Analisi Matematica III

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1 Università di Pisa - Corso di Laurea in Ingegneria Civile dell ambiente e territorio Analisi Matematica III Pisa, 1 giugno 4 (Cognome (Nome (Numero di matricola Esercizio 1 Si consideri la successione di funzioni f n (x = 3n x determinandone l insieme di convergenza 5 + n x puntuale e la funzione limite. Dire se la convergenza è uniforme sull insieme di convergenza puntuale. Dire se la convergenza è uniforme sulla semiretta (, 1]. Risulta 3 lim f se x n(x = n se x = quindi l insieme di convergenza puntuale è R e la funzione limite è 3 se x f(x = se x =. La convergenza in R non è uniforme perché le funzioni f n sono continue mentre la funzione limite non è continua in. Vediamo la convergenza in (, 1]: sup f n (x f(x = sup 3n x x 1 x n x 3 = sup 15 x n x = n e questa quantità tende a quando n tende a infinito. Ne segue che la successione di funzioni converge uniformemente sulla semiretta (, 1].

2 Esercizio Data la serie di funzioni n e nx trovarne gli insiemi di convergenza puntuale e uniforme. n=1 Eseguendo la sostituzione y = e x la serie diventa la serie di potenze n y n. Dato che n=1 n + 1 = 1, utilizzando il criterio di Cauchy Hadamard si ottiene che il raggio di convergenza n è 1. La serie quindi converge assolutamente almeno per 1 < y < 1, quindi per x >. Se x = la lim n serie diventa n che diverge. L insieme di convergenza puntuale (e assoluta è quindi (, +. n=1 La serie nella variabile y converge totalmente in ogni intervallo del tipo [ α, α] con < α < 1, quindi la serie originale converge totalmente (e uniformemente sulle semirette del tipo [a, + con a >.

3 Esercizio 3 sin(3t Calcolare la lunghezza della curva γ(t = cos(3t con t [3, 8]. 4t 3 quindi La velocità di γ è La lunghezza di γ è quindi: l(γ = γ(t = 8 3 γ(t = 6 cos(3t 6 sin(3t 6 t 36 cos (3t + 36 sin (3t + 36t = t. 6 [ ] 8 ( 1 + t dt = 6 3 (1 + t 3 = = 76. 3

4 Università di Pisa - Corso di Laurea in Ingegneria Civile dell ambiente e territorio Analisi Matematica III Pisa, 1 giugno 4 (Cognome (Nome (Numero di matricola Esercizio 4 Siano ω la forma differenziale ω(x, y = t [, π]. Calcolare γ ω. y x + 4y dx x dy e γ la curva γ(t = x + 4y ( cos t sin t Poniamo X = y x + 4y, Y = x ed eseguiamo le derivate incrociate: x + 4y X y = x 4y (x + 4y = Y x la forma differenziale è quindi chiusa. L insieme di definizione di ω è R \ {(, } che non è semplicemente connesso, quindi non possiamo concludere che ω sia esatta (come in effetti non è. Possiamo tuttavia calcolare l integrale invece che su γ, su un altra curva che( giri intorno all origine una volta cos t sola, come ad esempio l ellisse di equazioni parametriche α(t = t [, π]. In questo sin t modo i calcoli risultano molto più facili, infatti: ( sin t α(t = cos t quindi γ π ω = α ω = π 4 sin t 4 cos t 4 sin t 4 cos t + 4 sin t ( sin t + 4 cos t 4 cos t + 4 sin t dt = π. cos t dt =

5 Esercizio 5 Calcolare l integrale superficiale yz dσ dove Σ è il grafico della funzione f(x, y = x + y Σ relativo al dominio triangolare T di vertici (,, (1,, (1, 1. Dato che Σ è una superficie cartesiana risulta: yz dσ = y x + y 1 + f dxdy. Σ T Calcoliamo quindi il gradiente di f: ( f = x x + y, y, x + y 1 + f =. L insieme T è un dominio normale rispetto all asse y, infatti: Quindi l integrale cercato è dato da: T = { (x, y R : x 1, x y x }. T = y x + y dxdy = ( x 3 dx = dx x x y x + y dy = 1 1 (5 5 = [ ] y=x 1 3 (x + y 3 dx = y= x

6 Esercizio 6 Determinare l insieme di definizione della forma differenziale ω(x, y = ( + y3 dx + (y 3y dy. x x Dire se ω è esatta specificando in quali insiemi e determinarne la primitiva che nel punto (1, vale 5. La forma differenziale è definita per x, quindi nell unione dei due semipiani π 1 = {(x, y R : x > }, π = {(x, y R : x < }. Indicando con X e Y i coefficienti di ω risulta: X y = 3y x quindi ω è chiusa. L insieme di definizione non è connesso ma ognuno dei due semipiani è connesso e semplicemente connesso, quindi sia in π 1 che in π la forma è esatta. Dato che il punto (1, π 1 cercheremo una primitiva in tale insieme. Cerchiamo u(x, y tale che u x = X quindi u(x, y = = Y x + y3 y3 dx + φ(y = x x x + φ(y con φ da determinare. Dovendo essere u y = Y si ha che: quindi Allora u y = 3y x + φ (y = y 3y x φ (y = y = φ(y = y + c. u(x, y = x y3 x + y + c con c da determinare utilizzando il valore che u deve assumere nel punto (1, : = Y 5 = u(1, = c = 4 + c = c = 9. Quindi u(x, y = x y3 x + y + 9.