Compito di Matematica I A.A.2008/09 - C.d.L. in Chimica 16 Novembre 2009 Prof. Elena Comparini
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1 A.A.2008/09 - C.d.L. in Chimica 6 Novembre 2009 Prof. Elena Comparini f(x) = x x 2 x +, Esercizio 2. Data la funzione dell esercizio precedente, calcolare l area della regione di piano compresa tra il grafico della funzione, l asse x, l asse y e la retta x = 4. Esercizio 3. Determinare la soluzione generale dell equazione differenziale x (t) 2x(t) 2 = 0. Determinare la soluzione che soddisfa alla condizione iniziale x(0) =. Esercizio 4. Determinare al variare del parametro a le soluzioni del sistema lineare ax + z = 0 x + y + z = 0 2x + y = 0 Febbraio 200 f(x) = 3 x 3 2x 2 + x + 2,
2 Esercizio 2. Determinare quanti sono gli zeri della funzione dell esercizio precedente. Provare che esiste almeno uno zero per x < 0. Determinarne un valore approssimato con il metodo di bisezione e con il metodo di Newton. Esercizio 3. Calcolare il seguente integrale definito e log(x + ) + (x + )[log 3 (x + ) + 9 log(x + )] dx. Esercizio 4. Data la matrice A = determinare gli autovalori e la loro molteplicitá. Stabilire se la matrice A é diagonalizzabile. In caso affermativo, trovare una base di autovettori e la sua forma diagonale. 5 Febbraio 200 f(x) = log x 2 + x 2 x, Esercizio 2. Scrivere la formula di Taylor in un intorno di x 0 = 0 al secondo ordine, con resto di Lagrange della funzione 3 x +. Usando questa formula calcolare un valore approssimato di Facoltativo: dare una stima dell errore commesso
3 Esercizio 3. Calcolare il seguente integrale definito 2 x 3 dx. x + Esercizio 4. Discutere al variare del parametro reale λ il sistema lineare seguente. x + λy + 2z = 2λ λy + z = 0 x + 2y + λz = λ 2 aprile 200 f(x) = x2 4 x 2, Esercizio 2. Scrivere la formula di Taylor in un intorno di x 0 = 0 al quarto ordine, con resto di Lagrange della funzione log( + sinxcos x). Esercizio 3. Calcolare l area della regione di piano compresa tra le due parabole di equazione y = x 2, y = x 2 + 2x. Esercizio 4. Stabilire se i seguenti vettori sono linearmente indipendenti: (, 2, 4, 0), (0,,, 0), (2, 2,, ). 3
4 28 giugno 200 f(x) = ln 2 x x2, Esercizio 2. Determinare quante sono, al variare del parametro α, le soluzioni dell equazione e x = α(x ). Provare che per α = 3 esiste uno zero per 0 < x < 2. Determinarne un valore approssimato con il metodo di bisezione e con il metodo di Newton. Esercizio 3. Calcolare il seguente integrale indefinito x + x + dx. x Esercizio 4. Si determini se la matrice 0 0 A = è diagonalizzabile, e, in caso affermativo, esplicitare una matrice diagonale simile ad A e una base di autovettori associata a tale matrice. C.d.L. in Chimica a.a. 2009/200-2 luglio 200 4
5 Esercizio. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico f(x) = e x e 2x. Esercizio 2. Scrivere la formula di Taylor fino al terzo ordine in un intorno di 0 con il resto di Lagrange della funzione f(x) = ln( + x 2 ). Esercizio 3. Si calcoli il seguente integrale 0 (x 2 + ) ln(x 2 + 2) dx. Esercizio 4. Determinare, al variare del parametro a le soluzioni del sistema lineare ax + y = 0 A = x y + z = 0 x z = 0. 6 settembre 200 f(x) = e (x ) x + Esercizio 2. Calcolare un valore approssimato alla terza cifra decimale di e sin 0. 5
6 Esercizio 3. Calcolare il seguente integrale definito 0 e x2 3e x + dx. Esercizio 4. Determinare le soluzioni del seguente sistema al variare del parametro a: x + z = 0 x 2y + az = 0 x + y + 2z = 4 - A.A 2009/0 - C.d.L. in Chimica e Chimica Applicata - 27 settembre 200 f(x) = ln(x2 3), x 2 3 determinare il dominio, l insieme dei punti in cui è derivabile, gli eventuali massimi e minimi. Disegnare il grafico. Esercizio 2. Determinare l area della regione limitata del semipiano x > 0 compresa tra il grafico della funzione f(x) = x 3 e la retta y = x. Esercizio 3. Determinare il volume del solido che si ottiene facendo ruotare intorno all asse y la regione dell esercizio precedente. Esercizio 4. Si determini se la matrice 0 0 A = è diagonalizzabile, e, in caso affermativo, esplicitare una matrice diagonale simile ad A e una base di autovettori associata a tale matrice. 6
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