Compito 5 D F F B B Compito 6 B C B C C Es.6 Es.7 Es.8 Es.9 Es.10 Compito 1 A D D F A Compito D B B C E Compito 3 F F E B C Compito 4 B D D E B Compito 5 C B A D E Compito 6 E F F A C

5 Analisi Matematica B 14 aprile 003 Compito 1 1. L integrale 7 log e x ex 1 dx vale Risp.: A : 3 (e7 1) 3/ + (e 7 1) 1/ 8 3 B : 3 (e7 1) 3/ C : (e 7 1) 1/ D : (e 7 1) 1/ + (e 7 5) 1/ E : 8 3 F : 0. Sia ỹ(x) la soluzione del problema di Cauchy { y = x y + x Allora lim x ỹ vale y(0) = 1. Risp.: A : 3 B : 0 C : 1 D : + E : 3 F : e 3 3. Sia f la funzione definita da f(x, y) = y x + log(3x) + 7. Allora il dominio di f è dato da 1 x y Risp.: A : un semicerchio B : un quarto di cerchio C : un semipiano D : un ottavo di cerchio E : una corona circolare F : la parte di piano esterna a un cerchio 4. Sia f : R R la funzione definita da f(x, y) = 1 6 y3 + 1 x + xy + 1x. Allora essa ammette Risp.: A : un punto di massimo relativo e un punto di sella B : due punti di massimo relativo C : due punti di minimo relativo D : due punti di sella E : nessun punto stazionario F : un punto di minimo relativo e un punto di sella 5. Si consideri la funzione g(x, y) = x + y 1 nel dominio A = {(x, y) R : x + y }. Definendo M = g(x, y), si ha che max (x,y) A Risp.: A : M = 1 B : M = 3 C : M = D : M = 4 E : M = 0 F : M = 5 6. Data la curva Γ di rappresentazione parametrica r (t) = 3(t cos t + sin t) i 1 + 3(t sin t cos t) i, 0 t π, il versore tangente a Γ nel punto (x 0, y 0 ) = (0, 3) corrispondente a t 0 = 0 è Risp.: A : (1, 0) B : (3, 0) C : ( 3, 1 ) D : ( 1, 1 ) E : ( 1, 1 ) F : (1, 1) 7. Calcolare l integrale curvilineo percorsa in senso antiorario. Γ 1 x dx + xdy, Risp.: A : π B : 3 π C : π D : 3π E : π F : 1 3 dove Γ è l arco di ellisse di equazione x + y 4 8. Sia F : R + R R definito da ( ) ) yx α i F (x, y) = 1 + x + arctan y 1 + (log(1 + x ) + xα i 1 + y, con α R. Allora F ha integrale curvilineo indipendente dalla traiettoria se e solo se Risp.: A : α = B : α = 1 C : α = 1 D : α = E : α = 3 F : α = 0 = 1, x 0, 9. Sia f : A R n R una funzione differenziabile in A. Sia x 0 A un punto di massimo assoluto interno ad A per f. Allora delle seguenti affermazioni (a) x 0 è un punto di massimo relativo per f (b) esiste almeno un punto x 1 A di minimo assoluto per f (c) esiste almeno un punto x A di minimo relativo per f (d) x 0 è un punto stazionario per f (e) f è continua in A le uniche corrette sono Risp.: A : a c e B : a b c C : a c d D : a d e E : b c e F : a b d 10. L integrale doppio T 3x x y + 1 dxdy, dove T = {(x, y) R : 0 x 1, y x y + 1} vale Risp.: A : log 4 B : log 3 C : log D : 3 log 3 E : 0 F :

6 Cognome e nome Firma Corso di Laurea: per l ambiente e il territorio ; dell automazione industriale; civile; gestionale; dell informazione; dei materiali; meccanica. Analisi Matematica B 14 aprile 003 Compito 1 Istruzioni. 1. COMPILARE la parte soprastante la prima riga continua. In particolare, scrivere cognome e nome in stampatello e la firma sopra la riga punteggiata e segnare il corso di laurea.. SEGNARE nelle due tabelle riportate in questa pagina, in modo incontrovertibile, la lettera corrispondente alla risposta scelta per ognuna delle domande riportate nel foglio allegato; in caso di correzione, apporre un SI vicino alla risposta scelta. 3. PUNTEGGI: risposta esatta = +3; risposta sbagliata = 0.5; risposta non data = PROIBITO usare libri, quaderni, calcolatori. 5. CONSEGNARE solo questo foglio. 6. TEMPO a disposizione: 150 min. Risposte relative ai fogli allegati

7 14 aprile 003 ANALISI MATEMATICA B RISULTATI Es.1 Es. Es.3 Es.4 Es.5 Compito 1 A C D F B Compito B A E C D Compito 3 C F B D E Compito 4 A D E F C Compito 5 C B E F E Compito 6 D F B E A Es.6 Es.7 Es.8 Es.9 Es.10 Compito 1 A E B D C Compito F E C B B Compito 3 C B A F E Compito 4 A F A E C Compito 5 B D C C A Compito 6 C E A F E

8 Analisi Matematica B settembre 003 Compito 1 1. L integrale e 1 1 x 1 log x dx vale Risp.: A : 3 B : e 3 C : π D : 3 E : 3π F : log. Sia ỹ(x) la soluzione del problema di Cauchy Allora ỹ(1) vale y + y = 3x y(0) = 0 y (0) = 6. Risp.: A : 4 B : 1 C : 0 D : 5 E : 1 4 F : 1 3. Sia f : A R R definita da f(x, y) = y arcsin x + π 3xy. Allora f( 1 9, ) vale Risp.: A : (, π 36 + π 3) F : (3 π, π 41 + π 3 ) B : ( 3 π, π 36 + π 3) C : ( 3 π, π 3) D : ( π 3, π 36 + π 18 3) E : ( π 3, π 36 ) 4. Sia f : R R la funzione definita da f(x, y) = (x y) cos(πx) + 7. Quanti punti stazionari ammette la funzione f nell insieme A = {(x, y) R : x <, y < }? Risp.: A : B : 1 C : 3 D : 6 E : 0 F : 4 5. Si consideri la funzione g(x, y) = x + y x y nel quadrato A = {(x, y) R : 0 x, 0 y }. Definendo M = max g(x, y), m = min g(x, y), si ha che (x,y) A (x,y) A Risp.: A : m =, M = B : m =, M = 0 C : m = 1, M = 1 D : m = 0, M = 1 E : m = 1, M = 4 F : m = 3, M = 3 6. Data la curva Γ di rappresentazione parametrica r (t) = (cos t) i1 + (sin t) i, 0 t π, la lunghezza della curva è Risp.: A : 3π B : π C : D : 3 E : 4 F : 4 7. Calcolare l integrale curvilineo 1, x 0, y 0} percorsa in senso antiorario. Γ xe x +y ds, dove Γ è la frontiera del settore circolare {(x, y) R : x +y Risp.: A : 4π B : eπ C : (e + 1) D : (e + 1) E : 3π F : 3(e + ) 1 8. Calcolare l integrale curvilineo Γ 1 + x dx + 1 dy, dove Γ è l arco di circonferenza di centro l origine e raggio + y 1, che unisce i punti A(1, 0) e B(0, 1) percorso in senso antiorario. Risp.: A : 0 B : log 3 π 4 C : log 3 π 3 D : log 3 π 4 E : log 4 3 π 3 F : log 9. Sia f : A R n R con A aperto. Sia f C 1 (A) con f x j affermazioni C 0 (A), per ogni j = 1,, n. Allora delle seguenti (a) f è differenziabile in A (b) f è continua in A (c) f ammette tutte le derivate direzionali in ogni x 0 A (d) f ammette massimo assoluto in A (e) f ammette minimo assoluto in A (f) i, j = 1,, n con i j, f x i x j = f x j x i in A le uniche corrette sono Risp.: A : a b c B : a c d C : a b e D : a c d f E : a d e f F : b c d e ( ) y 10. L integrale doppio xy exp T x + y dxdy, dove T = {(x, y) R : x 0, y 0, 1 x + y 4} vale Risp.: A : e 3 B : 15 8 (e 3) C : 15 8 (e 1) D : 1 8 (e 1) E : 15 8 e F : 15 8 (e + )

9 Cognome e nome Firma Corso di Laurea: per l ambiente e il territorio ; dell automazione industriale; civile; gestionale; dell informazione; dei materiali; meccanica. Analisi Matematica B settembre 003 Compito 1 Istruzioni. 1. COMPILARE la parte soprastante la prima riga continua. In particolare, scrivere cognome e nome in stampatello e la firma sopra la riga punteggiata e segnare il corso di laurea.. SEGNARE nelle due tabelle riportate in questa pagina, in modo incontrovertibile, la lettera corrispondente alla risposta scelta per ognuna delle domande riportate nel foglio allegato; in caso di correzione, apporre un SI vicino alla risposta scelta. 3. PUNTEGGI: risposta esatta = +3; risposta sbagliata = 0.5; risposta non data = PROIBITO usare libri, quaderni, calcolatori. 5. CONSEGNARE solo questo foglio. 6. TEMPO a disposizione: 150 min. Risposte relative ai fogli allegati

10 settembre 003 ANALISI MATEMATICA B RISULTATI Es.1 Es. Es.3 Es.4 Es.5 Compito 1 C A D F B Compito A D B C E Compito 3 B E A F C Compito 4 B C D E C Compito 5 A F C C F Compito 6 C E A D B Es.6 Es.7 Es.8 Es.9 Es.10 Compito 1 E C B A C Compito D A F B D Compito 3 A D C E F Compito 4 F C D F A Compito 5 D B E B D Compito 6 A D F C F

11 Analisi Matematica B 16 settembre 003 Compito 1 1. Sia F(t) la primitiva di f(t) = 4t (1+t ) tale che lim F(t) = 3. Allora F(0) vale t + Risp.: A : B : 4 C : 7π D : 0 E : 3π + 1 F : 1. Sia ỹ(x) la soluzione del problema di Cauchy Allora lim ỹ(x) vale x { y y(1 + e x ) = e x y(0) =. Risp.: A : B : 1 C : 4 log D : log E : 0 F : + 3. Sia f la funzione definita da f(x, y) = 1 (cos(πx)) 3xy + 3 log(x y) + 7. Allora il dominio di f è dato da: Risp.: A : metà del primo quadrante e metà del quarto quadrante B : metà del terzo quadrante e metà del secondo quadrante C : il primo quadrante D : metà del primo quadrante e metà del terzo quadrante E : il secondo quadrante F : il primo e il secondo quadrante 4. Sia f : R R la funzione definita da f(x, y) = x 3 y 7xy. Allora essa ammette Risp.: A : tre punti di sella B : due punti di sella e uno di minimo C : due punti di massimo e uno di sella D : tre punti di massimo E : tre punti di minimo F : un punto di sella, un punto di minimo e uno di massimo 5. Si consideri la funzione g(x, y) = x y xy + xy nel dominio A = {(x, y) R : x 0, y 0, x y 1}. Definendo M = max g(x, y), m = min g(x, y), si ha che (x,y) A (x,y) A Risp.: A : m = 0, M = 3 B : m = 1 7, M = 0 C : m = 1, M = 1 D : m = 1 3, M = 0 E : m = 1, M = 4 F : m =, M = 3 6. Data la curva Γ di rappresentazione parametrica r (t) = 4(cos t) i1 + (cos t + sin t) i, 0 t π, la lunghezza della curva è Risp.: A : 9π B : 4π C : π D : π 4 E : F : 4π 7. Calcolare l integrale curvilineo y(t) = sin log t con 1 t e. Γ xyds, dove Γ è la curva di equazioni parametriche x(t) = cos log t, Risp.: A : 3 B : 1 4 e3 C : 1 4 (1 cos 4) D : 1 cos 4 E : 1 4 F : 1 4 log ( ) xy 8. Calcolare l integrale curvilineo dx + 3y x Γ y x y x + 1 dy, dove Γ è la poligonale di vertici A = (0, 1), B = ( 1, ), C(1, ) percorsa da A verso C. Risp.: A : 3 B : 0 C : 4 D : E : 1 F : 3 9. Sia f : A R 3 R; sia x 0 R 3 un punto stazionario per f tale che esista un suo intorno I per cui f C (I). Sia H la matrice hessiana di f in x 0 e λ 1, λ, λ 3 i relativi autovalori. Allora delle seguenti implicazioni (a) λ 1 = λ = λ 3 = 1 x 0 è un punto di minimo relativo per f (b) λ 1 = λ = 1 e λ 3 = 0 x 0 è un punto di minimo relativo per f (c) λ 1 = λ = 1 e λ 3 = 0 è un caso dubbio (d) λ 1 = 1, λ = 1 e λ 3 = 0 è un caso dubbio (e)λ 1 = λ = 1 e λ 3 = 1 x 0 è un punto di sella per f (f) λ 1 = λ = λ 3 = 1 x 0 è un punto di sella per f le uniche corrette sono Risp.: A : a c e B : a b d C : a c d D : a b f E : b d e f F : b e f

12 10. L integrale doppio T (x y) 1 + (x y) dxdy, dove T = {(x, y) R : 0 x, 0 x y } vale Risp.: A : arctan B : 3 C : arctan D : 3 ( arctan ) E : F : ( arctan )

13 Cognome e nome Firma Corso di Laurea: per l ambiente e il territorio ; dell automazione industriale; civile; gestionale; dell informazione; dei materiali; meccanica. Analisi Matematica B 16 settembre 003 Compito 1 Istruzioni. 1. COMPILARE la parte soprastante la prima riga continua. In particolare, scrivere cognome e nome in stampatello e la firma sopra la riga punteggiata e segnare il corso di laurea.. SEGNARE nelle due tabelle riportate in questa pagina, in modo incontrovertibile, la lettera corrispondente alla risposta scelta per ognuna delle domande riportate nel foglio allegato; in caso di correzione, apporre un SI vicino alla risposta scelta. 3. PUNTEGGI: risposta esatta = +3; risposta sbagliata = 0.5; risposta non data = PROIBITO usare libri, quaderni, calcolatori. 5. CONSEGNARE solo questo foglio. 6. TEMPO a disposizione: 150 min. Risposte relative ai fogli allegati

14 16 settembre 003 ANALISI MATEMATICA B RISULTATI Es.1 Es. Es.3 Es.4 Es.5 Compito 1 F C D A B Compito A E F D C Compito 3 C B A E E Compito 4 F C C B B Compito 5 A E E C D Compito 6 C B B E E Es.6 Es.7 Es.8 Es.9 Es.10 Compito 1 B C C A F Compito C B E D A Compito 3 F F A F D Compito 4 B D C B E Compito 5 C B F C A Compito 6 F E A E D

15 Analisi Matematica B 18 dicembre 003 Compito 1 1. L integrale π π/ 1 + cos x dx vale Risp.: A : 4( 1) B : C : D : ( 1) E : 0 F :. La soluzione y(x) dell equazione x y = y(x 1) tale che lim x + y(x) x = è Risp.: A : y(x) = xe 1 x B : y(x) = xe x C : y(x) = xe 1 x D : y(x) = x E : y(x) = x +3x+3 x F : y(x) = x + e x 3. Sia f la funzione definita da f(x, y) = 4x y + + y log (7x). Allora il dominio di f è dato da Risp.: A : un semipiano B : un triangolo rettangolo con i cateti sugli assi coordinati C : un triangolo isoscele con i lati uguali sugli assi coordinati D : un trapezio rettangolo E : la parte di piano esterna a un triangolo F : l unione di due triangoli 4. Sia f(x, y) = xy (7x + 7y 1) e siano A + = {(x, y) R : x > 0, y > 0}, A = {(x, y) R : x > 0, y < 0}. Allora la funzione f ha Risp.: A : solamente un massimo locale in A + B : solamente un minimo locale in A C : solamente un massimo locale in A D : solamente un minimo locale in A + E : un minimo locale in A + e un massimo locale in F : un massimo locale in A + e un minimo locale in A A 5. Si consideri la funzione g(x, y) = x y nel dominio A = {(x, y) R : x 0, y 0, x + y 1}. Allora Risp.: A : ha infiniti punti di minimo assoluto e un massimo assoluto in ( 3, 1 3 ) B : non ha massimi e minimi assoluti C : ha infiniti punti di minimo assoluto e un massimo assoluto in ( 1 3, 3 ) D : ha minimo assoluto in (0, 0) e massimo assoluto in ( 1, 1 ) E : ha infiniti punti di massimo assoluto F : ha punti di massimo assoluto 6. Data la curva piana Γ di rappresentazione parametrica r (t) = 3 sin t cos t i 1 +3 sin 3 t i, 0 < t < π, la velocità scalare v (t), dove v (t) è il vettore velocità nel punto t = π 4 vale Risp.: A : 3 B : 5 C : 3 5 D : E : 3 F : Calcolare l integrale curvilineo Γ x ds, dove Γ è l arco di curva y(x) = log x, con 1 x. Risp.: A : 5 3/ 3/ B : 1 3 (53/ 3/ ) C : / D : 3 3/ 3/ E : 3 F : 3 /3 8. Calcolare l integrale curvilineo Γ xy dx + (x y + 4x)dy, dove Γ = Γ 1 Γ con Γ 1 circonferenza di rappresentazione parametrica r (t) = cos t i 1 + sin t i, 0 t 3 π e Γ è il segmento di estremi A = (0, ) e B = (, 0) percorso da A verso B. Risp.: A : (3π + ) B : 4(3π + 1) C : 3 D : 4(3π + ) E : 4(π + ) F : 3π 9. Sia F = (F 1, F ) : R R. Sia A R aperto connesso, F 1, F C 1 (A), F è un gradiente in A. Allora delle seguenti affermazioni (a) F è un gradiente in R (b) F è un gradiente in B A, B aperto connesso (c) F 1 y = F x in B A, B aperto connesso (d) Γ F dγ = 0 per ogni curva chiusa Γ con sostegno in R (e) F C (A) le uniche corrette sono Risp.: A : a c e B : b c C : a b D : c d E : d e F : b e

16 10. L integrale doppio T f(x, y) dxdy, dove T = {(x, y) R : 0 x 1, 0 y } e f(x, y) = { x + y se x + y 1 0 x y se x + y 1 < 0 vale Risp.: A : 35/6 B : 15/7 C : 1/6 D : 7/1 E : 5/6 F : 35/1

17 Cognome e nome Firma Corso di Laurea: per l ambiente e il territorio ; dell automazione industriale; civile; gestionale; dell informazione; dei materiali; meccanica. Analisi Matematica B 18 dicembre 003 Compito 1 Istruzioni. 1. COMPILARE la parte soprastante la prima riga continua. In particolare, scrivere cognome e nome in stampatello e la firma sopra la riga punteggiata e segnare il corso di laurea.. SEGNARE nelle due tabelle riportate in questa pagina, in modo incontrovertibile, la lettera corrispondente alla risposta scelta per ognuna delle domande riportate nel foglio allegato; in caso di correzione, apporre un SI vicino alla risposta scelta. 3. PUNTEGGI: risposta esatta = +3; risposta sbagliata = 0.5; risposta non data = PROIBITO usare libri, quaderni, calcolatori. 5. CONSEGNARE solo questo foglio. 6. TEMPO a disposizione: 150 min. Risposte relative ai fogli allegati

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19 Analisi Matematica B 6 marzo 004 Compito 1 1. L area della regione limitata di piano individuata dalle funzioni f(x) = 1 4 x3 + e g(x) = x x + vale Risp.: A : 1 4 B : C : 1 D : 0 E : 1 F : 1 3. Sia ỹ(x) la soluzione del problema di Cauchy y y x = 3 x x +1 y(1) = 3 π 4. Allora ỹ( 3) vale Risp.: A : 3 π B 3 : 3 C 3 : 3 log 1 π 3 D : tan E 3 : 3 F : 3 3 π 3. Sia f la funzione definita da f(x, y) = sin x + 4y. Il piano tangente al grafico di f nel punto (π, 0, f(π, 0)) ha equazione Risp.: A : (z+x)+3y π = 0 B : π(z x)+3y+π = 0 C : π(z+x)+y π = 0 D : π (z+x)+y 3π = 0 E : z + x + 4y π = 0 F : z + x + πy π = 0 4. Sia f la funzione definita da f(x, y) = x y + y x. Allora per essa i punti P 1 (7, 7) e P (0, 1) sono 7 Risp.: A : P 1 di massimo e P non stazionario B : P 1 e P di massimo C : P 1 non stazionario e P di sella D : P 1 e P di sella E : P 1 di sella e P non stazionario F : P 1 di minimo e P di massimo 5. Si consideri la funzione g(x, y) = x + y x + nel dominio A = {(x, y) R : x + y 4}. Allora, definendo M = g(x, y) e m = min g(x, y), si ha max (x,y) A (x,y) A Risp.: A : M = 9 e m = B : M = 9 e m = 1 C : M = 10 e m = D : M = 10 e m = 1 E : M = 9 e m = 1 F : M = 10 e m = 6. Calcolare la lunghezza L della curva di rappresentazione parametrica r (t) = e t i 1 + e t i + t i 3, t [0, 1]. Risp.: A : L = e + B : L = e 3 C : L = e D : L = e E : L = e 3 + F : L = e Calcolare l integrale curvilineo Γ 1 z ds, dove Γ è la curva di rappresentazione parametrica r (t) = t cos t i 1 + t sin t i + t i 3, t [0, 1]. Risp.: A : 7(3 3/ 3/ ) B : 1(3 3/ 3/ ) C : 6(5 3/ 3 3/ ) D : (5 3/ 3/ ) E : 7(3 3/ 3/ ) 3 F : (3 3/ 3/ ) 3 8. Calcolare l integrale curvilineo (t sin t) i 1 + (1 cos t) i, 0 t π. Γ (4 y)dx + xdy, dove Γ è la curva di rappresentazione parametrica r (t) = Risp.: A : (3π + ) B : 8π C : 4(3π + 1) D : 8π E : 4(π + ) F : 3π 9. Sia Γ una curva piana rettificabile congiungente i punti (0, 0) e (14, 7) avente rappresentazione parametrica r (t), t [a, b]. Allora delle seguenti affermazioni (a) r C 1 ([a, b]) (b) detta L la lunghezza di Γ, vale L 7 5 (c) esiste almeno una poligonale inscritta in Γ avente lunghezza infinita (d) l estremo superiore delle lunghezze delle poligonali inscritte in Γ è finito (e) il vettore tangente ha lunghezza costante le uniche corrette sono Risp.: A : a b B : a c C : a d D : b d e E : c e F : b d 10. L integrale doppio 15 y dxdy 11 T Risp.: A : π B : 1 3 C : π 3 D : 3 E : 1 F :, dove T = {(x, y) R : x 0, x + y, x y} vale

20 Cognome e nome Firma Corso di Laurea: per l ambiente e il territorio ; dell automazione industriale; civile; gestionale; dell informazione; dei materiali; meccanica. Analisi Matematica B 6 marzo 004 Compito 1 Istruzioni. 1. COMPILARE la parte soprastante la prima riga continua. In particolare, scrivere cognome e nome in stampatello e la firma sopra la riga punteggiata e segnare il corso di laurea.. SEGNARE nelle due tabelle riportate in questa pagina, in modo incontrovertibile, la lettera corrispondente alla risposta scelta per ognuna delle domande riportate nel foglio allegato; in caso di correzione, apporre un SI vicino alla risposta scelta. 3. PUNTEGGI: risposta esatta = +3; risposta sbagliata = 0.5; risposta non data = PROIBITO usare libri, quaderni, calcolatori. 5. CONSEGNARE solo questo foglio. 6. TEMPO a disposizione: 150 min. Risposte relative ai fogli allegati

21 Prova scritta del 6 marzo 004 ANALISI MATEMATICA B RISULTATI Es.1 Es. Es.3 Es.4 Es.5 Compito 1 F A C E D Compito A B A F C Compito 3 C A C B D Compito 4 B B A E C Compito 5 F F C D D Compito 6 C E D B A Es.6 Es.7 Es.8 Es.9 Es.10 Compito 1 C A B F E Compito E D C A D Compito 3 F A B E F Compito 4 E F C D D Compito 5 A B E F C Compito 6 F C B E A

22 Analisi Matematica B 6 aprile 004 Compito 1 1. L integrale π/ 0 sin x + cos x 1 + sin x dx vale Risp.: A : log 3 π/4 B : log 3+π/4 C : log π/4 D : 3 log +π/ E : log +π/4 F : 3 log π/. Sia ỹ(x) la soluzione del problema di Cauchy y + y + y = 1, Allora lim ỹ(x) vale x + Risp.: A : 1 B : 1 C : D : 0 E : 3 F : 3 y(0) = 1, y (0) = Siano f la funzione definita da f(x, y) = log(3x + y) 3 x e v = ( 1, 1 ). Trovare il punto P = (x0, y 0 ) sulla bisettrice del primo e terzo quadrante, con ascissa positiva, tale che f v (x 0, y 0 ) = 0. Risp.: A : ( 3, ) 3 B : (, ) C : (1, 1) D : (, ) E : ( 1, ) 1 F : ( 1 3, ) Sia f la funzione definita da f(x, y) = log(x y) + log(y + 4). Allora f ammette Risp.: A : un unico punto di massimo B : un unico punto di minimo C : due punti di sella D : un unico punto di sella E : un punto di sella e uno di minimo F : un punto di sella e uno di massimo 5. Si consideri la funzione f(x, y) = x + y definita sull ellisse E di equazione g(x, y) := x xy + y 4 = 0. Posto M = f(x, y) e m = min f(x, y), si ha max (x,y) E (x,y) E Risp.: A : M = 3 e m = 3 B : M = 4 e m = 0 C : M = 0 e m = 4 D : M = 4 e m = 3 E : M = 3 e m = 4 F : M = 4 e m = 4 6. Sia L la lunghezza della curva di rappresentazione parametrica r(t) = e t cos t i 1 + e t sin t i, t [0, π]. Allora Risp.: A : L = + B : L = (1 e π ) C : L = (1 e π ) D : L = E : L = (1 e π ) F : L = 0 7. Calcolare l integrale curvilineo 8 x y dx + xy dy Γ esteso all arco di circonferenza Γ di rappresentazione parametrica r(t) = ( cos t, sin t ), Risp.: A : π B : π C : D : 4π E : 3 F : 4 t [0, π/]. 8. Dato il campo vettoriale F (x, y, z) = x(y z) i + x j + ( x + 3z ) k, sia ϕ il potenziale che vale nel punto (0, 0, 0). Si calcoli ϕ(7, 1, 1). Risp.: A : 1 B : 3 C : D : 1 E : 0 F : 9. Siano f : B R R con B insieme chiuso e limitato, A l insieme dei punti interni di B. Supponiamo che f sia continua in B e che f x e f y esistano e siano continue in A. Allora delle seguenti affermazioni (a) f differenziabile in A (b) f x y = f y x in A (c) f limitata in B (d) esistono tutte le derivate direzionali in ogni punto di A (e) f C (A) (f) f C 0 (A) le uniche corrette sono Risp.: A : (a) (b) B : (a) (d) (f) C : (c) (d) (e) D : (a) (c) (d) (f) E : (b) (c) (d) F : (a) (e) (f) 10. L integrale doppio Q y log(7xy + 1) (7xy + 1) log (y + 1) dxdy, Risp.: A : 1 14 B : 1 7 C : 0 D : 1 E : e F : 1 7 dove Q = [0, 1/7] [1, ] vale

23 Cognome e nome Firma Corso di Laurea: per l ambiente e il territorio ; dell automazione industriale; civile; gestionale; dell informazione; dei materiali; meccanica. Analisi Matematica B 6 aprile 004 Compito 1 Istruzioni. 1. COMPILARE la parte soprastante la prima riga continua. In particolare, scrivere cognome e nome in stampatello e la firma sopra la riga punteggiata e segnare il corso di laurea.. SEGNARE nelle due tabelle riportate in questa pagina, in modo incontrovertibile, la lettera corrispondente alla risposta scelta per ognuna delle domande riportate nel foglio allegato; in caso di correzione, apporre un SI vicino alla risposta scelta. 3. PUNTEGGI: risposta esatta = +3; risposta sbagliata = 0.5; risposta non data = PROIBITO usare libri, quaderni, calcolatori. 5. CONSEGNARE solo questo foglio. 6. TEMPO a disposizione: 150 min. Risposte relative ai fogli allegati

24 Prova scritta del 6 aprile 004 ANALISI MATEMATICA B RISULTATI Es.1 Es. Es.3 Es.4 Es.5 Compito 1 E A A D F Compito B D C B D Compito 3 C B E A E Compito 4 C C D E E Compito 5 F D A E A Compito 6 F A A C B Es.6 Es.7 Es.8 Es.9 Es.10 Compito 1 E B B D A Compito C F F B C Compito 3 E C C D A Compito 4 B E F D D Compito 5 D D D A E Compito 6 D D A B B

25 Analisi Matematica B 8 luglio 004 Compito 1 1. Sia F la primitiva della funzione f(x) = sin x + cos x tan x tale che lim F (x) = 1. Allora F ( x π/ 3π) vale Risp.: A : log B : log C : log D : log E : 3 + log 3+1 F : log 3. Sia ỹ(x) la soluzione del problema di Cauchy y y = 3e x y(0) = 3 y (0) = 1 y (0) = 1. Allora lim ỹ(x) vale x + Risp.: A : 4 B : 3 3 C : 3 log 3 D : 3 E : F : 3 3. Sia A R il dominio della funzione f definita da f(x, y) = 7y x + arcsin y. Allora l area di A vale Risp.: A : B : C : 7 D : 7 E 5 : 0 F : + 4. Sia f la funzione definita da f(x, y) = x 4 + y 3 4x 3y. Allora per essa i punti P 1 (0, 0), P (0, ), P 3 (, 3) sono Risp.: A : P 1 di massimo, P e P 3 non stazionari B : P 1 di massimo, P di sella e P 3 non stazionario C : P 1 e P di massimo, P 3 di sella D : P 1 non stazionario, P e P 3 di minimo E : P 1 e P di sella, P 3 non stazionario F : P 1 di minimo, P di sella e P 3 non stazionario 5. Si consideri la funzione g(x, y) = 3(x + y ) definita sull ellisse E di equazione ( ) x 1 + y = 1. Allora, definendo M = g(x, y) e m = min g(x, y), si ha max (x,y) E (x,y) E Risp.: A : M = 7 e m = 3 B : M = 3 e m = 1 C : M = 5 e m = 3 D : M = 5 e m = E : M = 3 e m = 1 F : M = 7 e m = 6. Sia data la curva piana di rappresentazione parametrica r (t) = 3(t sin t + cos t) i 1 + 3(t cos t sin t) i, t [0, π]. Il suo versore tangente T (t) calcolato nel punto t = π vale Risp.: A : T (π) = (1, 0) B : T (π) = (0, 1) C : T (π) = (0, 1) D : T (π) = ( 1, 1 ) E : T (π) = ( 1, 0) F : T (π) = ( 1, 1 ) 7. Calcolare l integrale curvilineo Γ 3 x ds, dove Γ è la curva di rappresentazione parametrica r (t) = sin t i 1 + cos t i, Risp.: A : 4 B : 3 3 C : 3 D : E : 5 F : 4 t [0, π]. 8. Calcolare l integrale curvilineo (xy + x 4)dx + (x + y)dy, dove Γ è il quarto di ellisse di equazione ) Γ + y = 1 contenuto nel primo quadrante, percorso in senso antiorario. ( x Risp.: A : (3π + ) B : 5 C : 4(3π + 1) D : 4 E : 4(π + ) F : 3π

26 9. Sia Q = [a, b] [c, d]. Sia f : Q R di classe C 0 (Q). Delle seguenti affermazioni (a) f è integrabile su Q (b) f C 1 (Q) (c) f è differenziabile in Q (d) f ammette almeno un punto di massimo assoluto in Q (e) f ammette almeno un punto di minimo assoluto in Q (f) esiste x 0 Q tale che f( x 0 ) = 0 le uniche corrette sono Risp.: A : a b B : d e C : a c e D : a d e E : d f F : a d e f 10. L integrale doppio T log(x 1) log y dxdy, dove T = {(x, y) R : x 3, 1 y } vale Risp.: A : (log +1) B : (log ) C : ( log 1) D : log + E : 4(log +1) F : 4(log log )

27 Cognome e nome Firma Corso di Laurea: per l ambiente e il territorio ; dell automazione industriale; civile; gestionale; dell informazione; dei materiali; meccanica. Analisi Matematica B 8 luglio 004 Compito 1 Istruzioni. 1. COMPILARE la parte soprastante la prima riga continua. In particolare, scrivere cognome e nome in stampatello e la firma sopra la riga punteggiata e segnare il corso di laurea.. SEGNARE nelle due tabelle riportate in questa pagina, in modo incontrovertibile, la lettera corrispondente alla risposta scelta per ognuna delle domande riportate nel foglio allegato; in caso di correzione, apporre un SI vicino alla risposta scelta. 3. PUNTEGGI: risposta esatta = +3; risposta sbagliata = 0.5; risposta non data = PROIBITO usare libri, quaderni, calcolatori. 5. CONSEGNARE solo questo foglio. 6. TEMPO a disposizione: 150 min. Risposte relative ai fogli allegati

28 8 luglio 004 ANALISI MATEMATICA B RISULTATI Es.1 Es. Es.3 Es.4 Es.5 Compito 1 C A A B F Compito F F D C E Compito 3 A C F E B Compito 4 B C A D F Compito 5 F B D C E Compito 6 A D F E B Es.6 Es.7 Es.8 Es.9 Es.10 Compito 1 E A B D C Compito A E B A D Compito 3 D A D E F Compito 4 C E B A B Compito 5 B A D F C Compito 6 C B F E A

29 Analisi Matematica B 8 aprile 005 Compito 1 1. L integrale π/ sin dx vale x + cos x Risp.: A : π B : π C : 3 π D : E : 3π F : 3 3π. Sia ỹ(x) la soluzione del problema di Cauchy x y (x) + 3y(x) = 1 x y(1) = 5. Allora ỹ() vale Risp.: A : 3 4 B : 3 C : 3 D : 5 4 E : 3 F : 5 3. Sia f : R R la funzione definita da f(x, y) = Calcolare f v (0, 0), dove v = ( 1, 1 ). { x + (y x) se xy 0 x + y + y 3 se xy < 0. Risp.: A : 1 B : 1 C : D : E : 3 F : 3 4. Sia f : R R la funzione definita da f(x, y) = 4x 3 +3y 1xy. Allora per essa i punti P 1 = (0, ) e P = (, 4) sono Risp.: A : P 1 di massimo relativo e P non stazionario B : P 1 e P di minimo relativo C : P 1 non stazionario e P di massimo relativo D : P 1 e P di sella E : P 1 non stazionario e P di minimo relativo F : P 1 di minimo relativo e P di sella 5. Si consideri la funzione g(x, y) = x y 3 definita su Q = [ 1, 1] [0, ]. Allora, posti M = g(x, y) e m = min g(x, y), si ha max (x,y) Q (x,y) Q Risp.: A : M = e m = 0 B : M = 3 3 e m = 1 C : M = 1 e m = 0 D : M = 1 e m = 1/ E : M = 3 3 e m = 1 F : M = 3 3 e m = 0 6. Sia data la curva piana di rappresentazione parametrica r (t) = cos t i 1 + cos t sin t i, t [0, π]. Il suo versore tangente T (t) calcolato nel punto t = π 4 vale Risp.: A : T ( π 4 ) = ( 1, 0) B : T ( π 4 ) = (1, 0) C : T ( π 4 ) = (0, 1) D : T ( π 4 ) = (0, 1) E : T ( π 4 ) = ( 1, 1 ) F : T ( π 4 ) = ( 1, 1 ) 7. Calcolare l integrale curvilineo Risp.: A : Γ B : 10 C : (y/3) ds, dove Γ è il segmento di estremi (0, 0) e (1/, 3/). 1 x 3 D : 7 5 E : F : 6 7 ( 1 y + 8. Si considerino il campo vettoriale y x x F (x, y) definito da F (x, y) = i 1 + y x y x e l integrale curvilineo I = F d r, dove Γ è il segmento di estremi A = (0, 1) e B = (, 5), percorso da A verso B. Allora Γ ) i Risp.: A : F non è conservativo e I = log 5 B : F è conservativo e I = + log 5 C : F è conservativo e I = 3 log 10 D : F non è conservativo e I = 3 + log E : F è conservativo e I = log 5 F : F non è conservativo e I = log 10

30 Analisi Matematica B 8 aprile 005 Compito 1 9. Sia F (x, y) = F 1 (x, y) i 1 + F (x, y) i un campo vettoriale definito in A aperto connesso di R. Sia F C 0 (A) e F abbia integrale curvilineo indipendente dalla traiettoria. Allora delle seguenti affermazioni (a) F è un gradiente in A (b) esistono F 1 y, F x in A e F 1 y = F x in A (c) F dγ = 0 per ogni curva chiusa Γ Γ regolare con sostegno in A (d) F ammette potenziale ϕ C (A) (e) per ogni P, Q A esiste ϕ 1 : A R, ϕ 1 C 1 (A) tale che F dγ1 = ϕ 1 (Q) ϕ 1 (P ), per ogni curva Γ 1 regolare con sostegno in A e di estremi P e Q Γ 1 (f) F 1 e F sono differenziabili in A le uniche corrette sono Risp.: A : a c B : b d e C : a b c f D : a c e E : d f F : a d e 10. L integrale doppio Risp.: A : T ( ) 5x y + 6 dxdy, dove T = {(x, y) R : x + y 1, y 0, y x} vale π B : C 4 : π D : E 3 4 : π F : π

31 Cognome e nome Firma Corso di Laurea: per l ambiente e il territorio ; dell automazione industriale; civile; gestionale; dell informazione; dei materiali; meccanica. Analisi Matematica B 8 aprile 005 Compito 1 Istruzioni. 1. COMPILARE la parte soprastante la prima riga continua. In particolare, scrivere cognome e nome in stampatello e la firma sopra la riga punteggiata e segnare il corso di laurea.. SEGNARE nelle due tabelle riportate in questa pagina, in modo incontrovertibile, la lettera corrispondente alla risposta scelta per ognuna delle domande riportate nel foglio allegato; in caso di correzione, apporre un SI vicino alla risposta scelta. 3. PUNTEGGI: risposta esatta = +3; risposta sbagliata = 0.5; risposta non data = PROIBITO usare libri, quaderni, calcolatori. 5. CONSEGNARE questo foglio e i fogli su cui sono stati svolti gli esercizi. 6. TEMPO a disposizione: 150 min. Risposte relative ai fogli allegati

32 8 APRILE 005 ANALISI MATEMATICA B SECONDO APPELLO RISULTATI Es.1 Es. Es.3 Es.4 Es.5 Compito 1 B A D E F Compito A B F A C Compito 3 C F A B D Compito 4 A A D F C Compito 5 C B F A D Compito 6 D F A E B Es.6 Es.7 Es.8 Es.9 Es.10 Compito 1 A C B D F Compito B E F E D Compito 3 E A C A C Compito 4 B C B E F Compito 5 E E F A B Compito 6 D A C F C

33 Analisi Matematica B 30 giugno 005 Compito 1 1. L integrale 3 0 3x (1 + x dx vale ) Risp.: A : arctan B : 3 (arctan ) C : 3 arctan 3 D : 9 10 E : arctan F : 3 y (x) = e x y. Sia ỹ(x) la soluzione del problema di Cauchy Allora lim ỹ(x) vale x y(0) = 3. Risp.: A : log(e 3 1) B : 3 C : log(e 3 + 1) D : log(e 3 1) E : 3 F : e Siano f, g le funzioni definite da f(x, y) = 1 7(x + y ) (x + y ) e g(x, y) = log(1 7(x + y )) + xy. Siano D f e D g i domini di f e g rispettivamente. Allora Risp.: A : D f Dg = B : D f Dg = R C : D f \ D g è una circonferenza D : D g è limitato e D f è illimitato E : D f è limitato e D g è illimitato F : D f D g 4. Sia f la funzione definita da f(x, y) = x y + 48 x + 8 y per (x, y) R \ {x = 0 y = 0}. Allora per essa i punti P 1 = (, ), P = (, ) e P 3 = (, ) sono Risp.: A : P 1 di massimo relativo e P non stazionario e P 3 di sella B : P 1 e P di minimo relativo e P 3 di sella C : P 1 non stazionario, P di minimo relativo e P 3 di sella D : P 1 non stazionario e P e P 3 di minimo relativo E : P 1 e P di sella e P 3 di minimo relativo F : P 1 non stazionario P e P 3 di sella 5. Si consideri la funzione f(x, y) = sin(y αx) con α R e l insieme A = {(x, y) R : x < 0, 0 y 1 x ex }. Allora Risp.: A : f ammette massimo ma non minimo su A per ogni α R B : f ammette minimo ma non massimo su A per ogni α R C : f non ammette massimo e minimo su A per ogni α R D : f ammette massimo ma non minimo su A per α > 0 E : f ammette minimo ma non massimo su A per α > 0 F : f ammette massimo e minimo su A per ogni α R 6. Sia data la curva di rappresentazione parametrica r (t) = 7e t cos t i 1 + 7e t sin t i + 7e t i 3, t [ 1, ]. Allora l ascissa curvilinea s(t), calcolata a partire da t = 0, vale Risp.: A : 7(e t 1) B : 3(e t 1) C : 7 3e t D : 7 3(e t 1) E : 7 3(e t 5) F : 7 3(e t 3) 7. Calcolare l integrale curvilineo Γ y 3/ ds, r (t) = (t sin t) i 1 + (1 cos t) i, t [0, π] dove Γ è la curva di rappresentazione parametrica Risp.: A : 6 B : 6π C : 6π 3 D : π E : 6π F : 8. Si consideri il campo vettoriale F (x, y) = e x+y8( (arctan x x ) i 1 + 8y 7 arctan x ) i. Sia φ(x, y) il suo potenziale tale che φ(0, ) = 7. Allora φ(1, 1) vale Risp.: A : πe B : πe + 7 C : πe + 7 D : e E : πe 4 7 F : πe

34 Analisi Matematica B 30 giugno 005 Compito 1 9. Sia f : [a, b] R, f C 1 ([a, b]). Allora delle seguenti affermazioni (a) F : [a, b] R tale che F (x) = x 1 b f(t)dt è derivabile in ]a, b[ (b) c [a, b] tale che f(c) = a b a a f(t)dt c [a, b] tale che f (c) = 0 (d) c [a, b] tale che f(c) = 0 (e) b a f (t)dt = f(b) f(a) (f) la curva Γ avente rappresentazione parametrica r (t) = t i 1 + f(t) i, t [a, b] è rettificabile le uniche corrette sono Risp.: A : a b c f B : a b e f C : a c e f D : b c e f E : a d e f F : a d e 10. L integrale doppio vale T ( y log(y + 3) ) dxdy (x + 1) (x + y + 3) Risp.: A : log 5 B : 1 4 log 5 C : 1 3 log 5 D : 1 4 log 5 E : 1 4 log 5 F : 1 3 log3 5 (c), dove T = {(x, y) R : 0 x y }

35 Cognome e nome Firma Corso di Laurea: per l ambiente e il territorio ; dell automazione industriale; civile; gestionale; dell informazione; dei materiali; meccanica. Analisi Matematica B 30 giugno 005 Compito 1 Istruzioni. 1. COMPILARE la parte soprastante la prima riga continua. In particolare, scrivere cognome e nome in stampatello e la firma sopra la riga punteggiata e segnare il corso di laurea.. SEGNARE nelle due tabelle riportate in questa pagina, in modo incontrovertibile, la lettera corrispondente alla risposta scelta per ognuna delle domande riportate nel foglio allegato; in caso di correzione, apporre un SI vicino alla risposta scelta. 3. PUNTEGGI: risposta esatta = +3; risposta sbagliata = 0.5; risposta non data = PROIBITO usare libri, quaderni, calcolatori. 5. CONSEGNARE questo foglio e i fogli su cui sono stati svolti gli esercizi. 6. TEMPO a disposizione: 150 min. Risposte relative ai fogli allegati

36 30 giugno 005 ANALISI MATEMATICA B TERZO APPELLO RISULTATI Es.1 Es. Es.3 Es.4 Es.5 Compito 1 B A C C F Compito D F A E B Compito 3 E B E D A Compito 4 B D C A F Compito 5 A F D E D Compito 6 E B E F B Es.6 Es.7 Es.8 Es.9 Es.10 Compito 1 D E A B D Compito C C E E A Compito 3 F F C D E Compito 4 D E E C D Compito 5 B C F D B Compito 6 F A C E A

37 Analisi Matematica B 19 settembre 005 Compito 1 1. L integrale Risp.: arctan e x cosh x dx vale A : arctan e π 16 B : 3 arctan e C : 3(arctan e π 16 ) D : 3 16 π E : 3(arctan e + π 16 ) F : 3(arctan e + π 16 ). Sia y(x) la soluzione del problema di Cauchy Allora y (0) vale y (x) + y(x) = e 3x y(0) = 3. Risp.: A : 3 B : C : 5 D : 1 E : 5 F : 4 3. Siano f : R R e g : R R le funzioni definite da g(x, y) = x 7y + 1. Allora posto h = g f si ha che h(0, 0) vale f (x, y) = (x y, x + y + 1) e Risp.: A : ( 14, 14) B : (14, 14) C : ( 14, 14) D : ( 7, 7) E : (7, 7) F : ( 7, 7) 4. Sia f la funzione definita da f(x, y) = 1 log(x + y ) x + y + 3 per (x, y) R \ (0, 0). Allora per essa i punti P 1 = ( 5, 1 5 ), P = ( 1 5, 5 ) sono Risp.: A : P 1 di minimo relativo e P non stazionario B : P 1 di sella e P non stazionario C : P 1 di massimo relativo e P non stazionario D : P 1 non stazionario e P di sella E : P 1 non stazionario e P di minimo relativo F : P 1 non stazionario e P di massimo relativo 5. Si consideri la funzione f(x, y) = (x + y) y + x e il triangolo chiuso A di vertici (0, 0), (1, 0) e (0, 1). Allora posti M = max (x,y) A f(x, y) e m = min (x,y) A f(x, y) si ha Risp.: A : M = 1, m = 0 B : M = 3, m = 0 C : M =, m = 0 D : M = 4, m = 0 E : M =, m = 1 F : M = 3, m = 1 6. Sia data la curva di rappresentazione parametrica r (t) = cos t i 1 + sin t i + αt i 3, t [0, π], α R +. Allora r (t) = 3 se e solo se Risp.: A : α = 3 B : α = 5 C : α = 5 D : α = E : α = 4 F : α = 1 7. Calcolare l integrale curvilineo r (t) = cosh t i 1 + sinh t i, t [0, log ]. Γ 5y x x + y ds, dove Γ è la curva di rappresentazione parametrica Risp.: A : 1 B : 1 C : D : E : 5 F 3 : 3 8. Sia α R. Si consideri il campo vettoriale [ (log x + 1)(e F (x, y) = x x y + 1) i e y 1 + sinh(7αy) ] i. Allora F è conservativo se e solo se Risp.: A : α = 7 B : α = 1 7 C : α D : α = E : α = 3 7 F : α = 1 7

38 Analisi Matematica B 19 settembre 005 Compito 1 9. Sia A aperto di R 3, f : A R, f C (A), (x 0, y 0, z 0 ) A tale che f(x 0, y 0, z 0 ) = 0 e deth f (x 0, y 0, z 0 ) < 0. Allora delle seguenti affermazioni (a) (x 0, y 0, z 0 ) è un punto di sella per f (b) (x 0, y 0, z 0 ) è un punto stazionario per f (c) f è differenziabile in A (d) f x (x 0, y 0, z 0 ) = f y (x 0, y 0, z 0 ) (e) f y z = f z y in A (f) (x 0, y 0, z 0 ) è un punto di massimo relativo per f le uniche corrette sono Risp.: A : a b c f B : a c e f C : b c e D : b c d e E : a d e f F : a b d 10. L integrale doppio T x + 5y (x + y ) 3/4 dxdy, dove T = {(x, y) R : x 0, y 3x, x + y 9} vale Risp.: A : 6 3 B : 6 C : 6+ 3 D : E : F : 3

39 Cognome e nome Firma Corso di Laurea: per l ambiente e il territorio ; dell automazione industriale; civile; gestionale; dell informazione; dei materiali; meccanica. Analisi Matematica B 19 settembre 005 Compito 1 Istruzioni. 1. COMPILARE la parte soprastante la prima riga continua. In particolare, scrivere cognome e nome in stampatello e la firma sopra la riga punteggiata e segnare il corso di laurea.. SEGNARE nelle due tabelle riportate in questa pagina, in modo incontrovertibile, la lettera corrispondente alla risposta scelta per ognuna delle domande riportate nel foglio allegato; in caso di correzione, apporre un SI vicino alla risposta scelta. 3. PUNTEGGI: risposta esatta = +3; risposta sbagliata = 0.5; risposta non data = PROIBITO usare libri, quaderni, calcolatori. 5. CONSEGNARE questo foglio e i fogli su cui sono stati svolti gli esercizi. 6. TEMPO a disposizione: 150 min. Risposte relative ai fogli allegati

40 19 settempre 005 ANALISI MATEMATICA B QUARTO APPELLO RISULTATI Es.1 Es. Es.3 Es.4 Es.5 Compito 1 C E A B C Compito D A F D B Compito 3 F C E E E Compito 4 A E B B D Compito 5 B B F F C Compito 6 E C E D E Es.6 Es.7 Es.8 Es.9 Es.10 Compito 1 C B F D E Compito E C E C A Compito 3 A D B E B Compito 4 C E F B E Compito 5 E C A E D Compito 6 A A B B F

41 Analisi Matematica B 14 dicembre 005 Compito 1 3 log x 1. L integrale 1 x ( 9 log ) dx vale x ( ) ( Risp.: A : 1 log 9 B : 1 9 log 3 ( ) log F : log 3 9 log log 3 ) ( C : log 9 9 log 3 ) ( D : log 9 9 log 3 ) E : 1 log ( 3 9 log 3 ). Sia y(x) la soluzione del problema di Cauchy ( 1 + e 7x ) yy = e 7x y(0) = 1. Allora 1 (y (x) 1) vale ( Risp.: A : 1 7 log 1+e 7x ) F : 1 7 log ( 1 + e 7x) ( B : log ) 1+e 7x C : 1 7 log ( ) 1+e 7x ( D : log ) 1+e 7x E : 1 7 log ( 1 + e 7x) 3. Siano α > 0, E α = {(x, y) R : 0 y < αx} e sia v = (11, 7). Allora la funzione x se (x, y) Eα f(x, y) = x xy se (x, y) E α è derivabile in (0, 0) nella direzione individuata da v se e solo se Risp.: A : 0 < α 7 11 B : α > 7 11 C : 0 < α 11 7 D : α > 11 7 E : α 11 F : α 7 4. Sia f : R R la funzione definita da f(x, y) = x 3 y + 7xy 3. Allora Risp.: A : f non ammette punti stazionari B : f ammette un punto di sella e un punto di minimo C : f ammette solo un punto di minimo D : f ammette solo un punto di sella E : f ammette solo un punto di massimo F : f ammette un punto di minimo e un punto di massimo 5. Sia Q = [ 1, 1] [ 1, 1] e sia f(x, y) = 3y x + y. Allora detti m e M il minimo e il massimo di f su Q si ha Risp.: A : m = 0 e M = 6 B : m = 6 e M = 0 C : m = 6 e M = 3 4 D : m = 3 4 e M = 6 E : m = 0 e M = 3 4 F : m = 6 e M = 6 6. Sia data la curva piana di rappresentazione parametrica r (t) = (t sin t + cos t) i 1 + ( t cos t + sin t) i, t [ π, π]. Allora la sua lunghezza è Risp.: A : π B : π C : 4π D : π E : π F : 0 7. Calcolare l integrale curvilineo Γ xe x +y ds, {(x, y) R : x + y, x 0, y 0} Risp.: dove Γ è la frontiera del settore circolare A : ( +1)e 1 B : e C : e D : 3e 1 E : 5e 1 F : 5 e 8. Dato il campo vettoriale F : R R definito da F (x, y) = 3 y arctan x ( ) 1 + x i 1 + log 3 arctan x i, sia ϕ il suo potenziale che vale 0 nel punto (0, 7). Allora ϕ(1, 1) vale Risp.: A : 3 16 π B : 3 16 π C : 9 16 π D : 3 4 π E : 9 4 π F : 3 4 π

42 9. Siano A aperto di R, B A aperto semplicemente connesso, e sia F = (F 1, F ) : A R R tale che F C 1 (A) e rot F = 0 su A. Delle seguenti affermazioni (a) F è un gradiente in A (b) F è un gradiente in B (c) F1 y in A (e) F1 x le uniche corrette sono = F y in A (f) F ha integrale curvilineo indipendente dalla traiettoria in B Risp.: A : a b c f B : c d C : b c f D : b f E : a b e f F : c d f = F x in A (d) se F C (A) allora F è un gradiente 10. L integrale doppio T 8 y 3 (x + y ) 3 dxdy dove T = {(x, y) R : 1 x + y 4, 3x y 3x} vale Risp.: A : 5 B : 0 C : 10 3 D : 0 3 E : 5 F : 3

43 14 dicembre 005 ANALISI MATEMATICA B QUINTO APPELLO RISULTATI Es.1 Es. Es.3 Es.4 Es.5 Compito 1 B C A D F Compito A D F B A Compito 3 F E C C B Compito 4 D A F B D Compito 5 C C E D B Compito 6 E F D E C Es.6 Es.7 Es.8 Es.9 Es.10 Compito 1 A E B C A Compito E B A D F Compito 3 D A F A E Compito 4 B F E E B Compito 5 F D D A C Compito 6 C B B F D