Esercizio 2 SI NO Determinare l equazione cartesiana del piano passante per il punto P 0 = (2, 3, 1) e contenente

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1 GENNAIO 2014 A Calcolare gli autovalori della matrice ( 2 ) Determinare l equazione cartesiana del piano passante per il punto P 0 = (2, 3, 1) e contenente i due vettori u = (1, 2, 2) e v = (5, 3, 1). Tramite il criterio di Rouché Capelli determinare il numero di soluzioni del sistema { 2x y = 1 x + 3y = 5 2x + y = 1 Disegnare il grafico qualitativo delle funzione f(x) = log(x 1) indicando gli eventuali punti di attraversamento degli assi. Determinare l equazione della retta tangente alla funzione per x 0 = 1. f(x) = 1 (1 + x 2 ) Determinare gli eventuali punti di massimo e/o minimo stazionario della funzione f(x) = log x 2x Calcolare la derivata parziale secondo y della funzione f(x, y) = x 2 y 3 e xy

2 Determinare l area della porzione di piano del quarto quadrante delimitata dalla curva y = x 2 1, dalla retta y = 0 e dall asse delle y. Calcolare con la sostituzione z = x 2 1 il seguente integrale indefinito x x 2 1 dx È data la seguente serie di 20 dati statistici 7, 6, 7, 6, 5, 8, 8, 8, 7, 7, 5, 7, 7, 6, 7, 5, 5, 8, 5, 8. Determinare le frequenze assolute e la media, disegnandone il diagramma a colonne. GENNAIO 2014 B Determinare l inversa della matrice ( 2 ) Determinare l equazione parametrica della retta passante per il punto P 0 = (1, 1, 2) e perpendicolare ai due vettori u = (2, 1, 5) e v = ( 2, 3, 1). Tramite il criterio di Rouché Capelli determinare il numero di soluzioni del sistema { 3x 2y + 5z = 1 x y z = 2 2x 3z = 1 Determinare il dominio della funzione f(x) = x e x

3 Disegnare il grafico qualitativo delle funzione f(x) = (x + 1) 2 indicando gli eventuali punti di attraversamento degli assi. Determinare se in x = 0 la funzione è concava o convessa. f(x) = log ( 1 ) 1 + x Calcolare nel punto (1, 1) il gradiente della funzione f(x, y) = x 2 y 3 y. Determinare l area della porzione di piano delimitata nel secondo quadrante dalla curva y = 1 x 2, dalla retta y = 0 e dall asse delle y. Calcolare per parti il seguente integrale indefinito (x + 5) e x dx È data la seguente serie di 20 dati statistici 6, 4, 6, 4, 3, 6, 6, 6, 5, 5, 3, 6, 5, 4, 5, 3, 3, 6, 3, 6. Determinare le frequenze assolute e la media, disegnandone il diagramma a colonne.

4 FEBBRAIO 2014 A Calcolare il determinante della matrice C = A B, dove A =, B = Determinare per quale valore di α i vettori u = (1, 2, 2), v = (5, 3, 1) e w = (α, 1, 2) sono complanari. Determinare per quale valore di α il seguente sistema non ammette soluzioni { αx 2y = 2 3x + 4y = 1 Determinare il dominio della funzione f(x) = x + 2 log x Determinare l equazione della retta tangente alla funzione per x 0 = 1. Determinare se in x = π/2 la funzione è concava o convessa. f(x) = log(x + 2) + x 2 f(x) = 4 sin x + x 3

5 Data la funzione f(x, y) = 2x 2 y xy 3 verificare che f xy = f yx. Determinare l area della porzione di piano delimitata dalla curva y = x + 1 e dalle rette y = x + 1 e x = 1. Calcolare per parti il seguente integrale indefinito log x x 2 dx Una serie di 50 dati continui è stata raggruppata nelle seguenti tre classi [0, 4) [4, 10) [10, 18) con rispettivamente le seguenti frequenze: 20, 15, 15. Rappresentare la serie di dati con un istogramma e calcolare il valor medio approssimato. FEBBRAIO 2014 B Calcolare il rango della matrice C = A B, dove A = 1 1 2, B = Determinare per quale valore di α i vettori u = ( 3, α, 2) e w = (α, 12, 4) sono paralleli e per quale perpendicolari. Determinare mediante la regola di Cramer la soluzione X del sistema algebrico AX = B, dove A = 2 1 1, B = 3 4 1

6 Date le funzioni f(x) = 4x 1 e g(x) = x 2, determinare g(f(x)) e determinarne il dominio. Determinare l equazione della retta tangente alla funzione per x 0 = 2. Determinare se in x = π la funzione è concava o convessa. f(x) = x 3 2 x 1 f(x) = x cos x Data la funzione f(x, y) = 4xy 2 x 3 y verificare che f xy = f yx. Determinare l area della porzione di piano delimitata dalla curva y = e x e dalle rette y = x + 1 e x = 1. Calcolare con l sostituzione z = cos x il seguente integrale indefinito cos 3 x sin xdx Una serie di 50 dati continui è stata raggruppata nelle seguenti tre classi [0, 6) [6, 14) [14, 18) con rispettivamente le seguenti frequenze: 10, 25, 15. Rappresentare la serie di dati con un istogramma e calcolare il valor medio approssimato.

7 GIUGNO 2014 A Sono dati i vettori u = (2, 1, 4) e v = (2, 4, 2). a) Determinare un vettore perpendicolare a entrambi i vettori u e v. b) I vettori u e v sono tra loro perpendicolari? Dato il sistema algebrico { x y = 1 2x + y = 4 3x 2y = 1 Tramite il calcolo dei ranghi della matrice A dei coefficienti e della matrice completa A c mostrare che il sistema ammette un unica soluzione. Calcolare l inversa della matrice A = Determinare il dominio e calcolare la derivata della funzione f(x) = 1 log x Sono date le funzioni f(x) = 1 + cos x, g(x) = x 1. Determinare le funzioni composte f(g(x)) e g(f(x)). Determinare i punti di massimo e minimo stazionario della funzione f(x) = x 2 (x 3). La funzione ammette anche un punto di flesso? Determinare l area del triangolo individuato dalle rette x = 0, y = 2x 2 e y = 3x + 3.

8 Calcolare le derivate prime e il gradiente nel punto (1,1) della funzione f(x, y) = x 2 y 5xy 3 Calcolare con la sostituzione z = x + 1 il seguente integrale indefinito x + 1 dx Una serie di 100 dati continui è stata raggruppata nelle seguenti quattro classi [0, 5) [5, 9) [9, 14) [14, 19] con rispettivamente le seguenti frequenze: 45, 20, 25, 10. Rappresentare la serie di dati con un istogramma e calcolare il valor medio approssimato. GIUGNO 2014 B Sono dati i vettori u = (3, 1, 4), v = (2, 2, 1) e w = (1, 0, α). a) Determinare α in modo che i tre vettori siano complanari. b) I vettori u e v sono tra loro perpendicolari? Utilizzando la regola di Cramer determinare la soluzione del sistema algebrico A X = B, dove A = 1 2 x1, X =, B = 4 3 x Determinare il rango della matrice

9 Date le funzioni 1 f(x) = 1 x, g(x) = sin2 x. a) Determinare il dominio di f(x). b) Determinare la funzione f(g(x)). Determinare per x 0 = 2 la retta tangente alla funzione f(x) = (1 + x 2 ) x 1. Determinare i punti di massimo e minimo stazionario della funzione f(x) = x(x 2 4). La funzione ammette anche un punto di flesso? Calcolare le derivate prime e il gradiente nel punto (1,2) della funzione f(x, y) = y log x 3x 3 y 2 Determinare l area del triangolo individuato dalle rette x = 0, y = x e y = 2x + 3. Calcolare per parti il seguente integrale indefinito (x + 1) e x dx Una serie di 100 dati continui è stata raggruppata nelle seguenti quattro classi [0, 5) [5, 9) [9, 14) [14, 19] con rispettivamente le seguenti frequenze: 30, 20, 15, 35. Rappresentare la serie di dati con un istogramma e calcolare il valor medio approssimato.

10 LUGLIO 2014 Sono dati i vettori u = ( 2, 0, 4) e v = (2, 3, 1). a) Determinare un vettore perpendicolare a entrambi i vettori u e v. b) I vettori u e v sono tra loro perpendicolari? Determinare la matrice (A B) 1 con A = 2 1, B = Dato il sistema algebrico { x y = 1 2x + y = 5 3x 2y = 4 tramite il criterio di Rouché-Capelli mostrare che il sistema ammette un unica soluzione. Calcolare la derivata della funzione f(x) = sin(log x) Data la funzione f(x) = x 1 tracciarne il grafico qualitativo. Determinare gli eventuali punti di massimo e/o minimo stazionario della funzione f(x) = (x + 1)(x 5). Determinare l area del triangolo individuato dalle rette x = 0, x = 1, y = x + 1 e dalla curva y = 1 + x.

11 Calcolare le derivate prime e il gradiente nel punto (2,1) della funzione f(x, y) = y log x 5x 2 y 2 + log y Calcolare per parti il seguente integrale indefinito (x + 1) log x dx È data la seguente serie di 10 dati statistici 4, 3, 2, 4, 1, 6, 6, 5, 4, 5. Determinare le frequenze assolute, la moda, la mediana e la media, disegnandone il diagramma a colonne.

12 SETTEMBRE 2014 A Calcolare gli autovalori della matrice ( 3 3 ) 2 2 Determinare l equazione parametrica della retta passante per il punto P 0 = (4, 1, 5) e perpendicolare al piano di equazione 3x 2y 5z + 3 = 0. Tramite il criterio di Rouché Capelli determinare il numero di soluzioni del sistema { 2x + z = 2 x + 2y z = 1 x + 3z = 0 Disegnare il grafico qualitativo delle funzione f(x) = (x + 5) 2 indicando i punti di attraversamento degli assi. Determinare l equazione della retta tangente alla funzione per x 0 = π. f(x) = sin x cos x + 2x Determinare gli eventuali punti di massimo e/o minimo stazionario della funzione f(x) = e x2 4x. La funzione è sempre concava o è sempre convessa? Calcolare la derivata parziale f xx della funzione f(x, y) = y 2 e x x 3 y

13 Determinare, tramite il calcolo di un integrale definito, l area della porzione di piano compresa tra le due curve y = x 2 2x e y = 2x x 2. Calcolare con la sostituzione z = x 2 il seguente integrale indefinito x e x2 dx È data la seguente serie di 10 dati statistici 2, 3, 2, 4, 1, 6, 6, 5, 2, 5. Determinare le frequenze assolute, la moda, la mediana e la media, disegnandone il diagramma a colonne.

14 SETTEMBRE 2014 B Calcolare il determinante della matrice C = A B, con A = 2 1, B = Determinare per quale valore di α i tre vettori u = ( 1, 0, 3), v = (2, 1, 0)e w = (0, α, 2) sono complanari. Tramite il criterio di Rouché Capelli determinare il numero di soluzioni del sistema { x y = 3 2x 3y z = 1 y 2z = 0 Sono date le funzioni f(x) = log(x 2) e g(x) = x Determinare la funzione f(g(x)) e il suo dominio. Determinare il dominio della funzione f(x) = 1 x 1 + sin 2 x Determinare gli eventuali punti di massimo e/o di minimo stazionario della funzione f(x) = e x2 +2. La funzione è sempre concava o è sempre convessa? Calcolare la derivata parziale f yy della funzione f(x, y) = y log y + x 2 y 2.

15 Determinare, tramite il calcolo di un integrale definito, l area della porzione di piano compresa tra le due curva y = x 2 3x e y = 3x x 2. Calcolare con la sostituzione z = x il seguente integrale indefinito e x x dx È data la seguente serie di 10 dati statistici 1, 1, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 4, 5. Determinare le frequenze assolute, la moda, la mediana e la media, disegnandone il diagramma a colonne.